1、2017 届广东省揭阳市第一中学高三下学期开学考试（正月联考）理科数学试题一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项1. 若复数 满足， ，则 的虚部为（ ）z343izizA-4 B C4 D5452. 已知命题 ： ，则 为（ ）p01,2xRpA B ,2x 01,20xRC Dx3.若 0ab， ，则一定有（ ）cdA B ab C abcd D abcd4. 如图所示的程序框图运行后输出的结果是（ ）A.4 B.8 C.16 D.325. 函数 ()sin()0,)fxAx的图像关于直线 3对称,它的最小正周期为
2、,则函数 )(xf图像的一个对称中心是( )A 0,12(B 1,3C ）0,125(D ,0126. 在 中， ， ， 是边 上的一点，且A43ABBC，DBC则 的值为（ ）AA0 B4 C8 D 47. 把边长为 的正方形 沿对角线 折起，形成的三棱锥 的正视图与俯1ABABCD视图如图所示，则其侧视图的面积为（ ）A B C D214218. 将甲，乙，丙 3 本不同的书籍放到 6 个书柜里，每个书柜最多放 2 本书，那么不同的放法有（ ）A150 种 B180 种 C210 种 D240 种9. 将函数 的图象向左平移 个单位，再向上平移 个单位，得到)2sin()(xf 121的图
3、象.若 ，且 ，则 的最大值为（ xg91g,x2x）A B C D6256351244710. 一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 ，得 2 分的概率为 ，不得分的概率为 ，abc，已知他投篮一次得分的数学期望是 2，则 的最小值为)1,0(,cba a31A B C D328314611. 等差数列 n中，首项 01a，公差 d，前 n项和为 nSN有下列命题若 13S，则必有 4； 若 13S，则必有 7是 中最大的项；若 87，则必有 98； 若 87，则必有 96；其中正确的命题的个数是（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个12.设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 ，使得
4、 ，1xfeax1at0ft则 的取值范围是（ ）aA B C D3,12e3,24e3,24e3,12e二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上。13.设 展开式中的常数项为 .23()x14. 已知实数 满足不等式组 ，则 的最小值为,y2041xy3zxy_15. 定义 ，则由函数 的图象与 轴、2, 1min, min,abfxx， 设 fx直线 所围成的封闭图形的面积为 2x16. 过双曲线 的左焦点 作圆 的切线，210,yab,0Fc22xya切点为 ，延长 交抛物线 于点 ， 为原点，若 ，EF24ycxPO1EOFP
5、则双曲线的离心率为 三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17(12 分)设 为各项不相等的等差数列 的前项和，已知 ， .nSna753a93S（1）求数列 的通项公式；a（2）设 为数列 的前项和，求 的最大值.nT1n1naT18 （12 分）2016 年 1 月 1 日起全国统一实施全面两孩政策.为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度,某市选取 后和 后作为调查对象, 随机调查了 位,得到数据如下表：70810（1 ） 以这 个人的样本数据估计该市的总体数据 ,且以频率估计概率 ,若从该市 后公民0 70中随机抽取 位,记其中生二胎的人数为 ,求随机变量 的分布列和数
6、学期望；4X（2 ） 根据调查数据,是否有 以上的把握认为“生二胎与年龄有关”,并说明理由：09参考数据：（参考公式： ,其中 ）22nadbcKdnabcd19.（12 分） 如图，在梯形 ABCD 中，AB/CD，AD=DC=CB= ， ，平面 平面a60ABCAFEABCD，四边形 ACFE 是矩形，AE=（1 ）求证： 平面 ACFE；（2 ）求二面角 的余弦值 .EFD20(12 分)已知双曲线 21xy的焦点与椭圆 C:21(0)xyab的焦点重合, 且椭圆 C 的长轴长为 4，M、N 是椭圆 C 上的动点.（1）求椭圆 C 标准方程；（2）若点 M在第一象限，且点 ,N关于原点对
7、称，点 在 x轴的射影为点 A，连接 NA 并延长其交椭圆 C 于点 B，求证：以 为直径的圆经过点 。21. (12 分) 已知函数 ln,xfxgFfge（1）证明 在区间 内有且仅有唯一实根；F12（2）记 在区间 内的实根为 ，函数 ，x,0xmin,xfx若方程 在区间 有两不等实根 ，mnR,122,试判断 与 的大小，并给出对应的证明12x0选做题：（请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。 ）22(10 分)在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）xOyCsin24co3yx，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立
8、极坐标系，直线 的极坐标方程为l.cos()24（1）求圆 的普通方程和直线 的直角坐标方程；Cl（2）设 是直线 上任意一点，过 作圆 切线，切点为 ，求四边形MlMCBA,面积的最小值. ABC23(10 分)已知函数 .21fxx（1）解关于 的不等式 ；4（2）设 ,试比较 与 的大小.,|abyfxab420162017 学年度高三正月两校联考理科数学参考答案一、选择题：DDBCA BDCCD DD 二、填空题：13. 14. 15. 16. 20141ln23三.解答题17解：（1）设 的公差为 ，则 .(2 分)nad9236(3)4)(111dada解得 （舍去） ， (5 分
9、)301d21 1)(nn（2） (7 分)21)(1nan )2(12)1()431(21321 nnaaTnn (9 分) (1216)42()4(2)4(2)(1 nnnna分)18. 解：（1）由条件可知 70 后生二胎的概率为 ，且 .1 分2324,3xB:故 的可能取值为 ，且X0,123444210,2343kkPXkC即 ， 04=8PC 1348=，24143X3142PXC6 分046=8PC的分布列为8 分2843EX(2)因为 2 22 1034510= 3.2.7067nadbcK由表格可知有 90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”.12 分19. 证明：（1）在
10、梯形 中， ，ABCD/, 四边形 是等腰梯形，ADa60ABCD且 312;9CABC又 平面 平面 ，交线为 ，AFED平面 ( 5 分)（2 ） （法一）根据已有垂直关系，,以点 为原点，所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,则 )0,(C, ),(aB， )0,3(aA，,F， ,3E ,F，)0,(a),2(aD可得平面 BEF 的法向量 ，平面 EFD 的法向量为 =（0，-2，1） ， (101,mnX0 1 2 3 4P 816分) 10|,cosnm又二面角 B-EF-D 的平面角为锐角，即 DEFB的余弦值为 10 (12 分)（法二）过 作 交 的延长线于 ，连接 .D/
11、GACG因为 ，所以 ，所以 面 .6 分/ACEF由（1）知 ，又 ，故2CAB2aCG因为 ， ，所以 面BF因为 ，所以 面 8 分/故有 ,EFG所以 为二面角 的平面角.9 分BEF在 中， ，在 中，RtC:2aRtC:25aGF又 11 分3G故在 中，BF:222 59104cos aBFG所以二面角 的余弦值为 12 分E1020.解：(1)由题设可知：双曲线 2xy的焦点为 (2,0)， (1 分)所以椭圆中的 ,c 又由椭圆的长轴为 4 得 a故 22ba ， 故椭圆的标准方程为：21xy (4 分)（2）证明：设 12(,)(,)MxyB由题设可知 121100,(0)
12、,)xANxy由题设可知 ABl斜率存在且满足 121NAByk. (5 分)121.MNBykx (7 分)将代入可得： 2221211()()()MNByyxyxykx (9 分)点 ,在椭圆24，故22121()()410MNBxyxyk x (11 分)所以 0MNBkB因此以 为直径的圆经过点 (12 分)20. 解：（1）证明： ，定义域为 ，lnxFxe10,lnxxFxe而 故 ，即 在 上单调递增，,2x01,2又 ，21,lnee 在区间 有且仅有唯一实根 (3 分)Fx（2）当 时， ，而 ，故此时有 ，01l0fx0xgefxg由（1）知， ，当 时， ，1nxeF且存
13、在 ，使得 ，故 时，0,2x000Ff 01x；fg当 时， 0xfxg ， (5 分)0ln,xme显然当 时， ，因而 单增；01ln,1ln0xmxmx当 时， ，因而 递减；x,xxee在 有两不等实根 ，则 mn,12,102,1,x要证： 即证 ， (7 分)120x200x 在 上递减，故可证 ，又由 ，mx0,201mxx12mx即证 ，即 ， (8 分)1012x011lnxe记 ，其中 00ln,xhxeh， (9 分)0 00222lxxe 记 ，当 时， ； 时，1,ttee,1t1,t故 ，而 故 ，而 ，从而0maxte0x，021xe因此 ， (11 分)0 0
14、0222111lnlnxxxheee即 单调递增，从而 时， ，即 ，xh0112lnx故 得证 (12 分)12022解：（1）圆 的参数方程为 （ 为参数） ，所以圆 的普通方程为Csin24co3yx C，由 ，得 ，4)()3(22yx )(2sinco ，直线 的直角坐标方程为 . (5 分)ysin,col 0yx（2）圆心 到直线 ： 的距离为 ，)4,3(Cl02x 23|4|d由于 是直线 上任意一点，则 ，四边形 面积Ml 3|MCAMBC242|2|212 dACS四边形 面积最小值为 . (10 分)B23解：（1） 1132, 34xxf x,或 .2113, 324xxf x 122,2414xxx或所以不等式的解集为 . (5 分),（2）由（1）已知 .33fxab 42422ab bab又 3,0,0,. (10 分)2
