1、2.2.1 对数与对数运算（一）教学目标（一） 教学知识点1 对数的概念；2对数式与指数式的互化 （二） 能力训练要求1理解对数的概念；能够进行对数式与指数式的互化；培养学生数学应用意识（三）德育渗透目标1认识事物之间的普遍联系与相互转化；用联系的观点看问题；了解对数在生产、生活实际中的应用教学重点对数的定义教学难点对数概念的理解教学过程一、复习引入：假设 2002 年我国国民生产总值为 a 亿元，如果每年平均增长 8%，那么经过多少年国民生产总值是2002 年的 2 倍？=2 x=?%81也是已知底数和幂的值，求指数你能看得出来吗？怎样求呢？二、新授内容：定义：一般地，如果 的 b 次幂等于
2、 N,就是 ，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对1,0aa数，记作 ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数blogabl例如： ； ；1642216og410220log1； 2l4.2.l10探究：1。是不是所有的实数都有对数？ 中的 N 可以取哪些值？ balog 负数与零没有对数（在指数式中 N 0 ）2根据对数的定义以及对数与指数的关系， ？ ？1laalog ， ；1loga1la对任意 且 , 都有 同样易知： 000la 1loga对数恒等式如果把 中的 b 写成 , 则有 NabNalogNalog常用对数：我们通常将以 10 为底的对数叫做常用对数为了简便,N 的常用对数 简
3、记作N10loglgN例如： 简记作 lg5； 简记作 lg3.5.5log10 5.3log10自然对数：在科学技术中常常使用以无理数 e=2.71828为底的对数，以 e 为底的对数叫自然对数，为了简便，N 的自然对数 简记作 lnNNel例如： 简记作 ln3； 简记作 ln103loge 10og（6）底数的取值范围 ；真数的取值范围 ),()0),0(三、讲解范例：例 1将下列指数式写成对数式： （1） （2） （3） (4) 65464127a 73.51m）（解：（1） 625=4； （2） =-6； （3） 27=a； （4） 5log2log3logm.log31例 2 将下
4、列对数式写成指数式：（1） ； （2） ； （3） ； （4） 46l21718l2201.l0.2ln解：（1） （2） =128； （3） =0.01； （4） =10)(7230.e例 3求下列各式中的 的值：x（1） ； （2） （3） （4）3log6468logx x10lgxe2ln例 4计算： ， ， ， 7l91l432l365lo34解法一：设 则 , x2log,79xx2设 则 , , 81l43814x43x16令 = , , x2og 132log132xx令 , , , 65l34 654x43x解法二： ； 29logl27log3399 16)3(log81l
5、434 = ;32132562353434四、练习：(书 P64)1.把下列指数式写成对数式(1) ； （） 32 ； （） ； （） 3252123127解：(1) (2) 32 (3) (4) 2log2log2log27log2.把下列对数式写成指数式(1) 3l5l 2l413l81解：(1) (2) (3) (4) 2343.求下列各式的值(1) 25 100 5log2log16lg 0.01 10000 0.0001lll解：(1) 25 (2) (3) 100 5log5l22log16lg(4) 0.01 (5) 10000 (6) 0.0001l ll4.求下列各式的值(1
6、) 15 1 81 6.25 343 24315log4.0log9log5.2log7log3log解：(1) 15 (2) 1 (3) 814.09(4) 6.25 (5) 343 (6) 2435.2l 7l 3l五、课堂小结 对数的定义； 指数式与对数式互换； 求对数式的值2.2.1 对数与对数运算（二）教学目标（三） 教学知识点对数的运算性质（四） 能力训练要求1进一步熟悉对数定义与幂的运算性质； 2. 理解对数运算性质的推倒过程；3熟悉对数运算性质的内容； 4熟练运用对数的运算性质进行化简求值；5明确对数运算性质与幂的运算性质的区别（三）德育渗透目标1认识事物之间的普遍联系与相互转
7、化； 2用联系的观点看问题教学重点证明对数的运算性质教学难点对数运算性质的证明方法与对数定义的联系教学过程一、复习引入：1对数的定义 其中 与 奎 屯王 新 敞新 疆bNalog),1()0a),0(N2指数式与对数式的互化 奎 屯王 新 敞新 疆 )(laab 且3.重要公式：负数与零没有对数； ， 奎 屯王 新 敞新 疆01loga1la对数恒等式 奎 屯王 新 敞新 疆Nalog4指数运算法则 奎 屯王 新 敞新 疆)()(,Rnbmnnm二、新授内容：1积、商、幂的对数运算法则：如果 a 0，a 1，M 0， N 0 有：)()(3R(nlogl 2N1ll()lanaa证明：设 M=
8、p, N=q 由对数的定义可以得：M= ，N= al paqMN= = MN=p+q， 即证得 MN= M + Npq aloglalog设 M=p， N=q 由对数的定义可以得 M= ，N= alogal paq 奎 屯王 新 敞新 疆 即证得 qqplog aaalogllog设 M=P 由对数定义可以得 M= ,aloga =np， 即证得 =n Mnpalnalogal说明：上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式简易语言表达：“积的对数 = 对数的和”有时逆向运用公式：如 10log2l5log10
9、10真数的取值范围必须是 ：),(是不成立的(l3l)5(3log222 是不成立的)10(og10对公式容易错误记忆，要特别注意：， NMNaaall)(log NMaaalogl)(l 2讲授范例：例 1 用 ， ， 表示下列各式：xalyalogzal32l)(;()logyxzyaa解：（1） = （xy）- z= x+ y- zxalalogalogalog（2） = （32logzyaal23l)zya= + =2 x+ al2xal3logaal zyaalog31l2例 2 计算（1） ， （2） ， （3） ， （4）5log1l4.0 )(log57250l解：（1） 25
10、= =2 奎 屯王 新 敞新 疆 （2） 1=05 4.0（3） （ 25）= + = + = 27+5=192l742log7l52l72log5（4）lg = 510l10l例 3计算：(1) (2) ;50lg2)(l;25log010(3) .18l73l14lg说明：此例题可讲练结合.解：(1) 50lg2)(l)15(lg2)(l 2lg5l(l2 1；)(2) 2；lo0g10l0(3)解法一：lg14-2lg +lg7-lg18=lg(27)-2(lg7-lg3)+lg7-lg( 2)3723=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0解法二：lg14-2
11、lg +lg7-lg18=lg14-lg +lg7-lg18=lg372)37( 01lg8)37(42评述：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系.(2)题要避免错用对数运算性质 .例 4已知 ， ， 求301.2lg471.lg45lg例 5课本 P66 面例 5.20 世纪 30 年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级 M，其计算公式为 MlgA lgA 0. 其中，A 是被测地震的最大振幅，A 0
12、是“标准地震” 的振幅( 使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).(1)假设在一次地震中，一个距离震中 100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是 20，此时标准地震的振幅是 0.001，计算这次地震的震级(精确到 0.1)；(2)5 级地震给人的震感已比较明显，计算 7.6 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的多少倍( 精确到 1).3课堂练习：教材第 68 页练习题 1、2、3 题4课堂小结 对数的运算法则，公式的逆向使用 nalog2.2.1 对数与对数运算（三）教学目标（五） 教学知识点1 了解对数的换底公式及其推导；2能应用对数换底公式进行化简、求值、证明；
13、3运用对数的知识解决实际问题。（六） 能力训练要求会用 ， 等变形公式进行化简bnmaanloglaNalog1l（三）德育渗透目标培养学生分析问题解决问题的能力教学重点对数换底公式的应用教学难点对数换底公式的证明及应用对数知识的运用。教学过程二、复习引入：对数的运算法则如果 a0，a 1，M0， N0 有：)()(3R(nlogl 2N1ll()lanaaa二、新授内容：1.对数换底公式： ( a0 ,a 1 ， m0 ,m 1,N0)Nmalogl证明：设 N = x , 则 = Nalogx两边取以 m 为底的对数： axammloglll 从而得： xlogalog2.两个常用的推论:
14、 ， 1laba 1llcba （a,b0 且均不为 1） mnalogl证： ；1lglolgbaba mnamnam lolll三、讲解范例：例 1 ，已 知 9log18，5b.4lg36求练1. 已知 ， , 用 a, b 表示 a3log27log3 56log42解：因为 3 = a，则 , 又 7 = b,l 2l13l .1log7l4log56 l 33342 a2. 求值 .0l10例 2设 ，求 m 的值16logl8og4l 43解： ， 32l4 ，即 m9 l3例 3计算： , 3log12.054log16327解：原式 = 531loglog52.0 ， ， 原
15、式 2l4l6l 3327 2logl4log323332例 4P67 例 6生物机体内碳 14 的“半衰期”为 5730 年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳 14 的残余量约占 76.7%，试推算马王堆古墓的年代.例 5已知 x= ，求 x alogcb分析：由于 x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将 c 移到等式左端，或者将 b 变为对数形式alog解法一： 由对数定义可知： bcaxlogbcalog解法二： 由已知移项可得 ，即 l xl由对数定义知： bacbcx解法三： balogaaalogllbacl bacx.练习：教材 P68 第 4 题三、课堂小结 换底公式及其推论
