1、14.1.3 球坐标系与柱坐标系1球坐标系、柱坐标系的理解2球坐标、柱坐标与直角坐标的互化基础初探1球坐标系与球坐标(1)在空间任取一点 O 作为极点，从 O 点引两条互相垂直的射线 Ox 和 Oz 作为极轴，再规定一个长度单位和射线 Ox 绕 Oz 轴旋转所成的角的正方向，这样就建立了一个球坐标系图 415(2)设 P 是空间一点，用 r 表示 OP 的长度， 表示以 Oz 为始边， OP 为终边的角， 表示半平面 xOz 到半平面 POz 的角，则有序数组( r， ， )就叫做点 P 的球坐标，其中r0,0 ，0 2.2直角坐标与球坐标间的关系图 416若空间直角坐标系的原点 O， Ox
2、轴及 Oz 轴，分别与球坐标系的极点、 Ox 轴及 Oz 轴重合，就可以得到空间中同一点 P 的直角坐标( x， y， z)与球坐标( r， ， )之间的关系，如图 416 所示x2 y2 z2 r2，x rsin_ cos_ ，y rsin_ sin_ ，2z rcos_ .3柱坐标系建立了空间直角坐标系 Oxyz 后，设 P 为空间中任意一点，它在 xOy 平面上的射影为Q，用极坐标( ， )( 0,0 2)表示点 Q 在平面 xOy 上的极坐标，这时点 P 的位置可以用有序数组( ， ， z)(zR)表示，把建立上述对应关系的坐标系叫柱坐标系，有序数组( ， ， z)叫做点 P 的柱坐标
3、，记作 P( ， ， z)，其中 0,0 2， zR.图 4174直角坐标与柱坐标之间的关系Error!思考探究1空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系有何联系和区别？【提示】 柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景，柱坐标系中一点在平面 xOy 内的坐标是极坐标，竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同；球坐标系中，则以一点到原点的距离和两个角(高低角、极角)刻画点的位置空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系都是空间坐标系，空间点的坐标都是由三个数值的有序数组组成2在空间的柱坐标系中，方程 0( 0为不等于 0 的常数)， 0， z z0分别表示什么图形？【提示】 在极坐标中，方程 0( 0为不等于
4、 0 的常数)表示圆心在极点，半径为 0的圆，方程 0( 0为常数)表示与极轴成 0角的射线而在空间的柱坐标系中，方程 0表示中心轴为 z 轴，底半径为 0的圆柱面，它是上述圆周沿 z 轴方向平行移动而成的方程 0表示与 zOx 坐标面成 0角的半平面方程 z z0表示平行于xOy 坐标面的平面，如图所示常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面质疑手记3预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问 2：_解惑：_将点的柱坐标或球坐标化为直角坐标(1)已知点 M 的球坐标为 ，则点 M 的直角坐标为_(2，34， 34)(2)设点 M 的柱坐标为
5、 ，则点 M 的直角坐标为_(2， 6， 7)【自主解答】 (1)设 M(x， y， z)，则 x2sin cos 1，34 34y2sin sin 1，34 34z2cos .34 2即 M 点坐标为(1,1， )2(2)设 M(x， y， z)，则 x2cos ， 6 3y2sin 1， z7. 6即 M 点坐标为( ，1,7)3【答案】 (1)(1,1， ) (2)( ，1,7)2 3再练一题1(1)已知点 P 的柱坐标为 ，则它的直角坐标为_(4， 3， 8)(2)已知点 P 的球坐标为 ，则它的直角坐标为_(4，34， 4)【解析】 (1)由变换公式得：x4cos 2， 34y4si
6、n 2 ， z8. 3 3点 P 的直角坐标为(2,2 ，8)3(2)由变换公式得：x rsin cos 4sin cos 2，34 4y rsin sin 4sin sin 2，34 4z rcos 4cos 2 .34 2它的直角坐标为(2,2，2 )2【答案】 (1)(2,2 ，8) (2)(2,2，2 )3 2将点的直角坐标化为柱坐标或球坐标已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，如图 418 建立空间直角坐标系 Axyz， Ax 为极轴，求点 C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标图 418【思路探究】 解答本题根据空间直角坐标系、柱坐标系以及球坐标系的意义和联系计算即可【自主解
7、答】 点 C1的直角坐标为(1,1,1)，设点 C1的柱坐标为( ， ， z)，球坐标为( r， ， )，其中 0， r0,0 ，0 2，由公式Error!及Error!得Error!及Error!得Error! 及Error!结合图形得 ，由 cos 得 tan . 4 33 2点 C1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为( ， ，1)，球坐标为( ， ， )，2 4 3 45其中 tan ，0 .2化点 M 的直角坐标( x， y， z)为柱坐标( ， ， z)或球坐标( r， ， )，需要对公式Error! 以及Error!进行逆向变换，得到Error! 以及Error!提醒 在由三角函
8、数值求角时，要先结合图形确定角的范围再求值再练一题2(1)设点 M 的直角坐标为(1,1,1)，求它在柱坐标系中的坐标(2)设点 M 的直角坐标为(1,1， )，求它的球坐标2【导学号：98990006】【解】 (1)设 M 的柱坐标为( ， ， z)，则有Error!解之得 ， .2 4因此，点 M 的柱坐标为 .(2， 4， 1)(2)由坐标变换公式，可得r 2.x2 y2 z2 12 12 2 2由 rcos z ，2得 cos ， .2r 22 4又 tan 1， (M 在第一象限)，yx 4从而知 M 点的球坐标为 .(2， 4， 4)真题链接赏析(教材第 17 页习题 4.1 第
9、16 题)建立适当的球坐标系或柱坐标系表示棱长为 3 的正四面体的四个顶点结晶体的基本单位称为晶胞，如图 419(1)是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体)图形中的点代表钠原子，如图 419(2)，建12立空间直角坐标系 Oxyz 后，试写出下层钠原子所在位置的球坐标、柱坐标6(1) (2)图 419【命题意图】 本题以食盐晶胞为载体，主要考查柱坐标系及球坐标系在确定空间点的位置中的应用【解】 下层的原子全部在 xOy 平面上，它们所在位置的竖坐标全是 0，所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0,0,0)， ， ， ，(1， 2， 0) (2， 2， 4) (1
10、， 2， 2)；(22， 2， 4)它们的柱坐标分别为(0,0,0)，(1,0,0)， ， ， .(2， 4， 0) (1， 2， 0) (22， 4， 0)1已知点 A 的柱坐标为(1,0,1)，则点 A 的直角坐标为_【解析】 由点 A 的柱坐标为(1,0,1)知， 1， 0， z1，故 x cos 1， y sin 0， z1，所以直角坐标为(1,0,1)【答案】 (1,0,1)2设点 M 的直角坐标为(1，1， )，则它的球坐标为_2【解析】 由坐标变换公式， r 2.x2 y2 z2cos ， .tan 1，zr 22 4 yx .54故 M 的球坐标为 .(2， 4， 54)【答案
11、】 (2， 4， 54)3已知点 P 的柱坐标为 ，点 B 的球坐标为 ，这两个点在空间(2， 4， 5) (6， 3， 6)直角坐标系中点的坐标分别为_【导学号：98990007】7【解析】 设 P(x， y， z)，则 x cos 1，2 4y sin 1， z5，2 4 P(1,1,5)设 B(x， y， z)，则 x sin cos ， y sin sin 6 3 6 6 32 32 364 6 3 6 6 ，32 12 324z cos .6 3 6 12 62故 B( ， ， )364 324 62【答案】 P(1,1,5)， B( ， ， )364 324 624把 A(4， ，2)、 B(3， ，2)两点的柱坐标化为直角坐标，则两点间的距离为 6 4_【解析】 点 A 化为直角坐标为 A(2 ，2,2)，点 B 化为直角坐标为 B3.(322， 322， 2)AB2 2 2(22)(23322) (2 322)212 6 4 6 16416( )92 6 92 2 6 2所以 AB .41 6 6 2【答案】 41 6 6 2我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_
