1、惠州市 2019 届高三模拟考试理科数学参考答案及评分标准一、 选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A D A C D B B D C B D C1 【解析】集合 2|0|3xx或 2x,集合 |13x, ，故选 AB(,3)2.【解析】 2(1)2()21aiiaiai,由题意得20a,解得 ,故选 D.3.【解析】若 2()0ab,则一定有 0ab,即 ;反之,若 ,0ab,则 2()0ab.故“ ”是“ ”的充分不必要条件.选 A4.【解析】由已知得 ),23,1(,(31)则 ,故选 C 0909ab5.【解析】 ,5)4cos( .2571)4(c
2、os2)cos(sin 故选 D6.【解析】展开式中含 x2 的项为 2x x(-2)2+1 x2(-2)=(24-6)x2=18x2,故系数为 18.故选 B 23 137.【解析】对选项 A，需两直线相交。对于选项 C，若三点中有两点构成的直线与 平行，另一点在面的另一侧，则不能判断两面平行。对于选项 D，反例为空间直角坐标系的坐标平面。8.【解析】设圆 C 的半径为 r,圆心为 C(-3,m),根据弦心距、半径、半弦长的关系得22|31|()(3)15m,解得 2或 163(舍去), 当 2m时, 的最大值为|9Ar,故选 D.9.【解析】由 AB4,得 5，则知 ABC所在的球的截面圆
3、的圆心在BC 的中点 M 上，同理 1C所在的球的截面圆的圆心在 1的中点 N 上，则球心 O为 MN 的中点，故球的半径为 213)(25R10.【解析 1】联立直线 3yx与椭圆 2yab方程得223xab，则 221； 以 AB为直径的圆为224y，由于其通过椭圆焦点，则243abc；把 22bac代入上式得224(1)e，考虑到 01e，解得 31故答案为B。【解析 2】根据三角形 OAF1 为正三角形，可用 c 表示出 A 点坐标，代入椭圆方程可得离心率。11.【 解析 1】 cosin2() sin(),(0sin()0244xfx xfx由,159154(,)(,),(,)(,)
4、,)888kkz1508， ，,故选 D【解析 2】cosin12() sin()024xfx x（当 (,)时(,)(4则问题转化为函数 sin,201)4yt在 上 无 零 点 ， 则0154,882024或 解 得 或，故选 D【解析 3】1cosin12() sin()04xfx x（当 x(,2)时x(,2)(044则问题转化为函数 sin,1)yt 在 上 无 零 点 ， 则22sin()0sin()04415312244448888k kZZ或2k+2k-解 得 ()或 ()150,4又 或12.【解析】若对任意的 (0)x,总有 ()fxg恒成立,即为 lnx(23),mn在
5、恒成立,设 h),则 ()hx的最大值不大于 0,由 1()(23)hxm,若 0,()x在 0递增, ()x无最大值;若 23m,则当 123m时, ()在 ,)23递减;当 x时 ()hx在 1,)递增可得 2处 取得最大值,且为 nmln(则 01)3ln(n,可得 1)32所以 可得 ,+()l()m,(2+3)l()1Fm令 2tt可令 ktlnx, k()lntxt,当 1e时, ()0,t在 21(,)e递减;当 210e时, ()0k在 2()e递增.可得 2t处 取得最大值，且最大值为 2(l，则 最大值为 1.t ,Fmn二填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20
6、 分.t13、2， 14、 ， 15、 ， 16、 (23,4)。35,04,13 【解析】由约束条件作出可行域如图所示,目标函数 0xyz可看作点 ),(yx与(0,0)连线的斜率,结合图形可知,当两点连线与直线02重合时,斜率最大,故z 的最大值为 2.14 【解析】由题意可知，黑球和白球分别有 4 个、2 个，从袋中任意摸出2 个球,所有的取法共有 =15(种) ，而取出的 2 个球均为白球的取法有26=1(种)，取出的 2 个球只有 1 个白球的取法有 =8(种)，所以至22 1214少摸到 1 个白球的概率 538P.15 【解析】偶函数 )(xf满足 ()(0)xf,函数 )(xf
7、在 ),0上为增函数,0)2(f,不等式 02a等价为 2|af,即 |a,即 或 ,解得 4或 .16.【解析 1】如图所示.采用极限思想：当 C 无限靠近 A 点时，BC 就无限趋近于 AB，AB 的长度就近似等于 2AM，此时 2AB+AC 的长度就无限趋近于 3；当 B 无限靠近 A 时，BC 就无限趋近于 AC，AC 的长度就近似等于 2AM，此时 2AB+AC 就无限趋近于 23，所以 AC+2AB (23,4)【解析 2】以 AB，AC 为相邻的两边作平行四边形 ABDC，在 ACD中，,10ADC，设 ),30(CA由正弦定理可知 ),6sin(34)cos2sin(4sin2
8、(3sin B由 ),30(得 ),6(所以 ),12(6i(所以 AC+2AB (,).三解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。17.（本小题满分 12 分）【解析】 （1） 当 n=1 时，有 11022aSa2 分又由10()2naSnN可得 110()2nnaSN两式相减得 11()()nnn 3 分即有 102na12na4 分故数列 n是以 2 为首项，2 为公比的等比数列， 5 分()aN6 分评分要点：1、如果用 则必须说明 ，否则扣 1 分。1nnS2n2、求出
9、递推公式后必须要有文字说明数列为等比数列，无文字说明直接写通项公式扣 1 分。（2） 解法一：由（1）知 ，所以1()2()nnnaqS7 分1q令 ，8 分(2)()2nnbS为使 为等差数列，则 是关于 n 的一次函数，所以 ，9 分nb2此时 ，n当 时， 10 分1214当 时， ，11 分2(1)2nbn所以 ()S是以 为首项， 为公差的等差数列。12 分4评分要点：如果没有说明 是关于 n 的一次函数扣 1 分。n解法二：由（1）知 ，所以1()2()nnaqS7 分1q令 ，若 (2)nnS为等差数列，(2)()nnnbS则有 1231 3,()S构成等差数列， 8 分即有 2
10、13213()( )即 2(6)(3)(14)29 分此时 ，nb当 时， 10 分12当 时， ，11 分12(1)2n n所以 ()S是以 为首项， 为公差的等差数列。12 分418.（本小题满分 12 分）【解析】 （1）由题意 ABD为等边三角形，则 2BD=，在三角形 C中， 4=, 30C，由余弦定理可求得 23C=，22D=+，即 1 分又平面 PB平面 ，平面 PB平面 B， 平面 BDC平面 ，2 分又 面 CD3 分等边三角形 中， E为 中点，则 E，4 分且 B=， 面 B， 面 BC， PD平面 BCE，5 分又 CE平面 ， P 6 分评分要点：证明过程如果没有划线
11、部分的条件，各扣 1 分。（2）解法一：以 B为坐标原点， ,CB分别为 x轴， y轴建立空间直角坐标系，7 分则 0,， 23,0C， ,20D， ,13P， 3(0,)2E,D， ,13P8 分设 是平面 的法向量，则 0mC=， Dmxyz230z，取 1,39 分325cos,mBE11 分所以直线 与平面 PCD所成角的正弦值为 5. 12 分（2）解法二：由（1）可知 平面 则三棱锥 的高为 PE，BECPBEC设点 B 到平面 PCD 的距离为 ，则hPV中， ， 8 分RtECA2243D132BSA中， ， 9 分RtPE222(3)(15ECBE由 得 ，解得 10 分BC
12、PBEV13PCShPAA6h设直线 BE 与平面 PCD 所成角为 ， 11 分251in3BE所以直线 BE与平面 PCD所成角的正弦值为 25. 12 分19.（本小题满分 12 分）【解析】 （1）由 得 ，所以 1 分12ceac23bc由点 在椭圆上得 解得 ， 2 分3,22943c13 分bac所求椭圆方程为 4 分2143xy（2）解法一：当直线 的斜率不存在时，直线 平分线段 成立5 分1l OMPQ当直线 的斜率存在时，设直线 方程为 ，1l 1l1ykx联立方程得 ，消去 得 6 分243ykx2243840k因为 过焦点，所以 恒成立，设 ， ，1l01,Pxy2,Q
13、xy则 ， 7 分212843kx2143kx8 分1212122643kyx所以 的中点坐标为 9 分PQ224,3k直线 方程为 ， ，可得 ，10 分2l1yxk,My34,k所以直线 方程为 ，OM34满足直线 方程，即 平分线段 11 分224,3kOPQ综上所述，直线 OM 平分线段 PQ12 分（2）解法二：因为直线 与 x=4 有交点，所以直线 的斜率不能为 0，2l 1l可设直线 方程为 ，5 分1l1my联立方程得 ，消去 得 6 分243xx234690ym因为 过焦点，所以 恒成立，设 ， ，1l01,P2,Qx， 7 分22634my122934y8 分118x所以
14、的中点坐标为 9 分PQ22,34m直线 方程为 ， ，由题可得 ，10 分2l1yx,My4,3m所以直线 方程为 ，OM34myx满足直线 方程，即 平分线段 11 分224,3mOMPQ综上所述，直线 OM 平分线段 PQ12 分20.（本小题满分 12 分）【解析】(1)依题意， ，由二项分布可知， 1 分(120)=0.1 (3,0.1), ,(=0)=03(10.1)3=0.729(=1)=130.1(10.1)2=0.243, , 3 分(=2)=230.12(10.1)=0.027(=3)=330.13=0.001所以 的分布列为 0 1 2 3P 0.729 0.243 0.
15、027 0.0015 分6 分()=30.1=0.3（2）记水电站的总利润为 （单位：万元） ，假如安装 1 台发电机，由于水库年入流总量大于 40，故一台发电机运行的概率为 1，对应的年利润 ， ；7 分=5000()=50001=5000若安装 2 台发电机，当 时，只一台发电机运行，此时 ， ，当40120 =50003=15000(=15000)=0.111 分()=34000.2+92000.7+150000.1=8620综上可知，应安装 2 台发电机，可使总利润的均值达到最大 8840 万元。12 分21.（本小题满分 12 分）【解析】 （1）函数 ()fx定义域为 (,1)，2
16、()1mfx， 0x，1 分令 20， 4，当 ，即 时， ()0fx， ()fx在 ,1)上单调递减；2 分当 0，即 14m时，由 2m，解得 142m， 214x，若 ，则 12x， (,)x时， ()0f， ()fx单调递减；12时， x， 单调递增；(,)x时， ()f， ()f单调递减；3 分若 0m，则 12x， (,)时， ()0f， ()fx单调递减；1x时， x， 单调递增；4 分综上所述： 0m时， ()f的单调递减区间为 14(,)2m，单调递增区间为 (,)；104m时， ()fx的单调递减区间为 14(,)2m， 14(,)2，单调递增区间为 (,)；14时， ()
17、fx的单调递减区间为 ,1)5 分（2）因为函数 f定义域为 (,，且2(1mxfx，函数 ()fx存在两个极值点， )0f在 ,1)上有两个不等实根 ， 2x，记 2()gxm，则140,2(),g 14m，从而由 12,x6 分且 12，可得 1(0,)， 21(,)x，7 分111222ln() ln()xmf mxx211ln()()x，构造函数 ()l()1)x， (0,)，8 分则2 2()ln(ln(1)()xx，记2()l(1)xp， 10,2，9 分则 ，令 ()px，得 0351(0,)2（ 3512x，故舍去） ，23()x ()p在 0,)上单调递减，在 01(,)2x
18、上单调递增，10 分又 ， 1(ln2，当 (,)时，恒有 ()0px，即 ()0x， ()x在 ,上单调递减，11 分 (0)，即 1l2()04x， 121ln4fx12 分（二）选考题：共10分，考生在第22、23题中任选一题作答。22.（本小题满分 10 分）【解析】 （1）由题意得点 A的直角坐标为 ，1 分3,1将点 A代入 234xaty得 ，2 分13则直线 的普通方程为 2x. 3 分l由 得 ，又由 ，4 分2sincosin4coscosinxy可得 4yx. 故曲线 的直角坐标方程为 2.5 分C（2）设直线 的参数方程为3(t)12y为 参 数，6 分DE代入 24y
19、x得 28360tt7 分设 对应参数为 1， 对应参数为 2t则 12t， 2t，且 12,t.8 分12121tPDEtt10 分23.（本小题满分 10 分）【解析】 （1）原不等式等价于 125x或 125x或 125x，3 分解得 或 或 ，4 分8综上所述，不等式 ()1fx的解集为 .5 分,8,U（2）当 时，则 ，1m|3|gx此时 的图象与 轴围成一个三角形，满足题意; 6 分()x当 时，71()253mxgxx，7 分1则函数 在 上单调递减，在 上单调递增.,1,要使函数 的图象与 x轴围成一个三角形，则 ()4023gm，8 分()解得 342m；9 分综上所述，实数 的取值范围为 3,412.10 分
