1、2018 届广西南宁市第八中学高三毕业班摸底考试数学（理）试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合 或 ， ，则 （ ）A=x|x3 x1 B=x|20C. 命题“若 ，则 ”的逆否命题为假命题x=y sinx=sinyD. 若“ 或 ”为真命题，则 至少有一个真命题p q p,q【答案】D【解析】命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”所以 A 错误；x2=4 x=2 x24 x2命题“ ， ”的否定是“ ， ” 所以 B 错误xR x2+2x1b0 F1,F2 F1
2、x A,B点，直线 与椭圆的另一个交点为 .若 ，则椭圆的离心率为（ ）AF2 CSABC=3SBCF2A. B. C. D. 55 33 105 3310【答案】A【解析】试题分析：设椭圆的左、右焦点分别为 ， ，由 ，代入椭圆方程可得，可设 ， ，由 ，可得 ，即有SABC=3SBCF2，即 ，可得 ，代入椭圆方程可得，由 ， ，即有 ，解得 故选：A考点：椭圆的简单性质.【方法点晴】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和向量的共线的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题在该题中，可设 ，代入椭圆方程，求得 的坐标，设出 ，由，可得 ，运用向量的坐标运算可得 ， ，代入椭圆
3、方程，运用离心率公式，SABC=3SBCF2解方程即可得到所求值第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 若 满足 ，则 的最小值为_x,y xy0x+y1y0 z=x2y【答案】 12【解析】做出不等式组对应的可行域如图所示，作出直线 ,平移直线 ，当经过 时，目标函数值最小，最小l0 l0 B(12,12)值为12212=12点晴：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可
4、行域的端点或边界上取得.14. 在 上随机取一个实数 ，能使函数 在 上有零点的概率为_4,3 m f(x)=x2+ 2mx+2 R【答案】37【解析】试题分析：若 有零点，则 ，解得 或 ，则函数f(x)=x2+ 2mx+2有零点的概率 ，故答案为 考点：几何概型.15. 函数 （ ）的部分图象如下图所示，则 的图象可由函数f(x)=2sin(x+) 0,22 f(x)的图象至少向右平移_个单位得到g(x)=2sinx【答案】6【解析】试题分析：由图可知 ，故 则 ，故，将点 代入解析式得 ，即结合 得 ，即 ，故 向右平移 个单位得到 ，故答案为 .6 6考点：（1）由 得部分图象求其解析
5、式；（2）三角函数图象的变换.16. 已知 中，角 成等差数列，且 的面积为 ，则 边的最小值是_ABC B,32C,A ABC 1+ 2 AB【答案】2【解析】试题分析： 成等差数列， ，又 ， ， 由B,32C,A得 ， ，及， ，解得： ， 的最小值为 故答案为： 考点：（1）正弦定理；（2）余弦定理.【方法点晴】本题主要考查了等差数列的性质，三角形内角和定理，三角形面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题由已知及等差数列的性质可得，结合三角形内角和定理可求 的值，利用三角形面积公式可得 ，利用余弦定理及基本不等式即可解得 边的最小值三、解答
6、题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17. 已知数列 的前 项和为 ，且 .an n Sn Sn=2n+12（）求数列 的通项公式；an（）设 ，求使 对任意 恒成立的实数 的取值范围.bn=log2a1+log2a2+log2an (n8)bnnk nN* k【答案】 （） .（） .an=2n(nN*) k10【解析】试题分析：（1）首先利用递推关系式得出 ，由 得其通项公式；（2）利用（1）的通项公式求出数列的和，进一步利用恒成立问题求出参数的取值范围试题解析：（1）因为 ，所以Sn=2n+12 Sn1=2n2,(n2)所以当 时， ，n2
7、an=SnSn1=2n+12(2n2)=2n又 ，满足上式，a1=S1=222=2所以数列 的通项公式an an=2n(nN*)（2） bn=log2a1+log2a2+log2an=1+2+3+n=n(n+1)2由 对任意 恒成立，即使 对 恒成立(n8)bnnk nN*(n8)(n+1)2 k nN*设 ，则当 或 时， 取得最小值为 ，所以 .cn=12(n8)(n+1) n=3 cn k10考点：（1）数列递推式；（2）数列求和.18. 质检部门从企业生产的产品中抽取 100 件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图的频率分布直方图，质量指标值落在区间 ， ， 内的频率之比为
8、.55,65) 65,75) 75,85 4:2:1（）求这些产品质量指标值落在区间 内的频率；75,85（）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取 3 件，记这 3 件产品中质量指标值位于区间 内的产品件数为 ，求 的分布列与数学期望.45,75) X X【答案】 （）0.05.（）见解析试题解析： （）设区间 内的频率为 ，75,85 x则区间 ， 内的频率分别为 和 .55,65) 65,75) 4x 2x依题意得 .(0.004+0.012+0.019+0.03) 10+4x+2x+x=1解得 .x=0.05所以区间 内的频率为 0.05.（）从该企业生产的该种产品中随机抽
9、取 3 件，相当于进行了 3 次独立重复试验.所以 服从二项分布 ，其中 .X B(n,p) n=3由（）得，区间 内的频率为 .45,75) 0.3+0.2+0.1=0.6将频率视为概率得 .P=0.6因为 的所有可能取值为 0,1,2,3.X且 ；P(X=0)=C030.600.43=0.064；P(X=1)=C130.610.42=0.288；P(X=2)=C230.620.41=0.432.P(X=3)=C330.630.40=0.216所以 的分布列为：X所以 的数学期望为 .X EX=00.064+10.288+20.432+30.216=1.8（或直接根据二项分布的均值公式得到
10、）EX=np=30.6=1.8点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值” ，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率” ，即利用排列组合，枚举法，概率公式（常见的有古典概型公式、几何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积，以及对立事件的概率公式等） ，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列” ，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值” ，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(
11、如二项分布 ，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式( )求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.19. 如图，已知四棱锥 中，底面 为菱形，且 ， 是边长为 的正三角形，且PABCD ABCD DAB=60 PAB a平面 平面 ，已知点 是 的中点.PAB ABCD MPD（）证明： 平面 ；PB（）求直线 与平面 所成角的正弦值.BD AMC【答案】 （）见解析（） .23913【解析】试题分析：（1）连结 交 于 ，连结 利用三角形中位线与底边平行得 ，运用线BD AC O OM/PB面平行判定定理可得结果；（2）取 的中点 ，连结 ，分别以 为 轴建立
12、空间直角坐AB N PN,ND NB,ND,NP x,y,z标系，分别求出直线 的方向向量 和平面 的法向量 根据 得结果.BD AMC试题解析：（1）连结 交 于 ，连结 ，BD因为 为菱形， ，所以 ，ABCD OB=OD OM/PB由直线 不在平面 内， 平面 ，所以 平面 .PB AMC OM AMC PB/ ACM（2）取 的中点 ，连结 ，则 ，AB N PN,ND AND=900分别以 为 轴建立空间直角坐标系，NB,ND,NP x,y,z则 ，B(a2,0,0),C(a, 32a,0),A(a2,0,0),D(0, 32a,0),P(0,0, 32a),M(0, 34a, 34
13、a)则 ，设平面 的法向量为 ，则 ，AMC n=(x,y,z)令 ，则 ，y= 3 x=1,z=33即 ，又 ，n=(1, 3,33)设直线 与 所成的角为 ，则 ，BD n 故直线 与平面 所成角的正弦值为 BD AMC23913考点：（1）直线与平面平行的判定；（2）直线与平面所成的角.【方法点睛】本题主要考查了利用线面平行判定定理判定线面平行以及利用向量法求直线与平面所成的角，属于基础题；常见的证明线面平行方法有：1、利用三角形的中位线；2、构造平行四边形；3、利用面面平行等，在该题中利用（1） ，向量法在立体几何中的应用相当广泛，在该题中考查了在直线与平面所成的角中的应用即直线与平面所成角的正弦值即为直线的方向向量与平面的法向量所成角余弦值的绝对值.20. 已知点 的坐标为 ， 是抛物线 上不同于原点 的相异的两个动点，且 .C (1,0) A,B y2=x O OAOB=0（）求证：点 共线；A,C,B
