1、2018 届广西南宁市第八中学高三毕业班摸底考试 数学（理）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 3Ax或 1， 24Bx，则 ABRI（ ）A ,3 B ,4 C ,3 D 2,2设 i是虚数单位，如果复数 i2a的实部与虚部是互为相反数，那么实数 a的值为（ ）A 13 B 13 C3 D 3若 ,ar， ,br， abmrr，则 （ ）A 2 B2 C 2 D 124若 1cos3，则 cos（ ）A 29 B 79 C 79 D 4295在621x的展开式中，含 7x的项的系数是
2、（ ）A60 B160 C180 D2406下列有关命题的说法正确的是（ ）A命题“若 24x，则 2”的否命题为“若 24x，则 2”B命题“ R， 10x”的否定是“ R， 10x”C命题“若 xy，则 siny”的逆否命题为假命题D若“ p或 q”为真命题，则 ,pq至少有一个真命题7直线 3k被圆 2234截得的弦长为 23，则直线的倾斜角为（ ）A 6或 5 B 或 C 6或 D 68若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如下图所示，则此几何体的表面积是（ ）A 42 B 62 C 62 D 829执行如图的程序框图，若输出
3、的结果是 15，则输入的 a为（ ）A3 B4 C5 D610正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的体积为（ ）A 216 B 81 C 81 D 711给出定义：设 fx是函数 yfx的导函数， fx是函数 fx的导函数，若方程0fx有实数解 0，则称点 0,为函数 y的“拐点”.已知函数34sincox的拐点是 0,Mxf，则点 （ ）A在直线 y上 B在直线 3y上C在直线 x上 D在直线 4x上12已知椭圆21yab（ 0a）的左、右焦点分别为 12,F，过 1且与 x轴垂直的直线交椭圆于,AB两点，直线 2F与椭圆的另一个交点为 C.若 23ABC
4、S，则椭圆的离心率为（ ）A 5 B 3 C 105 D 10第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13若 ,xy满足01，则 2zxy的最小值为 14在 4,3上随机取一个实数 m，能使函数 2fxmx在 R上有零点的概率为 15函数 2sinfxx（ 0,2）的部分图象如下图所示，则 fx的图象可由函数 g的图象至少向右平移 个单位得到16已知 ABC中，角 3,2A成等差数列，且 ABC的面积为 12，则 AB边的最小值是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17已知数列 na的前 项和为
5、nS，且 12n.（）求数列 的通项公式；（）设 2122logllogn nbaL，求使 8nbk对任意 *nN恒成立的实数 k的取值范围.18质检部门从企业生产的产品中抽取 100 件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图的频率分布直方图，质量指标值落在区间 5,6， ,75， ,8内的频率之比为 4:21.（）求这些产品质量指标值落在区间 8内的频率；（）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取 3 件，记这 3 件产品中质量指标值位于区间 45,7内的产品件数为 X，求 的分布列与数学期望 .19如图，已知四棱锥 PABCD中，底面 AB为菱形，且 60DAB， P是
6、边长为 a的正三角形，且平面 平面 ，已知点 M是 P的中点.（）证明： 平面 ；（）求直线 与平面 所成角的正弦值.20已知点 C的坐标为 1,0， ,AB是抛物线 2yx上不同于原点 O的相异的两个动点，且 0OABur.（）求证：点 ,共线；（）若 AQRur，当 0OQur时，求动点 Q的轨迹方程.21已知函数 2lnfxx.（）求函数 的单调区间；（）证明当 2a时，关于 x的不等式 21afxx恒成立；（）若正实数 12,x满足 2121120ff，证明 125x.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系
7、 xOy中，曲线 1C的参数方程为 3cos,2inxty（ t是参数） ，以原点 O为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C的极坐标方程为 24sin4.（）求曲线 2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（）若曲线 1与曲线 2交于 ,AB两点，求 的最大值和最小值 .23选修 4-5：不等式选讲已知函数 fxxa.（）若 1a，解不等式 2f；（）若 2fx恒成立，求实数 的取值范围.2017 届高三毕业班摸底联考理科数学参考答案一、选择题1-5:CCDBD 6-10:DACBA 11、12：BA二、填空题13 12 14 37 15 6 162三、解答题17解：（）因为 12
8、nS，所以 12nS， （ 2）所以当 时，1nnann.又 21S，满足上式，所以数列 n的通项公式 *2naN.（） 2122logllogn nbL1132nL.由 8nk对任意 *n恒成立.即使 12对 *N恒成立.设 8nc，则当 3或 4 时， nc取得最小值为 10，所以 10k.18解：（）设区间 75,8内的频率为 x，则区间 5,6， 内的频率分别为 4和 2.依题意得 0.4.120.9.3101x.解得 x.所以区间 75,8内的频率为 0.05.（）从该企业生产的该种产品中随机抽取 3 件，相当于进行了 3 次独立重复试验.所以 X服从二项分布 ,Bnp，其中 .由（
9、）得，区间 457内的频率为 02.106.将频率视为概率得 0.6P.因为 X的所有可能取值为 0,1,2,3.且 033.4.C；1268P；2130.3X；30.64.216PXC.所以 的分布列为：所以 X的数学期望为 0.6410.28EX.4320.16.8.（或直接根据二项分布的均值公式得到 68EXnp）19证明：（）连结 BD交 AC于 O，连结 M，因为 AC为菱形， ，所以 PB ，由直线 P不在平面 M内， 平面 ，所以 平面 .解：（）取 B的中点 N，连结 ， D，则 90AN.分别以 ， D， 为 ,xyz轴建立空间直角坐标系 .则 ,02aB，3,C， ,02a
10、A， 3,02Da， 3,2Pa， 30,4Ma，则 ,ur， ,4Mur.设平面 AC的法向量为 ,nxyz，则30,23,4axyaz.令 3y，则 1x， 3z，即 ,nr.又 3,02aBDur，设直线 与 nr所成的角为 ，则 239cos1nPBru.故直线 BD与平面 AMC所成角的正弦值为 3.20解：（）设 21,t， 2,Bt， （ 12t， 10t， 2t） ，则 21,Otur， 2ur，因为 0AB，所以 10t.又 1t， 2t，所以 2.因为 1,Ctur， 2,Ctur.且 22t 1212120tt，所以 ABr.又 C， 都过点 ，所以三点 ,ABC共线.（
11、）由题意知，点 Q是直角三角形 O斜边上的垂足，又定点 在直线 AB上， 90.所以设动点 ,xy，则 ,xyur， 1,CQxyur.又 0OQCur，所以 21xy，即 2104xyx.动点 的轨迹方程为2.21解：（） 12fx210x，由 0fx，得 20，又 ，所以 1.所以 f的单调减区间为 ,，函数 fx的增区间是 0,1.（）令 21agxf2lnax，所以 1x21x.因为 2a，所以 1xag.令 0，得 .所以当 1,xa， 0gx；当 ,时， .因此函数 gx在 10,a是增函数，在 10,xa是减函数.故函数 的最大值为 211lngaa1ln2aa.令 l2h，因为
12、 ln04h，又因为 a在 0,是减函数.所以当 时， h，即对于任意正数 x总有 g.所以关于 x的不等式 21afxx恒成立.（）由 2121120ff，即 2lnlnxx2x，从而 121112ln.令 tx，则由 tt得， t.可知， 在区间 0,上单调递减，在区间 ,上单调递增.所以 1t，所以 22xx，又 120，因此 125x成立.22解：（）对于曲线 2C有 4sincos4，即 24xy，因此曲线 2的直角坐标方程为 22xy.其表示一个以 ,为圆心，半径为 2 的圆；（）曲线 1C是过点 3,P的直线，由 2234知点 ,在曲线 2C内，所以当直线 1过圆心 ,时， AB的最大为 4；当 AB为过点 2且与 2PC垂直时， 最小.23PC，最小值为 243d43.23解：（）当 1a时， fx，即 12x.
