1、2018 届广西南宁市第八中学高三毕业班摸底考试数学（文）试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合 ， ，则 （ ）A=x|-20C. 命题“若 ，则 ”的逆否命题为假命题x=y sinx=sinyD. 若“ 或 ”为真命题，则 至少有一个真命题p q p,q【答案】D【解析】命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”所以 A 错误；x2=4 x=2 x24 x2命题“ ， ”的否定是“ ， ” 所以 B 错误xR x2+2x1b0 F1,F2 F1 x A,B点，直线 与
2、椭圆的另一个交点为 .若 ，则椭圆的离心率为（ ）C AF2=2F2CA. B. C. D. 55 33 105 3310【答案】A【解析】试题分析：过点 作 轴于 ，则 ，由 ，则 ，C CDx D AF1F2CDF2 AF2=2F2C，所以点 ，由点 在椭圆上，所以有 ，即 ，所以 ，故选|AF1|=2|CD| C(2c,b22a) C 5c2=a2 e=ca=55A.考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系，属难题；求椭圆离心率或范围时，一般是依据题设得出 的等式或不等式，利用 消去 ，得到关于离心率
3、 的等式或不等a,b,c a2=b2+c2 b e式，解之即可.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 若 满足 ，则 的最小值为_x,y xy0x+y1y0 z=x2y【答案】 12【解析】做出不等式组对应的可行域如图所示，作出直线 ,平移直线 ，当经过 时，目标函数值最小，最小l0 l0 B(12,12)值为12212=12点晴：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可
4、行域的端点或边界上取得.14. 函数 的图象可以有函数 的图象至少向左平移 _个单位得到y= 3sinx+cosx y=2sinx【答案】6【解析】 ,令 ，则 ，依题意可得y= 3sinx+cosx=2sin(x+6) f(x)=2sinx f(x)=2sin(x)(0)，故 ，即 ，当 时， 正数 ，故答案为 .2sin(x)=2sin(x+6) =2k6(kZ) =2k+6(kZ) k=0 min=x+6 615. 在 中，三个内角 的对边分别为 ，已知 ， ， 的面积为 ，则ABC A,B,C a,b,c A=3 c=4 ABC 23_a=【答案】 23【解析】 的面积为 ， ，解得
5、，由余弦定理得，A=3,c=4,ABC 23 12bcsinA=23 b=2，则 ，故答案为 .a2=b2+c22bccosA=4+1622412=12 a=23 2316. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的体积为_【答案】24316【解析】正四棱锥 的外接球的球心 在它的高 上，则 ，在 中，PABCD O PO1 PO=AO=R,PO1=4,OO1=4R RtAO1O，由勾股定理 ，得 ， 球的体积为 ，故答案为 .AO1= 2 R2=2+(4R)2 R=94 43(94)3=24316 24316三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答
6、应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17. 设数列 的前 项和为 ，已知 ， ， .an n Sn a1=1 an+1=3Sn+1 nN*（）求 的值；a2,a3（）求数列 的通项公式.an【答案】 （1） ， ；（2） .4 16 4n1(nN*)【解析】试题分析：（1）利用 ， 时分别求出 的值；（2）由 ，则当 时，an+1=3Sn+1 n=1、2 a2,a3 an+1=3Sn+1 n2.两式相减，得 ，从而可得数列 是以首项为 1，公比为 4 的等比数列，进an=3Sn-1+1 an+1=4an(n2) an而可得数列 的通项公式.an试题解析：（）由题意， ， ，a1=1 an+
7、1=3Sn+1所以 .a2=3a1+1=4.a3=3(a1+a2)+1=3(1+4)+1=16（）由 ，则当 时， .an+1=3Sn+1 n2 an=3Sn-1+1两式相减，得 .an+1=4an(n2)又因为 ， ， ，a1=1 a2=4a2a1=4所以数列 是以首项为 1，公比为 4 的等比数列，an所以数列 的通项公式是 .an an=4n-1(nN*)18. 某购物中心为了了解顾客使用新推出的某购物卡的顾客的年龄分布情况，随机调查了 100 位到购物中心购物的顾客年龄，并整理后画出频率分布直方图如图所示.年龄落在区间 ， ， 内的频55,65) 65,75) 75,85率之比为 .4
8、:2:1（）求顾客年龄值落在区间 内的频率；75,85（）拟利用分层抽样从年龄在 ， 的顾客中选取 6 人召开一个座谈会.现从这 6 人中选出 2 人，55,65) 65,75)求这两人在不同年龄组的概率.【答案】 （1） ；（2） .0.05815【解析】试题分析：(1) 设区间 内的频率为 ,则区间 内的频率分别为 和 ,由频率之75,85 x 55,65),65,75) 4x 2x和等于 ，列出方程解之即可；（2）根据题意得，需从年龄在 中分别抽取 人和 人，写出从1 55,65),65,75) 4 2这 人中选出 人的所有基本事件，共 种，从中找出这两人在不同年龄组的所有基本事件，求概
9、率即可.6 2 15试题解析： （1）设区间 内的频率为 , 则区间 内的频率分别为 和 .依题意得75,85 x 55,65),65,75) 4x 2x,解得 ,所以区间 内的频率为 .(0.004+0.012+0.019+0.03)10+4x+2x+x=1 x=0.05 75,85 0.05（2）根据题意得，需从年龄在 中分别抽取 人和 人，设在 的 人分别为 ,在55,65),65,75) 4 2 55,65) 4 a,b,c,d的 人分别为 ,则所抽取的结果共有 种 ,65,75) 2 m,n 15(a,b),(a,c),(a,d),(a,m),(a,n),(b,c).设“ 这两人在不
10、同年龄组” 为事件 ,事件 包含的基本事件(b,d),(b,m),(b,n),(c,d),(c,m),(c,n),(d,m),(d,n),(m,n) A A有 种: .8 (a,m),(a,n),(b,m),(b,n),(c,m),(c,n),(d,m),(d,n)则 ,所以这两人在不同年龄组的概率为 .P(A)=815 815考点：1.频率分布直方图；2.古典概型.19. 如图，已知四棱锥 中，底面 为菱形，且 ， 是边长为 的正三角形，且PABCD ABCD DAB=60 PAB a平面 平面 ，已知点 是 的中点.PAB ABCD MPD（）证明： 平面 ；PB AMC（）求三棱锥 的体
11、积 .PAMC【答案】 （1）证明见解析；（2） .116a3【解析】试题分析：（1）连结 交 于 ，连结 ，由中位线定理可得 ，根据线面平行的判定定BD AC O OM OM/PB理可得 平面 ；（2）取 中点 ，连结 ，则 平面 ，由 ，即可求PB/ ACM AB N PN PN ABCD VPAMC=VPACD=VMACD出三棱锥 的体积.PAMC试题解析：（）连结 交 于 ，连结 ，BD AC O OM因为 为菱形， ，所以 ，ABCD OB=OD OMPB由直线 不在平面 内， 平面 ，PB AMC OM AMC所以 平面 .PB ACM（）取 的中点 ，连接 ，则 ，且 .AB N
12、 PN PNAB因为平面 平面 ，所以 平面 .PAB ABCD PN ABCD所以 ，又 是 中点，所以 .MPD VM-ACD=1312a23234a=116a3所以 .VP-ACM=VP-ACD-VM-ACD=18a3-116a3=116a3【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、面面垂直的性质、线面垂直的判定、利用等积变换求三棱锥体积，属于难题.证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.利用面面平行的性质，即两平面平
13、行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法证明的.20. 已知点 的坐标为 ， 是抛物线 上不同于原点 的相异的两个动点，且 .C (1,0) A,B y2=x O OAOB=0（）求证：点 共线；A,C,B（）若 ，当 时，求动点 的轨迹方程.AQ=QB(R) OQAB=0 Q【答案】 （1）证明见解析；（2） .(x12)2+y2=14(x0)【解析】试题分析：（1）利用 ，可得 ，根据 ， ， ，即OAOB=0 t1t2=-1 AC=(1-t21,-t1) BC=(1-t22,-t2)可证明 ；（2）由题意知，点 Q 是直角三角形 AOB 斜边上的垂足，又定点 C
14、 在直线 AB 上，ACBC，即可求点 Q 的轨迹方程OQB=90试题解析：（）设 ， ， （ ， ， ） ，A(t21,t1) B(t22,t2) t1t2 t10 t20则 ， ，OA=(t21,t1) OB=(t22,t2)因为 ，所以 .OAOB=0 t21t22+t1t2=0又 ， ，所以 .t10 t20 t1t2=-1因为 ， .AC=(1-t21,-t1) BC=(1-t22,-t2)且 ，t2(1-t21)-t1(1-t22)=(t2-t1)-t2t21+t1t22=(t2-t1)(1+t1t2)=0所以 .ACBC又 ， 都过点 ，所以三点 共线.CB C A,B,C（）由
15、题意知，点 是直角三角形 斜边上的垂足，Q AOB又定点 在直线 上， .C AB OQB=90所以设动点 ，则 ， .Q(x,y) OQ=(x,y) CQ=(x-1,y)又 ，OQCQ=0所以 ，即 .x(x-1)+y2=0 (x-12)2+y2=14(x0)动点 的轨迹方程为 .Q (x-12)2+y2=14(x0)21. 已知函数 .f(x)=lnxx2+x（）求函数 的单调区间；f(x)（）证明当 时，关于 的不等式 恒成立；a2 x f(x)0)由 ，得 ，f(x)0又 ，所以 .x0 x1所以 的单调减区间为 ，函数 的增区间是 .f(x) (1,+) f(x) (0,1)（）令
16、，g(x)=f(x)-(a2-1)x2+ax-1 =lnx-12ax2+(1-a)x+1所以 .g(x)=1x-ax+(1-a)= -ax2+(1-a)x+1x因为 ，a2所以 .g(x)=-a(x-1a)(x+1)x令 ，得 .g(x)=0 x=1a所以当 ， ；x=(0,1a) g(x)0当 时， .x(1a,+) g(x)0因此函数 在 是增函数，在 是减函数 .g(x) x(0,1a) x(0,1a+)故函数 的最大值为g(x).g(1a)=ln(1a)-12a(1a)2+(1-a)(1a)+1=12a-lna令 ，因为 ，h(a)=(12a)-lna h(2)=14-ln20又因为 在 是减函数.h(a) a(0,+)所以当 时， ，a2 h(a)0即对于任意正数 总有 .x g(x)0所以关于 的不等式 恒成立.x f(x)(a2-1)x2+ax-1（）由 ，f(x1)+f(x2)+2(x21+x22)+x1x2=0即 ，lnx1+x21+x1+lnx2+x22+x2+x1x2=0从而 .(x1+x2)2+(x1+x2)=
