1、2018 届广东省阳春市第一中学高三上学期第三次月考数学（理）试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为集合 ， ，所以， ，故选 A2. 记复数 的虚部为 ，已知复数 ， （为虚数单位） ，则 为（ ）A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D【解析】 ， ，故选 D.3. 已知命题 ：“对任意 ，都有 ”，则命题 的否定是（ ）A. 对任意 ，都有 B. 存在 ，使得C. 对任意 ，都有 D. 存在 ，使得
2、【答案】B【解析】否定全称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词词;二是要否定结论，所以“对任意，都有 ”的否定是“存在 ，使得 ”，故选 B.4. 下列函数： ， ， ， 在 上是增函数且为偶函数的有（ ）A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个【答案】A【解析】函数 在 上是减函数，不合题意 ； 是奇函数，不合题意； 即不是奇函数又不是偶函数，不合题意； 是偶函数，又在 上是增函数，符合题意，所以分题意的函数有 个，故选 A.5. 已知曲线 在点 处的切线的倾斜角为 ， （ ）A. B. 2 C. D. 【答案】C【解析】由 ，得 ，故 .故选 C.6. 函数 的图象
3、大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 为偶函数 ， 图象关于 轴对称，排除 ，当 时， ，排除 D，故选C.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的奇偶性、单调性，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.7. 若向量 的夹角为 ，且 ， ，则向量 与向量 的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，设向量 与向量 的夹角为 ， ，故选 A.8
4、. 定义在 上的奇函数 满足： ，且当 时， ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为 ，则函数的周期是 ，又因为 ，所以，故选B. 9. 丹麦数学家琴生（Jensen）是 19 世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果，设函数 在 上的导函数为 ， 在 上的导函数为 ，若在 上 恒成立，则称函数 在 上为 “凸函数” ，已知 在上为“凸函数” ，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由 可得， ，因为在 上为“凸函数” ，所以 ，因为在 上递增，所以 ，所以 ，实数的取值范围是 ,故选 C.10
5、. 已知函数 的图象与轴的两个相邻交点的距离等于 ，若将函数的图象向左平移 个单位得到函数 的图象，则函数 是减函数的区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：因为 ,所以 ,即 ,则 ,故, ,故其减区间为 , 即 ,故应选 A.考点：三角变换及正弦函数的图象和性质.11. 已知在 中， ， ， ，若三角形有两个解，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】在 中， ， ， ，由正弦定理可得 因为三角形有两个解，所以 ,可得 ， 的取值范围是 ，故选 C.12. 设点 为函数 与 图象的公共点，以 为切点可作直线与两曲线都相切，则实数 的最大值为（
6、 ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设 与 在公共点 处的切线相同， ，由题意 ，即 ，由得 或 （舍去），即有 ，令 ，则 ，于是当 ，即时， ；当 ，即 时， ，故 在 为增函数，在为减函数，于是 在 的最大值为 ，故 的最大值为 ，故选 D.【方法点晴】本题主要考查函数的几何意义、利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数 恒成立( 可)或 恒成立（即可） ； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值 或恒成立； 讨论参数 .本题是利用方法 求得 的最大值.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题
7、纸上）13. 等于_.【答案】【解析】 ，故答案为 .14. 已知函数 的定义域为 （其中 ） ，则“ 在 和上分别单调递增”是“ 在 上为增函数”的_条件.（填“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要条件” ）【答案】必要不充分【解析】不妨令 ，函数 ， 的定义域为，“ 在 和 上分别单调递增”，但是 在上不是增函数，充分性不成立；根据函数递增的定义可得若“ 在上为增函数”必有“ 在 和 上分别单调递增”，所以，“ 在 和 上分别单调递增”是“ 在 上为增函数”的必要不充分条件，故答案为必要不充分.15. 已知函数 ，若 ， ，则实数 的最小值为_.【答案】3
8、【解析】函数 ，若 ， ， 时实数 的最小值为 ，故答案为 .16. 设函数 是定义在 上的可导函数，且满足条件 ，则不等式的解集为_.【答案】【解析】 ，故函数 在 上是增函数， ，即，解得 ，故答案为 .【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题. 求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状” ； 若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.三、解答题 （本大题
9、共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 的前 项和 ，其中 .（1）证明 是等比数列，并求其通项公式；（2）若 ，求 .【答案】(1)证明见解析， ；(2) .【解析】试题分析：（）首先利用公式 ，得到数列 的递推公式，即可得到 是等比数列及 的通项公式；（）利用（） ，用 表示前 项和 ，结合 的值，建立方程可求得 的值试题解析：（）由题意得 ，故 ， ， .由 ， 得 ，即 .由 ， 得 ，所以 .因此 是首项为 ，公比为 的等比数列，于是 .（）由（）得 .由 得 ，即 .解得 .【考点】数列的通项 与前 项和 的关系，等比数列的定义、通
10、项公式及前 项和.【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明 （常数） ；（2）中项法，即证明 根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解18. 在 中，已知 .（1）证明： ；（2）若 ，求 .【答案】(1)证明见解析；(2)4.【解析】试题分析：（1）由 及正弦定理可得 ，通分后利用两角和的正弦函数公式整理即可证明；（2）根据余弦定理，有 ，利用（1）的条件，求解 的正切函数值即可.试题解析：（1）由 及正弦定理可得化简得 在 中，由 ，有所以 .（2）由已知， ，根据余弦定理，有所以由（1）得 ，所以故 .【名师点睛】本题主要考查正弦
11、定理与余弦定理，属于中档题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到19. 自 2016 年 1 月 1 日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个” ， “生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了 200 户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数
12、据：（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为 14 周与 16 周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从 5 种不同安排方案中，随机抽取 2 种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择.求两种安排方案休假周数和不低于 32 周的概率；如果用 表示两种方案休假周数之和，求随机变量 的分布列及数学期望.【答案】(1)答案见解析；(2). ；.答案见解析.【解析】试题分析：（1）直接由已知表中信息求出产假为 14 周和 16 周时某家庭有生育意愿的频率，进而得出所求的概率；（2）设“两种安排方案休假周数和不低于 32 周”为事件 ，所以基本事件的总数为（种） ，
13、然后列举出其中不低于 32 周的选法的种数，最后由古典概型的计算公式即可得出所求的概率； 首先由题意可得随机变量 的可能取值为 29，30 ，31，32，33，34，35然后运用古典概型的计算公式分别计算出 等于 29，30，31，32，33，34，35 的概率，进而得出所求的 的分布列并计算出其数学期望.试题解析：（1）由表中信息可知，当产假为 14 周时某家庭有生育意愿的概率为 ；当产假为 16 周时某家庭有生育意愿的概率为 .（2） 设“两种安排方案休假周数和不低于 32 周”为事件 ，由已知从 5 种不同安排方案中，随机地抽取2 种方案选 法共有 （种） ，其和不低于 32 周的选法有
14、（14，18） 、 （15，17） 、 （15，18） 、（16，17） 、 （16，18） 、 （17，18） ，共 6 种，由古典概型概率计算公式得 由题知随机变量 的可能取值为 29，30，31，32，33， 34，35， ，因而 的分布列为29 30 31 32 33 34 3501 01 02 02 02 01 01所以.考点：1.古典概型；2.离散型随机变量的分布列；3.数学期望.【方法点睛】本题主要考查了利用古典概型计算公式计算概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生基本的统计知识和综合应用知识的能力，属中档题.对于第一问利用古典概型计算公式计算概率，其解题的关键是正确地
15、列举基本事件的个数和满足事件的基本事件的个数；对于第二问求解离散型随机变量的分布列和数学期望，其解题的关键是正确地求出随机变量取值时的概率.20. 在四棱锥 中， 平面 ， 是 的中点， ， .（1）求证： ；（2）求二面角 的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】试题分析：（1）取 的中点 ，连接 ，则 ，先根据线面垂直的性质证明 ；进而可得 ，再由线面判定定理即可证明 平面 ，从而可得 ；（2）建立空间坐标系， 分别求出平面 与平面 的的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，即可求二面角 的余弦值.试题解析：（1）取 的中点 ，连接 ，则 .因为 ，所以 .因为 平面 ， 平
16、面 ，所以 又所以 平面因为 平面 ，所以 ；又 ，所以 ；又因为 , ，所以 平面因为 平面 ，所以 .（2）以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .则 ， ， ， ， ， .设平面 的法向量为 ，则 所以令 ，所以 .由（1）知 平面 ， 平面 ，所以 .同理 ，所以 平面所以平面 的一个法向量 .所以 ，由图可知，二面角 为锐角，所以二面角 的余弦值为 .【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定与性质、利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量
17、，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21. 已知函数 .（1）求函数 的单调递增区间；（2）当 时，设函数 ，函数 .若 恒成立，求实数 的取值范围；证明： .【答案】(1)答案见解析；(2) ；证明见解析.【解析】试题分析：（1）第一步先求 ，第二步讨论 或 时， 的解集；（2） 首先得到函数 ，再求其导数 ，若 恒成立，即，将问题转化为求函数的最小值，利用导数求 的最小值；由知 时， 在 上恒成立，当 时等号成立，令 ，累加可得结论试题解析：解：（1） ，令 当 时，解得 ；当 时，解得 ，所以 时函数 的单调递增区间是 ；时函数 的单调递增区间是（2） ，由题意得 ，因为 ，所以当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；由 得 ，则实数 的取值范围是 （分离参数法亦可）
