1、2018 届广东省五校（阳春一中，肇庆一中，真光中学，深圳高级中学，深圳二高）高三 12 月联考数学（文）试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 因为 ，故选 A.2. 已知 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为 ，故选 C.3. 如表是我国某城市在 2017 年 1 月份至 10 月份个月最低温与最高温（ ）的数据一览表月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10最高温 5 9 9 11 17
2、 24 27 30 31 21最低温已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据这一览表，则下列结论错误的是（ ）A. 最低温与最高位为正相关B. 每月最高温和最低温的平均值在前 8 个月逐月增加C. 月温差（最高温减最低温）的最大值出现在 1 月D. 1 月至 4 月的月温差（最高温减最低温）相对于 7 月至 10 月，波动性更大【答案】B【解析】月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10最高温 5 9 9 11 17 24 27 30 31 21最低温温差 17 12 8 13 10 7 8 7 6 11将最高温度、最低温度、温差列表如图，由表格前两行可知最低温大致随最高温增大而增
3、大， 正确；由表格可知每月最高温与最低温的平均值在前 个月不是逐月增加， 错；由表格可知，月温差（最高温减最低温）的最大值出现在 月， 正确；由表格可知 月至 月的月温差（最高温减最低温）相对于 月至 月，波动性更大， 正确，故选 .4. 已知等差数列 的前 项和为 ，公差 ， ，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，又 ， ， ，故选 A.5. 已知点 在双曲线 ： （ ， ）上， ， 分别为双曲线 的左、右顶点，离心率为，若为等腰三角形，其顶角为 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】不妨设点 在第一象限，因为 为等腰三角形，其顶角为 ，则 的坐标为
4、 ，代入双曲线 的方程得 ，故选 D.6. 设 ， 满足约束条件 则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】可行域为如图所示的 内部（包括边界） ， 表示经过原点 与可行域的点 连线的斜率，易求得，从而 ，故选 A.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7. 某几何体的三视图如图所示，网格纸
5、上小正方形的边长为 1，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为放在正方体的四棱锥 ，如图，正方体的边长为 2，该三棱锥底面为正方形，两个侧面为等腰三角形，面积分别为 ，另两个侧面为直角三角形面积都为 ，可得这个几何体的表面积为 ，故选 C.8. 将曲线 ： 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线 ： ，则 在 上的单调递增区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】将曲线 ： 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度可得 ，令 ，得 ，再令 ，得
6、 ，则 在 上的单调递增区间是 ，故选 B.9. 如图， 是正方体 的棱 上的一点（不与端点重合） ， 平面 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设 ，如图， 平面 ，平面 平面 为 的中点， 为 的中点， 正确，由异面直线的定义知 是异面直线，故 错；在矩形 中，与 不垂直，故 错； 显然是错，故选 D.10. 执行如图所示的程序框图，若输入的 ，则输出的 （ ）A. 7 B. 10 C. 13 D. 16【答案】D【解析】 ，1 不是质数， ； ，4 不是质数， ； ，7 是质数，； ，10 不是质数， ； ，13 是质数， ， ，故输出的 .选 D.11. 函数 的部分图
7、象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 为奇函数，图象关于原点对称，排除 ；当 时，排除 ；当 时， ，排除 ；故选 D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及 时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.12. 已知函数 ，若有且只有两个整数 ， 使得 ，且 ，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可知， ，即 ， ，
8、设，由 ，可知 ，在 上为减函数，在 上为增函数， 的图象恒过点 ，在同一坐标系中作出 的图象如下：若有且只有两个整数 ，使得 ，且 ，则，即 ，解得 ，故选 C.【方法点睛】本题主要考查不等式的整数解、数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.第卷（共 90 分）二
9、、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 设平面向量 与向量 互相垂直，且 ，若 ，则 _【答案】【解析】由平面向量 与向量 互相垂直可得 所以 ，又 ，故答案为 .【方法点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是 ，二是 ，主要应用以下几个方面 :(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解） ；（2）求投影， 在 上的投影是 ；（3） 向量垂直则 ;(4)求向量的模（平方后需求 ）.14. 已知各项均为正数的等比数列 的公比为 ， ， ，则 _【答案】【解析】因为 为等比数列，所以 ，又因为各项均为正数，故答案
10、为 2.15. 若 ， ，则 _【答案】【解析】 ，又 ，故 ，且 ，从而 ，故答案为 .16. 已知抛物线 ： 的焦点为 ， ， 是抛物线 上的两个动点，若 ，则 的最大值为_【答案】【解析】由已知 ，得 的最大值为 ，故答案为 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为， ， ，已知 ， （1）求 大小；（2）求 的值【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）利用 ，由二倍角的正弦公式可得 ，所以 ，即 ；（2）利用由正弦定理及余弦定理可得 ，即 ,再根据（1）利用余弦定理可得 ，两式
11、结合即可得结果.试题解析：（1）因为 ， ，所以 ，所以 ，即 （2）由余弦定理得 ，又 ，所以 ，即 消去得 ，方程两边同除以 得 ，则 18. 唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在中国的陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔唐三彩的生产至今已有 1300 多年的历史，对唐三彩的复制和仿制工艺，至今也有百余年的历史某陶瓷厂在生产过程中，对仿制的 100 件工艺品测得其重量（单位： ）数据，将数据分组如表：分组 频数 频率42628102合计 100（1）在答题卡上完成频率分布表；（2）以表中的频率作为概率，估计重量落在 中的概率
12、及重量小于 2.45 的概率是多少？（3）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间 的中点值是 2.25）作为代表据此，估计这 100 个数据的平均值【答案】 （1）解析见分布表；（2） ；（3） .【解析】试题分析：（1）利用表格中数据，根据频数与频率的关系可完成成频率分布表；（2）利用互斥事件的概率公式可得重量落在 中的概率约为 ；（3）同一组数据常用该组区间的中点值与对应频率积求和，即可估计这 个数据的平均值 .试题解析：（1）分组 频数 频率4 0.0426 0.2630 0.3028 0.2810 0.102 0.02合计 100 1.00（2）重量落在 中的概率约为 ，
13、或 ，重量小于 2.45 的概率约为 （3）这 100 个数据的平均值约为19. 如图，四边形 是矩形， ， ， ， 平面 ， （1）证明：平面 平面 ；（2）设 与 相交于点 ，点 在棱 上，且 ，求三棱锥 的体积【答案】 （1）证明见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）先证明 ，可得 ，再由线面垂直的性质可得 ，利用线面垂直的判定定理可得结论；（2）先证明为棱 的中点， 到平面 的距离等于 ，利用相似三角形的性质可得 ，从而利用棱锥的体积公式可得结果.试题解析：（1）证明：因为四边形 是矩形， ， ， ，所以 ， ，又 ，所以 ， 因为 ，所以 ，又 平面 ，所以 ，而 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 （2）解：因为 ， ，所以
