1、0绝密启用前鹰潭市 2015 届高三第一次模拟考试数学试题 (理科)命题人：金俊颖 余江一中 审题人：何卫中 贵溪一中本试卷分第卷和第 II 卷两部分，满分 150 分，时间 120 分钟 第卷一、选择题：本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。1设集合 ，集合 ，则 等于（ ）12|xAxyxB7cos| BAA B C D3,73,73,3,72已知 为虚数单位， 为实数，复数 在复平面内对应的点为 ，则“ ”是“点 在第四ia(2)1zaiM21a象限”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必
2、要条3设 等 比 数 列 的 前 项 和 为 ， 满 足 ， 且 ，nanS0,1naq35260,4aa则 =（ ）6SA63 B48 C42 D36 4已知 ，则 （ ）58cos3six)6cos(xA B C D5345455已知命题 :函数 的最小正周期为 ；命题 ：若函数 为偶函数，则 关于p21()sinf q)1(xf )(xf对称.则下列命题是真命题的是（ ）1xA B C Dqqp()ppq6已 知 实 数 ， 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 则 输 出 的 不 小 于 的 概 率 为 （ ）,8765,43x2A B C D348587217已知 ，则 展
3、开式中， 项的系数为（ ）20)cos(dxa912ax3xA B C D638631216388甲乙两人从 门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有 门不相同的选法共有（ ）4A30 种 B36 种 C60 种 D72 种9已知 是双曲线 的左焦点，过 作倾斜角为 的直线 ，直线 与双曲线交于F)0,(2bayx Fo60ll点 与 轴交于点 且 ，则该双曲线的离心率等于（ ）yFA31A B C D15271521710已知方程 在 有两个不同的解 （ ） ，则下面结论正确的是（ ）sinxk(0,),A B ta()41tan()41C D n 11设函数 是定义在 上 的 可 导
4、函 数 ， 其 导 函 数 为 ，且 有 ，则)(xf)0,( )(xf 0)(3xff不等式 的解集（ ）0)3(27152153 ffA B C D,086,215,621,(12设函数 ，若对任意给定的 ，都存在唯一的 ，满足0,log)(2xxf )(t Rx，则正实数 的最小值是 （ ）atfaA B C D214181第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13已知 ， ， 的夹角为 60，则 2a3b,a2ab14设实数 满足 则 的最大值为 ,xy102,x14yxz15棱锥的三视图如上图所示，且三个三角形均为直角三角形，则 的最小值为 yx116球 为
5、边长为 的正方体 的内切球，O41DCBAP为球 的球面上动点， 为 中点， ，则点M1M的轨迹周长为 P否开始 n=1输入 xn= n +1 x= 3x +1输入x输出 x 结束是?1三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （本小题满分 12 分）已知公比为负值的等比数列 中， ， na1541a（）求数列 的通项公式；na（）设 ，求数列 的前 项和 123bnbnS18(本小题满分 12 分）湖南卫视“我是歌手”这个节目深受广大观众喜爱，节目每周直播一次，在某周比赛中歌手甲、乙、丙竞演完毕，现场的某 位大众评审对这 位歌手进行投票，每位大
6、众评审只能投一票且把票投给任一歌手是4等可能的，求：（）恰有 人把票投给歌手甲的概率；2（）投票结束后得票歌手的个数 的分布列与期望19(本小题满分 12 分）在如图所示的几何体中， 平面 ， ， 是AEBCDAEF的中点， ， ， BECB1902=（）证明 平面 ；DF（）求二面角 的余弦值的大小20 （小题满分 12）椭圆 的方程为 ， 、 分别是它C21 (0)xyab1F2的左、右焦点，已知椭圆 过点 ，且离心率C, 23e（）求椭圆 的方程；（）如图，设椭圆的左、右顶点分别为 、 ，直线AB的方程为 ， 是椭圆上异于 、 的任意一点，直线 、 分别交直线 于 、 两点，l4xPPA
7、BlDE求 的值；12FDE（）过点 任意作直线 （与 轴不垂直）与椭圆 交于 、 两点，与 交( 0)Q， mxCMNl于 点， ， 求证： RMxRNyQ450xy21 （本大题满分 12 分）已知函数 2()()fa， (lngx， ()f图象与 轴异于原点的交点 处的切线为 1l， gx与 轴的交点 N 处的切线为 2l， 并且 1l与 2平行（）求 f的值； （）已知实数 ，求 的取值范围及函数Rtl,1uxe()+,1yfxge的最小值；（）令 ()F，给定 1212,(,)x，对于两个大于 的正数1,，存在实数 m满足： mx， 21)(mx，并且使得不等式12|()|()|Fx
8、F恒成立，求实数 m的取值范围 .22(本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲如图， 内接于直径为 的圆 ，过点 作圆 的切线交 ABCBOA的延长线于点 ， 的平分线分别交 和圆 于点 PABC，若 ED、 02（）求证： ； （）求 的值DE23(本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 已知曲线 的极坐标方程是 以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 轴的正Ccos x半轴，建立平面直角坐标系，直线 的参数方程是l是参数 ttyx(sinco1)（）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程；（）若直线 与曲线 相交于 、 两点，且 ，求直线的倾斜角 的值lCAB1424.（本
9、小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲设函数 fxa（）当 时，解不等式 ；21fx（）若 的解集为 ， ，求证： 1f0,20,amn24mn鹰潭市 2015 届高三第一次模拟考试数学 (理科)答案一、选择题：15 DAADB 6 10 BCABC 1112 AB二、填空题： 13 14 15 16321510258三、解答题： 17解：（）因为数列 是等比数列，所以 ，则 或 ，因为数列 的na42351a23naFEDCBAm QlEDRPF2F1y xONM BAPABC DE22 题图O2公比为负值，所以 ，故 ，则 ，故23a2134aq8231qa11)2(8nnqa即数列
10、的通项公式为 6 分n )(8nn（）由条件知， )1(21bn3)(n)1219 分n)(则 故bann1)2(8)21naaS )(21nbb。12 分36)(18解：（）解法一：所有可能的投票方式有 种，恰有 2 人把票投给歌手甲的方43式 种，从而恰有 2 人把票投给歌手甲的概率为 5 分24C 784C解法二：设对每位投票人的观察为一次试验，这是 4 次独立重复试验. 记“把票投给歌手甲” 为事件 ，则 ，从而，由独立重复试验中事件 恰发生 次的31)(APAk概率计算公式知，恰有 2 人把票投给歌手甲的概率为 278)3(1)2(244P（） 的所有可能值为： ,142132 24
11、4 3(),7()()1()77PCCP或 233424()(.99A或11 分综上知， 有分布列gkstk.Com 1 2 3P 2749从而有 1653.27E12 分19解法一（1）取 的中点 ，连结 、 ABGCF因为 ， ，所以 CDFD又因为 ， ，所以 112E=G所以四边形 是平行四边形， 分CDFGDFCG2在等腰 中， 是 的中点，所以 RtABAB因为 平面 ， 平面 ，所以 EABE而 ，所以 平面 又因为 ，所以 平面 分6（2）因为 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 FEFDABE过点 作 于 ，则 平面 ，所以 AMBM过点 作 于 ，连结 ，则 平面 ，所以 N
12、DANBANN所以 是二面角 的平面角 分 10在 中， Rt236E因为 ，所以 是等边三角形又 ，2ABDBD所以 ， 36NNM在 中， tM621cos 3A所以二面角 的余弦值是 分BDE13解法二（1）因为 平面 ， ，所以 平面 CDAECAB故以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则C相关各点的坐标分别是 ， ， ，(,0)A(,0)B(,0)， ， 分(0,)(1,2)E1F3所以 ， ， DF(,2)(1,)A因为 ， ，(,0)0 ,0(1,)02D所以 ， 而 ，所以 平面 分AEBEFABE6（2）由（）知， ， ， (,1)(1,)(,2)设 是平面 的一个法向
13、量，由 11(, )xyzn 10n得 即 取 ，则 10.11xyz1xyz1(,)设 是平面 的一个法向量，由22(, )xyznBDE0BDE2n得 即 取 ， ，则 220.22xyz21yz2x(1,)2n 分0二面角 为锐二面角，设二面角 的大小为 ，则ABEABD故二面角 的余弦值是 分1cos 3 12n E3120解：（） 4 分29xy（）设 ，则直线 、 的方程分别为 ， ，0(,)PPAB0(3)yx0(3)yxzyxABCDEF3将 分别代入可求得 两点的坐标分别为 ， . 4xDE， 07(4,)3yDx0(4,)3yEx由（） ， ,12(,0)()F所以 ，20
14、0027 42 )8339yyyDExxx， ，又点 在椭圆 上， ，0(,)PxyC200119 .8 分12659F（）设 ， , ，由 得1(,)Mxy2()Nxy(4RtMxQ11(4,)(,)ytxy所以 ，代入椭圆方程得 14tyx22()9t同理由 得 RNQ22(4)9(1)yty消去 ，得 ，所以 12 分t5450x21解：（1） ()fx图象与 轴异于原点的交点 (,)Ma， (2fxa(ln1yg图象与 轴的交点 2,N， 1g由题意可得 12llk，即 a， 2 分 (),fx， 2()f 3 分（2） +ln(l+)ygtxtxt= 22(ln(1)lnxtxt令
15、lnu，在 ,e时， 10u， x在 1,单调递增， 0,e 4 分22()ytt图象的对称轴 2t，抛物线开口向上当 u即 时， min0|uyt 5 分当 12te即 12t时， 22i|(1)etet6 分当 0即 t时， 22min12|()(1)4tu ty7 分(3)lnFxgx, 21(0xFx1得所以 在区间 (,)上单调递增 1当 时， （ ） （ 1） 0当 0,)时，有 211()()mxxmx，2(mx，得 12(,)x，同理 12(,)x， 由 f的单调性知 0()F、 2()Fx从而有 | |F，符合题设. 9 分当 m时， 121m，21()()xx，由 f的单调
16、性知 02()()x， 2| |F，与题设不符 11 分当 1时，同理可得 1,，得 |()|()|Fx，与题设不符. 综合、得 0,m 12 分22. 选修 41：几何证明选讲解：（1）PA 是圆 O 的切线 又 是公共角ACBPP 2 分ABPC 4 分22（2）由切割线定理得： A0又 PB=5 6 分15又AD 是 的平分线 B2DBC 8 分DC25,0又由相交弦定理得： 10 分0EA23.选修 44：坐标系与参数方程解：（1）由 得 3 分cos4)(2yx（2）将 代入圆的方程得 ，in1tyx 4)sin()1cos22tt（化简得 . 03s2设 、 两点对应的参数分别为 、 ,则 , 7 分AB1t23co21t,4cs42121 tt, , 或 .10 分cos4cs24. 解：（1）当 a=2 时，不等式为 ，214x不等式的解集为 ；5 分7,（2） 即 ，解得 ，而 解集是 ，1fxaxa1fx0,2，解得 a=1,所以02a10,2mn4所以 . 10 分12()42mnn
