1、数学试题答案（理科） 第 1 页，共 10 页惠州市 2018 届高三模拟考试数学（理科）参考答案与评分标准一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B A A D C B A D B B D A1.【解析】因为 ， ，所以 10x或 1x1x2.【解析】大正方形的边长为 2，总面积为 4，而阴影区域的边长为 ，面积为3423故飞镖落在阴影区域的概率为 3123.【解析】设 ，则zabi234zabiabii所以 44. 【解析】因为 ， ，cos0,1,.,23.2ii01854所以 55.【解析】因为 ，
2、所以3AMBAC 213AMBACB。2213C2214cos36.【解析】如图 ， ， 54ADBS48BCDS。 428ABC7.【解析】因为 ，所以是充分条件；若ab，则 ， ，故是不必要条件。13,41324314ab8.【解析】由 ，则 ，2BCAc2 2cos1CBACBc，所以 。23a31ca9.【解析】由题意得 sincosin2sino2sinocsinsiCBACBCB，13341Sababab22222991csac数学试题答案（理科） 第 2 页，共 10 页当且仅当 时，等号成立，即 的最小值为 。3abab1310.【解析】设每天安排电脑机和普通机各 ， 台，则一
3、天可获利 ，xy2810690zxyxy线性约束条件为 ，画出可行域（如图） ，10257,xy可知当目标函数经过 时， .Amax780z11.【解析】因为 在 单调，所以 ，即 ，而fx0,22T202；若 ，则 ；若 ，则 是 的一条对称轴， 是其0Txfx,04相邻的对称中心，所以 ，所以 .3424233TT12.【解析】当 时 ，由此可知 在 上单调递减，在0x1xfefx1,上单调递增， ， ，且 时0,12 2max2ffe0fx，又 在 上为奇函数，所以 ，而 时 ，所以 大致图fxfR0f1,xf象如图所示：令 ，则 时，方程 至多有 3 个根，当 时，方程 没有根，tfx
4、1,tfxt1,tfxt而对任意 ， ，方程 至多有一个根，从而函数 的根的个数至mRm0fm多有 3 个。二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。13. 14.丁 15. 16.1,12113.【解析】因为奇函数 在 上增函数，所以2xfR数学试题答案（理科） 第 3 页，共 10 页21021fxffxf， （注：写成不等式形式不给分。 ）.,14.【解析】假设甲猜对，即 D 或 E 偷的，则乙也猜对，相互矛盾；假设乙猜对，即 C 没偷，又丙猜错，则是 D 或 E 偷的，此时甲也猜对，相互矛盾；假设丙猜对，即 A、 B、 F 当中必有一人偷，此时乙也猜对；假设丁猜对，即 D、E 、
5、F 都不可能偷，甲、乙、丙均猜错，符合题意，故猜对的是丁。15.【解析】 展开式中的常数项是 的展开式中 项的系数与 的系数之积，512ax 512x1xax再加上其常数项与 1 的积；又 展开式的通项公式为：5x，令 ，解得 ，555212rrrr rrTCxCx 1r3r，令 解得 （不合题意，舍去） ，333151400所以 展开式中的常数项为 ，解得 。2ax4a1a16.【解析】由题意得 ，得到 ，取 AB 中点为 D，22SABSABSB 中点为 M，得到 为二面角 的平面角，CDC由题意可知 ，设三角形 ABC 的外心为 ，10O则 ，球心为过点 M 的面 ABS 的垂线与过点3
6、3,2COO的面 ABC 的垂线的交点，在四边形 中，可求出 ，所以 ， 322214ROB所以球的表面积 。241R三解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.【解析】由 得 ，所以 或 .220nna210nnaa21nan分又因为数列 的各项均为正数，所以 。 n ,nN因为 ，所以 4112nnba135792nT分法一： 由 135792nnT .6 分 1 12n数学试题答案（理科） 第 4 页，共 10 页得： -1123121321nnn nnT .10 分n n.12 分1n法二：当 为偶数时， 21357912nnnT .7 分n当 为奇数时， n12
7、nn 357921102分综上得： 12,2nT为 偶 数， 为 奇 数分（过程请酌情给分。 ）18.【解析】解：（1）在 中， ，PCD2 为 的中点， 平分 ， ，EE60PDE在 中， ， 2Rt cos601分过 作 于 ，则 ，连结 ， ，四边形 是矩形，4HCD2HF12AAFHD分 ，又 ， ， 平面 ，FECDE又 平面 ， 5E分（2） ， ， ，又 ， 平面 ，2ADPAPADPC又 平面 ，平面 平面 6 分BCBC过 作 交 于点 ，则由平面 平面 知， 平面 ，GGDGAB故 两两垂直，以 为原点，以 所, ,在直线分别为 轴，建立如图所示空间直角坐标系,xyz，则
8、， ， ，Oz(20)A(,20)B(,) z yxPA BCDEF数学试题答案（理科） 第 5 页，共 10 页，又知 为 的中点， ，设 ， ，则(0,13)PEPCE13(0,)2(2,0)Ft2t， ， ， 7 分(,)2DE(2,)Ft,D(,)DA设平面 的法向量为 ， 1,xyzn则 0,DFn1130,2xty取 ，可求得平面 的一个法向量 ， 8 分1zEF(3,2)tn设平面 的法向量为 ，则AP2(,)xyzm0,DPAm所以 取 10230,yzx(,31)分 ，解得26cos, 431mnt 3t当 时满足 12 分43AFcos419.【解析】(1)依题意，每场比赛
9、获得的门票收入组成首项为 400，公差为 100 的等差数列设此数列为a n，则易知 a1400，a n100n300，所以 Sn 3000.172解得 n5 或 n12(舍去)，所以此决赛共比赛了 5 场 2分则前 4 场比赛的比分必为 13，且第 5 场比赛为领先的球队获胜，其概率为 .4312C所以总决赛中获得门票总收入恰好为 3000 万元的概率为 . 514分(2) 随机变量 X 可取的值为 S4，S 5，S 6，S 7，即 2200，3000，3900，4900. 6分P(X2200)2 4 ，P(X300) C 4 ，(12) 18 34(12) 14数学试题答案（理科） 第 6
10、 页，共 10 页P(X390)C 5 ，P( X490)C 6 ， 10 分35(12) 516 36(12) 516所以 X 的分布列为X 2200 3000 3900 4900P 84516所以 12 分120390375EX20.【解析】解：（1）由题意可得 ，即有 ，解得2314ab22134b2,4ba所以椭圆 的方程为 . 4 分E2xy（2）法一：若 存在，设直线 的方程为 ，代人 得kl3ykx214xy2224183140xk设 ，则有 . 612(,)(,)MyN2121223183,4kkxx分到直线 距离 ， 2F231kd222 21114kMNkxx8 分所以 ，
11、当且仅当 ，22223314411FMNkSdkA 231k即 时有最大值， 10k分此时直线 方程为 或 。 11l230xy230xy分若 不存在，即 轴，此时 （舍）kl212FMNSA综上：直线 方程为 或 12xyxy分法二：数学试题答案（理科） 第 7 页，共 10 页设直线 的方程为 ，代人 得 6l3xmy214xy24310my分设 ，则有 . 712(,)(,)MyN12123,分所以21212FSy1212Fy211234yy，. 10243m2243m4分当且仅当 即 时等号成立， 112212分所以当 面积取得最大值时，直线 方程为 或 。2FMNl230xy230x
12、y12 分21.【解析】解：（1）由题意， 221xxfxaeae2e1a分（）当 时， ，令 ，得 ； ，得 ，0a1xf0fx0fx1所以 在 单调递增， 单调递减所以 的极大值为 ，不合题意. fx,3fe3 分（）当 时， ，令 ，得 ； ，得 或 ，0a1a0fx1xa0f1xa所以 在 单调递增， ， 单调递减，fx,所以 的极大值为 ，得 .f213fe1a综上所述 . 51a分（2）令 ， ，当 时， ，2xxgee,0a,x210xe则 对 恒成立等价于 ，ln1ab,0lngab即 ，对 恒成立. 7 分xex数学试题答案（理科） 第 8 页，共 10 页（）当 时， ，
13、， ，此时 ，不合题意.0b,xln10bxxeln1xeb8 分（）当 时，令 ， ，lxh,则 ，其中 ， ， 211xxbbehxe0xe,令 ，则 在区间 上单调递增，2,0xpp, 时， ，所以对 ， ，从而 在 上单调递增，b1pb0x0hxhx0,所以对任意 ， ，即不等式 在 上恒成立.0,x0hxln1xbe,10 分 时，由 ， 及 在区间 上单调递增，1b1pb0pepx0,所以存在唯一的 使得 ，且 时， .0,x0x,从而 时， ，所以 在区间 上单调递减，,hh0x则 时， ，即 ，不符合题意.0xxln1be综上所述， .12 分1b（二）选考题：共10分。请考生
14、在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。22.【解析】 （）曲线 是以 为圆心，以 为半径的圆；直线 的直角坐标方程为 C,0aal 30xy.2分由直线 与圆 只有一个公共点，则可得 ，解得： （舍）或 l 32a31a所以 .41a分（）由题意得曲线 极坐标方程为 ，设 A 极角为 ，B 的极角为 5C2cosa03分7 分213sins3cos24OABS a ，1cosco23数学试题答案（理科） 第 9 页，共 10 页所以当 时， 取得最大值 9611cos23434分OAB 的面积最大值为 10 分24a解法二：因为曲线
15、 是以 为圆心，以 为半径的圆，且C,0 3AOB由正弦定理得： ，所以 62sin3ABa3ABa分由余弦定理得： 8 分22aOOAB22113sin34OAB aSOAB 的面积最大值为 10 分24a23.【解析】法一：（） （）当 时，原不等式可化为 ，解得 ，1x 12x1x此时原不等式的解是 ； 2x分（）当 时，原不等式可化为 ，解得 ，2xxx此时原不等式无解； 3 分（）当 时，原不等式可化为 ，解得 ，1121此时原不等式的解是 ； 4x分综上， 5 分1Mx或（）因为 6 分fab1ab7分 81ba分因为 ，所以 ， ， 9,abM0分数学试题答案（理科） 第 10 页，共 10 页所以 ，即 10 分1fabbfaffb法二：（）同解法一（）因为 ， 711ff a分所以，要证 ，只需证 ， fabffbb即证 ， 8 分221即证 ，2即证 ，即证 9220ab210ab分因为 ，所以 ，所以 成立，,M2,b21所以原不等式成立 10分
