1、2.2.1 对数与对数运算（三课时）对数与对数运算（三课时）教学目标：1理解并记忆对数的定义，对数与指数的互化，对数恒等式及对数的性质2理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程3熟练运用对数的性质和对数运算法则解题4对数的初步应用.教学重点：对数定义、对数的性质和运算法则教学难点：对数定义中涉及较多的难以记忆的名称，以及运算法则的推导教学方法：学导式教学过程设计第一课时师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为 7.2，求 20 年后国民生产总值是原来的多少倍？生：设原来国民生产总值为 1，则 20 年后国民生产总值 y=（1+7.2） 20=1.07220，所以 20 年后国民生产总值是原来
2、的 1.07220倍师：这是个实际应用问题，我们把它转化为数学中知道底数和指数，求幂值的问题也就是上面学习的指数问题师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为 7.2，问经过多年年后国民生产总值是原来的 4 倍？师：（分析）仿照上例，设原来国民生产总值为 1，需经 x 年后国民生产总值是原来的4 倍列方程得:1.072 x=4我们把这个应用问题转化为知道底数和幂值，求指数的问题，这是上述问题的逆问题，即本节的对数问题师：（板书）一般地，如果 a（a0，a1）的 x 次幂等于 N，就是 ，那么数xax 就叫做以 a 为底 N 的对数(logarithm)，记作 x=logaN，其中 a 叫做对
3、数的底数，N 叫做真数，式子 logaN 叫做对数式对数这个定义的认识及相关例子:(1)对数式 logaN 实际上就是指数式中的指数 x 的一种新的记法(2)对数是一种新的运算是知道底和幂值求指数的运算实际上 这个式子涉及到了三个量 a，x，N，由方程的观点可得“知二求一” 知x道 a，x 可求 N，即前面学过的指数运算；知道 x（为自然数时） 、N 可求 a，即初中学过的开根号运算，记作 ；知道 a,N 可以求 x，即今天要学习的对数运算，记作 logaN= xx因此，对数是一种新的运算，一种知道底和幂值求指数的运算而每学一种新的运算，首先要学习它的记法，对数运算的记法为 logaN，读作：
4、以 a 为底 N 的对数请同学注意这种运算的写法和读法师：下面我来介绍两个在对数发展过程中有着重要意义的对数师：（板书）对数 logaN（a0 且 a1）在底数 a=10 时，叫做常用对数(common logarithm)，简记 lgN；底数 a=e 时，叫做自然对数(natural logarithm)，记作 lnN，其中 e 是个无理数，即 e2.718 28师：实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式为了更深入认识并记忆对数这个概念，请同学们填写下列表格 名称 式子 a x N 指数式对数式ax=NlogaN=x 练习 1 把下列指数式写成对数形式：461(1)52;();(
5、3)5.74m练习 2 把下列对数形式写成指数形式：1log;lg0.2;ln10.3练习 3 求下列各式的值：（两名学生板演练习 1，2 题（过程略） ，一生板演练习三 ）因为 22=4，所以以 2 为底 4 的对数等于 2因为 53=125，所以以 5 为底 125 的对数等于 3（注意纠正学生的错误读法和写法 ）例题（教材第 73 页例题 2）师：由定义，我们还应注意到对数式 logaN=b 中字母的取值范围是什么？生：a0 且 a1；xR；NR师：NR？（这是学生最易出错的地方，应一开始让学生牢牢记住真数大于零 ）生：由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而 ax=N 中 N 总
6、是正数师：要特别强调的是：零和负数没有对数师：定义中为什么规定 a0，a1？（根据本班情况决定是否设置此问 ）生：因为若 a0，则 N 取某些值时，x 可能不存在，如 x=log（-2） 8 不存在；若 a=0，则当 N 不为 0 时，x 不存在，如 log02 不存在；当 N 为 0 时， x 可以为任何正数，是不唯一的，即 log00 有无数个值；若 a=1，N 不为 1 时，x 不存在，如 log13 不存在，N 为 1 时，x可以为任何数，是不唯一的，即 log11 有无数多个值因此，我们规定： a0，a1（此回答能培养学生分类讨论的数学思想这个问题从 ax=N 出发回答较为简单 ）练
7、习 4 计算下列对数：lg10000，lg0.01， ， ， ， 2log43log27lg105512og师：请同学说出结果，并发现规律，大胆猜想生： =4这是因为 log24=2，而 22=42log4生： =27这是因为 log327=3，而 33=2737生： =105l105生：我猜想 ，所以 =1125logaN512og师：非常好这就是我们下面要学习的对数恒等式师：（板书）（a0，a1，N0） （用红笔在字母取值范围下画上曲线）logaN（再次鼓励学生，并提出更高要求，给出严格证明 ） （学生讨论，并口答 ）生：（板书）证明：设指数等式 ab=N，则相应的对数等式为 logaN=
8、b，所以 ab= logaN师：你是根据什么证明对数恒等式的？生：根据对数定义师：（分析小结）证明的关键是设指数等式 ab=N因为要证明这个对数恒等式，而现在我们有关对数的知识只有定义，所以显然要利用定义加以证明而对数定义是建立在指数基础之上的，所以必须先设出指数等式，从而转化成对数等式，再进行证明师：掌握了对数恒等式的推导之后，我们要特别注意此等式的适用条件生：a0，a1，N0师：接下来观察式子结构特点并加以记忆（给学生一分钟时间 ）师：（板书）2 log28=？2 log42=？生：2 log28=8；2 log42=2师：第 2 题对吗？错在哪儿？师：（继续追问）在运用对数恒等式时应注意
9、什么？（经历上面的错误，使学生更牢固地记住对数恒等式 ）生：当幂的底数和对数的底数相同时，才可以用公式 logaN（师用红笔在两处 a 上重重地描写 ）师：最后说说对数恒等式的作用是什么？生：化简！师：请打开书 74 页，做练习 4 （生口答略）师：对对数的定义我们已经有了一定认识，现在，我们根据定义来进一步研究对数的性质师：负数和零有没有对数？并说明理由生：负数和零没有对数因为定义中规定 a0，所以不论 x 是什么数，都有 ax0，这就是说，不论 x 是什么数，N=a x永远是正数因此，由等式 x=logaN 可以看到，负数和零没有对数师：非常好由于对数定义是建立在指数定义的基础之上，所以我
10、们要充分利用指数的知识来研究对数师：（板书）性质 1：负数和零没有对数师：1 的对数是多少？生：因为 a0=1（a0，a1） ，所以根据对数定义可得 1 的对数是零师：（板书）1 的对数是零师；底数的对数等于多少？生：因为 a1=a，所以根据对数的定义可得底数的对数等于 1师：（板书）底数的对数等于 1师：给一分钟时间，请牢记这三条性质练习：课本第 74 页练习 1、2、3、4 题。作业：课本第 86 页习题 2.2A 组题第 1、2 题。第二课时师：在初中，我们学习了指数的运算法则，请大家回忆一下生： (m,nZ)； (m,nZ)； (nZ)，mna()mna()nnab师：下面我们利用指数
11、的运算法则，证明对数的运算法则 （板书）（1）正因数积的对数等于同一底数各个因数的对数的和，即loga（MN）=log aM+logaN（请两个同学读法则（1） ，并给时间让学生讨论证明 ）师：我们要证明这个运算法则，用眼睛一瞪无从下手，这时我们该想到，关于对数我们只学了定义和性质，显然性质不能证明此式，所以只有用定义证明而对数是由指数加以定义的，显然要利用指数的运算法则加以证明，因此，我们首先要把对数等式转化为指数等式师：（板书）设 logaM=p，log aN=q，由对数的定义可以写成 M=ap，N=a q所以MN=apaq=ap+q，所以 loga（MN）=p+q=log aM+loga
12、N即 loga（MN）=log aM+logaN师：这个法则的适用条件是什么？生：每个对数都有意义，即 M0，N0；a0 且 a1师：观察法则（1）的结构特点并加以记忆生：等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算师：非常好例如， （板书）log 2（3264）=？生：log 2（3264）=log 232+log264=5+6=11师：通过此例，同学应体会到此法则的重要作用降级运算它使计算简化师：（板书）log 62+log63=？生：log 62+log63=log6（23）=1师：正确由此例我们又得到什么启示？生：这是法则从右往左的使用是升级运算师：对对于运算法则（公
13、式） ，我们不仅要会从左往右使用，还要会从右往左使用真正领会法则的作用！师：（板书） （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数师：仿照研究法则（1）的四个步骤，自己学习（给学生三分钟讨论时间 ）生：（板书）设 logaM=p，log aN=q根据对数的定义可以写成 M=ap，N=a q所以师：非常好他是利用指数的运算法则和对数的定义加以证明的大家再想一想，在证明法则（2）时，我们不仅有对数的定义和性质，还有法则（ 1）这个结论那么，我们是否还有其它证明方法？生：（板书）师：非常漂亮他是运用转化归结的思想，借助于刚刚证明的法则（1）去证明法则（2） 他的证法要比书上的更简单这说明，
14、转化归结的思想，在化难为易、化复杂为简单上的重要作用事实上，这种思想不但在学习新概念、新公式时常常用到，而且在解题中的应用更加广泛师：法则（2）的适用条件是什么？生：M0，N0；a0 且 a1师：观察法则（2）的结构特点并加以记忆生：等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算师：（板书）lg20-lg2=？师：可见法则（2）的作用仍然是加快计算速度，也简化了计算的方法师：（板书）例 1 计算：（学生上黑板解，由学生判对错，并说明理由 ）：（1）log 93+log927=log9327=log981=2；（3）log 2（4+4）=log 24+log2
15、4=4；生：第（2）题错！在同底的情况下才能运用对数运算法则 （板书）生：第（3）题错！法则（1）的内容是：生：第（4）题错！法则（2）的内容是：师：通过前面同学出现的错误，我们在运用对数运算法则时要特别注意什么？生：首先，在同底的情况下才能从右往左运用法则（1） 、 （2） ；其次，只有在正因数的积或两个正数的商的对数的情况下，才能从左往右运用运算法则（1） 、 （2） 师：（板书） （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数即loga（N） n=nlogaN师：请同学们自己证明（给几分钟时间） 师：法则（3）的适用条件是什么？生：a0，a1；N0师：观察式子结构特点并加以记忆生：从左
16、往右仍然是降级运算师：例如， （板书）log 332=log525=5log52练习计算（log 232） 3（找一好一差两名学生板书 ）错解：（log 232） 3=log2（2 5） 3=log2215=15正确解：（log 232） 3=（log 225） 3=（5log 22） 3=53=125（师再次提醒学生注意要准确记忆公式 ）师：（板书） （4）正数的正的方根的对数等于被开方数的对数除以根指数即师：法则（4）的适用条件是什么？生：a0，a1；N0师：法则（3）和法则（4）可以合在一起加以记忆即logaN =log aN（R） （师板书）例 2 用 logax，log ay，log
17、 az 表示下列各式：解：（注意（3）的第二步不要丢掉小括号 ）例 3 计算：解：（生板书）（1）log 2（4 725）=log 247+log225=7log24+5log22=72+51=19师：请大家在笔记本上小结这节课的主要内容小结：通过本节课，应使学生明确如何学习一种运算（从定义、记法、性质、法则等方面来研究） ；如何学习公式或法则（从公式推导，适用条件，结构特点和记忆以及公式作用四方面来研究） 针对高中数学内容多、密度大、进度快的特点，应使学生尽早地掌握适应高中数学的学习方法练习：课本第 79 页练习第 1、2、3 题。作业：课本第 86 页习题 2.2A 组题第 3、4、5 题。第三课时简略教案设计说明：（1）对数换底公式（教材第 76 页“探究性问题” ）解决课本第 79 页练习第 4 题和第 87 页第 11 题，另外补充公式：及应用。loglmnaab（2）对数及对数运算性质的初步应用，解决课本第 77 页例 5 和例 6，使学生体会数学来源于生活而又应用于生活的实际意义，并培养学生学习数学的兴趣。
