1、广东省深圳市南山区 2018 届高三上学期入学摸底考试数学（理）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合 0Bx且 AB，则集合 A可能是( )A 1,2 B 1x C 1,0 D R2. 已知命题 00:,lg3pR，则命题 p的否定是( )A ,lg31x B ,lg310xR C ,l0x D ,lx3.若 ,xy满足约束条件1,20,yx则 zxy的最大值是( )A 3 B 1 C1 D 32 4. 抛物线 2:3Cyx上的一点 P到 x轴的距离与它到坐标原点 O的距离之比为 1
2、:2,则点 P到 C的焦点的距离是 ( )A 14 B 4 C 54 D 74 5.个摊主在一旅游景点设摊，在不透明口袋中装入除颜色外无差别的 2 个白球和 3 个红球.游客向摊主付 2 元进行 1 次游戏.游戏规则为：游客从口袋中随机摸出 2 个小球，若摸出的小球同色，则游客获得 3元励；若异色则游客获得 1 元奖励.则摊主从每次游戏中获得的利润(单位:元)的期望值是( )A0.2 B0.3 C0.4 D0.56. 已知圆柱的高为 2，它的两个底面的圆周在直径为 4 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积是( )A B 34 C. 2 D 6 7. 执行如图所示的程序框图，输出的 S的值是( )
3、A 12 B0 C. 12 D 32 9. 设 C的内角 ,A的对边分为 ,abc， 1,sin62CA.若 D是 BC的中点，则 AD( )A 74 B 72 C. 14 D 12 10. 121683nn C ( )A23B C. 13n D 231n 11若双曲线2:1,0xyCab的左支与圆 222xycab相交于 ,AB两点， C的右焦点为F，且 为正三角形，则双曲线 C的离心率是( )A 31 B 21 C. 3 D 2 12.已知函数 ln,10xmfab，对于任意 sR且 0.均存在唯一实数 t，使得fst，且 st.若关于 x的方程 2mfxf有 4 个不相等的实数根，则 a
4、 的取值范围是 ( )A 2,1 B 1,0 C. , D 4,1,0第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 若复数 20zai在复平面内的对应点在虚轴上，则 a .14. 若函数 21xfa是奇函数函数，则使 13fx成立的 x的取值范围是 .15.某组合体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 1，则该多面体的体积是 .16.已知函数 sincosyaxb的图象的一个最高点是 ,4，最低点的纵坐标为 2，如果图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 12倍，然后向左平移 8个单位长度可以得到 yf
5、x的图象，则23f三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知等差数列 na的前 项和为 55,2,30nSa.（1）求数列 的通项公式；（2）当 nS取得最小值时，求 n的值.18. 在多面体 ABCDEFG中，四边形 ABCD与 EF均为正方形， GF平面 ABCD， G平面 ABCD，且 4H.（1）求证： GH平面 EF；（2）求二面角 D的余弦值.19. 某班 20 名同学某次数学测试的成绩可绘制成如图茎叶图.由于其中部分数据缺失，故打算根据茎叶图中的数据估计全班同学的平均成绩.（1）完成频率分布直方图；（2）根据（1）中的
6、频率分布直方图估计全班同学的平均成绩（同一组中的数据用改组区间的中点值作代表）；（3）根据茎叶图计算出的全班的平均成绩为 y，并假设 ,09abnZ，且 ,ab各自取得每一个可能值的机会相等，在（2）的条件下，求概率 Px.20已知椭圆 2:10xyCab经过点 31,2A， C的四个顶点构成的四边形面积为 43.（1）求椭圆 的方程；（2）在椭圆 上是否存在相异两点 ,EF，使其满足:直线 AE与直线 F的斜率互为相反数；线段EF的中点在 y轴上，若存在，求出 A的平分线与椭圆相交所得弦的弦长；若不存在，请说明理由.21. 已知函数 21fxaxb.（1）讨论函数 gef在区间 0,1上的单
7、调性；（2）已知函数 2xh，若 h，且函数 hx在区间 0,1内有零点，求 a的取值范围.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy中，以原点 为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线 1C的极坐标方程为 2sin204，曲线 2C的极坐标方程为 4R. 1C与 2相交于 ,AB两点.（1）把 1C和 2的方程化为直角坐标方程，并求点 ,AB的直角坐标；（2）若 P为 上的动点，求 2PAB的取值范围.23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 21fxx.（1）解不等式 4f；（2）若对于任意
8、的实数 xR都有 fxa，求 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: ADCDA 6-10: DCDBB 11、12：AC二、填空题13.1 14. 1, 15. 43 16. 52三、解答题17.解：（1）因为 5102aS，又 52a，解得 10a.所以数列 na的公差 4d.所以 11n.（2）令 0na，即 20，解得 6n.又 6，所以，当 nS取得最小值时， 5n或 6.18.（1）证明：由题意可得 ,CDBF， CD平面 FBG， /E， 平面 ，而 H平面 FB， GE.如图，连接 ， CF平面 ABD， G平面 ABCD， /，四边形 F为直角梯形，设 1H，则依题意 2,4
9、， 225CB，F，22 0GFG， 22GHF. .又 ,EGF， 平面 ；（2）解：由（1）知 ,DAC两两垂直，以 ,DACE分别为 ,xyz轴建立空间直角坐标系，设 1BH，则 0,40,3,40,2FHG， ,2FG.设 ,nxyz是平面 D的一个法向量，则 0F， 402yzx，取 2z，得 1,2n.又 1,HG是平面 FGE的一个法向量， 5cos,3n，二面角 DFE的余弦值为 .19.解：（1）频率分布直方图如图：（2） 50.16.570.385.290.78x，即全班同学平均成绩可估计为 78 分.（3） 234152020ababy ，故 15785abPxPab，又
10、 ,51,4,3ab Pab65213,024,05,00.abab故 5=150.79PyxabPab.20.解：（1）由已知得29,430,ab解得 24,3ab，椭圆 C的方程21xy.（2）设直线 AE的方程为 31kx，代入2143xy，得2234340kxkx. *设 12,yF，且 1是方程 的根， 243kx.用 代替上式中的 k，可得2413kx. ,EF的中点在 y轴上， 120.2241343kk，解得 32k，因此满足条件的点 ,EF存在.由平面几何知识可知 A的角平分线方程为 1x，所求弦长为 3.21.解：（1）由题得 2xgeab，所以 21xgea.当 32a时
11、， 0x，所以 在 0,1上单调递增；当 1e时， g，所以 gx在 ,上单调递减；当 32a时，令 0，得 ln20,1a，所以函数 gx在区间 ,ln2a上单调递减，在区间 ln2,1a上单调递增.综上所述，当 3a时， gx在 0,1上单调递增；当 312e时，函数 在区间 ,ln2a上单调递减，在区间 ln2,1a上单调递增；当 a时，所以 gx在 0,1上单调递减.（2） 2112xxhefeabx， 21xheabgx.设 0x为 在区间 0， 内的一个零点，则由 0，可知 h在区间 0,上不单调，则g在区间 0,x内存在零点 1x.同理， gx在区间 0,1内存在零点 2x，所以
12、 gx在区 1， 间内至少有两个零点.由（1）知，当 32a时， gx在 0,上单调递增，故 gx在 ,内至多有一个零点，不符合题意.当 2ea时，所以 在 ,1上单调递减，故 在 0,1内至多有一个零点，不符合题意.所以31.此时 gx在区间 0,ln2a上单调递减，在区间 ln2,1a上单调递增，因此 12,l,l,1x，必有 0,20gbgeab.由 0h，得 abc， gec.又 1ge， 20a，解得 12a.所以函数 hx在区间 0,内有零点时， e.22.解：（1） 221:14,:0CyCxy.解 24,0,xy得 ,AB或 1,AB.（2）设 1cos,2inP，不妨设 ,，则 2 222sisinsinAB168sincos168n4，所以 2P的取值范围为 2,168.23.解：（1）解不等式 fx，即 4x，等价于：,214,xx或 1,214,x或 1,24,x解得 3，或 ，或 3.所以所求不等式的解集为 4x或 x.（2） 13,2,1.xfx当 12x时， min32f.又因为对于任意的实数 xR都有 fxa，所以 的取值范围是 3,2.
