1、/2019 届高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分1 已知集合 ， 若 ，则实数 a 的 值 为 13Aa， ， 4B， ABI4【答案】42 复数 （ 为虚数单位）的实部为 2iz【答案】 53 某单位普通职工和行政人员共 280 人为了解他们在“学习强国”APP 平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为 56 的样本已知从普通职工中抽取的人数为49，则该单位行政人员的人数为 【答案】354. 从甲、乙、丙、丁这 4 名学生中随机选派 2 人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有 1 人被选中的概率为 【答案
2、】 235 执行如图所示的伪代码，则输出的 S 的值为 【答案】306. 函数 的定义域为 416xy【答案】 2)，7. 将 函 数 的 图 象 向 左 平 移 个 单 位 长 度 得 到 的 图 象 ， 则 的 值 为 sin3yx12()yfx3f【答案】 28. 在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的右顶点 到渐近线xOy21(0)yxabb， (20)A，的i 1S 2While 7S S i i i + 2End WhilePrint S（第 5 题）/距离为 ，则 b 的值为 2【答案】9 在ABC 中，已知 C 120，sin B 2 sinA，且ABC 的面积为 ，则 AB 的
3、长为 23【答案】 2710设 P， A， B， C 为 球 O 表 面 上 的 四 个 点 ， PA， PB， PC 两 两 垂 直 ， 且 PA 2 m， PB 3 m，PC 4 m，则球 O 的表面积为 m 2【答案】 2911定 义 在 R 上 的 奇 函 数 满 足 ， 且 在 区 间 上 ，()fx(4)(ffx24， 23()4xf， ， ，则函数 的零点的个数为 5()logyf|【答案】512已知关于 的不等式 ( a，b，c R ) 的解集为 x | 3 x 4，则 的最小x20ax25cab值为 【答案】 4513 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知
4、点 A， B 在 圆 上 ， 且 ， 点24xy2ABP（ 3， 1） ，设 的 中 点 M 的横坐标为 x0，则 x0 的所有值为 6OABurr【答案】 15，14已知集合 ，从集合 中取出 个不同|21|8NNxkBxk ， ， ， Am元素，其和记为 ；从集合 中取出 个不同元素，其和记为 若 ，则 的SnT967S n2最大值为 【答案】44/二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分15. (本小题满分 14 分)在平面直角坐标系中，设向量 a ，b ，其中(cosin)， sin()cos()6，02（1）若 ab，求 的值；（2）若 ，求 的值1tn7ab【解】 （1）因为
5、 ab，所以 ，2 分cos()sin()066所以 4 分20因为 ，所以 07266于是 解得 6 分2， （2）因为 ，所以 ，又 ，故 02021tan2072因为 ，所以 ，sin1taco7cosi又 ，22si解得 10 分2ns1010，因此， 12 分abcoin()+icos()sin(2)666si22in 14 分37271100016. (本小题满分 14 分)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧面 BCC1B1 为正方形，A 1B1B 1C1设 A1C 与 AC1 交于点 D，B 1C 与 BC1 交于点 E求证：（1）DE平面 ABB1A1； ABCA1B
6、1C1ED（第 16 题）/（2）BC 1平面 A1B1C【证明】 （1）因为三棱柱 ABCA1B1C1 为直三棱柱， 所以侧面 ACC1 A1 为平行四边形又 A1C 与 AC1 交于点 D，所以 D 为 AC1 的中点，同理，E 为 BC1 的中点所以 DEAB3 分又 AB平面 ABB1 A1，DE 平面 ABB1 A1，所以 DE平面 ABB1A1 6 分（2）因为三棱柱 ABCA1B1C1 为直三棱柱，所以 BB1平面 A1B1C1又因为 A1B1平面 A1B1C1，所以 BB1A 1B1 8 分又 A1B1B 1C1， BB1，B 1C1平面 BCC1B1，BB 1B 1C1 B1
7、，所以 A1B1平面 BCC1B1 10 分又因为 BC1平面 BCC1B1，所以 A1B1BC 112 分又因为侧面 BCC1B1 为正方形，所以 BC1B 1C又 A1B1B 1C B1，A 1B1，B 1C 平面 A1B1C，所以 BC1平面 A1B1C14 分17. (本小题满分 14 分) 图是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成如图，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面 ABFE 和 CDEF 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面 EAD 和 FBC 是 全等的三角形点 F 在平面 ABCD 和 BC 上的射影分别为 H，M已知 HM 5 m，BC 10 m，梯 形 ABFE
8、 的面积是FBC 面积的 2.2 倍设FMH (0)4（1）求屋顶面积 S 关于 的函数关系式； （2）已 知 上 部 屋 顶 造 价 与 屋 顶 面 积 成 正 比 ， 比 例 系 数 为 k（ k 为 正 的 常 数 ） ， 下 部 主 体 造 价 与 其高度成正比，比例系数为 16 k现欲造一栋上、下总高度为 6 m 的别墅，试问：当为何值时，总造价最低？ /【解】 （1）由题意 FH平面 ABCD，FMBC，又因为 HM 平面 ABCD，得 FHHM 2 分在 Rt FHM 中，HM 5， ，FMH所以 4 分cosFM因此FBC 的面积为 12502cos从而屋顶面积 V梯 形FBC
9、ABFESS25160.csoscs所以 S 关于 的函数关系式为 ( ) 6 分160o4（2）在 RtFHM 中， ，所以主体高度为 8 分5tanH65tanh所以别墅总造价为 16ySkh0(5tan)16cosk168i9sk10 分2in06cok记 ， ，2sin()cof4所以 ，12令 ，得 ，又 ，所以 12 分()0fsin0466， 64，（第 17 题）A BCDE FH MA BCDE FH M/列表：所以当 时， 有最小值6()f答：当 为 时 该别墅总造价最低 14 分18 （本小题满分 16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C1： ，椭圆 C
10、2：214xy，21(0)yxabC2 与 C1 的长轴长之比为 1，离心率相同2（1）求椭圆 C2 的标准方程；（2）设点 为 椭圆 C2 上一点P 射线 与椭圆 C1 依次交于点 ，求证： 为定值；OAB， PA 过点 作两条斜率分别为 的直线 ，且直线 与椭圆 C1 均有且只有12k， 12l， 12l，一个公共点，求证： 为定值【解】 （1）设椭圆 C2 的焦距为 2c，由题意， ， ， ，a3c22abc解得 ，因此椭圆 C2 的标准方程为 3 分b218yx（2）1当直线 OP 斜率不存在时， ，则 4 分PA1B2321PAB2当直线 OP 斜率存在时，设直线 OP 的方程为 ，
11、ykx代入椭圆 C1 的方程，消去 y，得 ，2(4)kx所以 ，同理 6 分24Axk281Px()f 0 f3ZPAB（第 18 题）xyO/所以 ，由题意， 同号，所以 ，2PAxPAx与 2PAx从而 |213B所以 为定值 8 分32设 ，所以直线 的方程为 ，即 ，0()Pxy， 1l010()ykx10ykx记 ，则 的方程为 ，1tk1l1kxt代入椭圆 C1 的方程，消去 y，得 ，221(4)840ktx因为直线 与椭圆 C1 有且只有一个公共点，1l所以 ，即 ，222(8)4()(40kttV210kt将 代入上式，整理得， ， 12 分10tyx220010()xxy
12、同理可得， ，202(4)1ky所以 为关于 k 的方程 的两根，12k， 200(4)1xkxy从而 14 分0124yx又点在 椭圆 C2： 上，所以 ，0()P，218yx220014yx所以 为定值 16 分012214kx19 （本小题满分 16 分）已知函数 21()lnfax， R（1）当 时，求函数 的极值；3a()f（2）设函数 在 处的切线方程为 ，若函数 是 上()fx0 ()ygx()yfxg0，的单调增函数，求 的值；（3）是否存在一条直线与函数 的图象相切于两个不同的点？并说明理由 ()yfx/【解】 （1）当 时，函数 的定义域为 3a21()ln3fxx0，则
13、，2()fx令 得， 或 2 分f01x列表：所以函数 的极大值为 ；极小值为 4 分()fx5(1)2f(2)ln4f（2）依题意，切线方程为 ，00)yfxfx从而 ，0()()(gxfxf记 ，pf则 在 上为单调增函数，00()()()xxfx0，所以 在 上恒成立，pff ，即 在 上恒成立 8 分002()xx ，法一：变形得 在 上恒成立 ，() 0，所以 ，又 ，所以 10 分02x002x法二：变形得 在 上恒成立 ，0 ，因为 （当且仅当 时，等号成立） ，22xx 2x所以 ，从而 ，所以 10 分0 20x 0（3）假设存在一条直线与函数 的图象有两个不同的切点 ， ，
14、()f 1()Txy， 22()xy，不妨 ，则 处切线 的方程为： ，120x1T1l1()yfxf0， 1 2， 2 ，()fx+ 0 0 + 极大值 极小值 /处切线 的方程为： 2T2l 22()()yfxfx因为 ， 为同一直线，所以 12 分1l2 1122()()().fxfff，即 112 2222lnln.xaxaxaxxa，整理得， 14 分12221lln.xx，消去 得， 2x21ln0x令 ，由 与 ，得 ，1t1201x(1)t，记 ，则 ，()2lnpt22()0pttt 所以 为 上的单调减函数，所以 t01)， ()1p从而 式不可能成立，所以假设不成立，从而
15、不存在一条直线与函数 的图象有两个 ()fx不同的切点 16 分20 （本小题满分 16 分）已知数列 的各项均不为零设数列 的前 n 项和为 Sn，数列 的前 n 项和为 Tn，nana2na且 2340ST， N（1）求 的值；12，（2）证明：数列 是等比数列；na（3）若 对任意的 恒成立，求实数 的所有值1()()0nN【解】 （1）因为 ， 234nnST*令 ，得 ，因为 ，所以 n110a10a1a/令 ，得 ，即 ，2n22231410aa20a因为 ，所以 3 分20a2（2）因为 ， 340nnST所以 ， 211 得， ，211340nnnSaa因为 ，所以 ， 5 分
16、10naS所以 ， 340(2)nSa当 时， 得， ，即 ，2n 1130nna12nna因为 ，所以 0na12na又由（1）知， ， ，所以 ，121a所以数列 是以 1 为首项， 为公比的等比数列 8 分n（3）由（2）知， 12nna因为对任意的 ， 恒成立，*N10nna所以 的值介于 和 之间12n因为 对任意的 恒成立，所以 适合 10 分10n*nN0若 ，当 为奇数时， 恒成立，从而有 恒成立01122n12n记 ，因为 ，2()4)np 211()() 0nnnpn所以 ，即 ，所以 （*） ，(1 2n 从而当 时，有 ，所以 不符 13 分5n 且 1n 0若 ，当
17、为奇数时， 恒成立，从而有 恒成立0122n2n/由（*）式知，当 时，有 ，所以 不符15n 且 -12n 0综上，实数 的所有值为 0 16 分21 【选做题】A选修 4-2：矩阵与变换 （本小题满分 10 分）已知 m，nR，向量 是矩阵 的属于特征值 3 的一个特征向量，求矩阵 M112mnM及另一个特征值【解】由题意得， 即3，1322n，所以 即矩阵 . 5 分21.mn， 1=M矩阵 的特征多项式 ，2()1402f解得矩阵 的另一个特征值为 .10 分=B选修 4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分 10 分）在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 直 线 的
18、参 数 方 程 为 ( t 为 参 数 )， 椭 圆 C 的 参 数 方l1xyt，程为 .设直线 与椭圆 C 交于 A，B 两点，求线段 AB 的长)(sinco2为 参 数， yxl【解】由题意得，直线 的普通方程为 l 10xy椭圆 C 的普通方程为 4 分21xy由联立，解得 A ，B ， 8 分(0)， -43，所以 10 分22413BC选修 4-5：不等式选讲 （本小题满分 10 分）/已知 x，y，z 均是正实数，且 求证： ，16422zyx 6xyz【证】由柯西不等式得， 5 分22 22因为 ，所以22416xyz291634xyz ，所以， 当且仅当“ ”时取等号 10
19、 分 ， 【必做题】第 22 题、第 23 题，每小题 10 分，共计 20 分 22.（本小题满分 10 分）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ，AB 1，AP AD ABCDPABPABCD2.（1）求直线 与平面 所成角的正弦值；（2）若点 M，N 分别在 AB，PC 上，且 平面 ，试确定点 M，N 的位置MNP【解】 （1）由题意知，AB，AD，AP 两两垂直以 为正交基底，建立如图所示的空间ABDPurr， ，直角坐标系 ，则xyz(10)(20)(20)(2)CP， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， .从而 1PBPD， ， ， ， ， ， ， ，ururur设平面
20、 PCD 的法向量 ()xyzn， ， ，则 即0CPDnru， 20z，不妨取 则 1y， 1x，所以平面 PCD 的一个法向量为 3 分(01)n， ，设直线 PB 与平面 PCD 所成角为 所以， 10sicos5PBnurr， ， （第 22 题）AB C DP zx y/即直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 5 分105（2）设 则(0)Ma， ， ， ()Aa， ， ，ur设 则 而PNC，ur2， ， -， (02)AP， ， ，ur所以 8 分()PNarur， ，由（1）知，平面 PCD 的一个法向量为 ，(01n， ，因为 平面 PCD，所以 MNMur所以 解得
21、， 02a， ， 12a，所以 M 为 AB 的中点，N 为 PC 的中点 10 分23.（本小题满分 10 分）已知 均为非负实数，且 *12(4)naa ， ， ， ， 12naa证明：（1）当 时， ； 412341+a（2）对于任意的 ， *nN， 2311+nnaaL证明：（1）当 时，因为 ， ， 均为非负实数，且 ，41a4 234a所以 2 分1234123413124+=()()()a a 4 分3()（2）当 时，由（1）可知，命题成立；4n假设当 时，命题成立，()k即对于任意的 ，若 ， ， 均为非负实数，且 ，4 1x2kx12+kxL则 123+kkxL则当 时，设 ，并不妨设 n12+12kaa+112+1maxk ka， ， ， ，/令 ，则 12311+kkxaxaxa， ， ， 2+kx由归纳假设，知 8 分12+kk 因为 均为非负实数，且 ，123a， ， +1ka所以 1232+()()kkxa23131kk kaaa 所以 ，12312341()(+)()()kk k kxxx a 即 ，231+kkaa 也就是说，当 时命题也成立n所以，由可知，对于任意的 ， 10 分4n 1231+naa
