1、- 1 -黄冈中学 2017 届高三 5 月第三次模拟考试数学（文科）试卷第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 ，集合 ，则 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】集合 , 集合,所以 , 故选 B.2. 复数 ，若复数 ， 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则 （ ）A. -5 B. 5 C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由题意可知 ，所以，故选 A.考点：复数的运算3. 学校为了解 1000 名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法抽取 40 名同学进行检查，将
2、学生从 1-1000 进行编号，现已知第 18 组抽取的号码为 443，则第一组抽取的号码为（ ）A. 16 B. 17 C. 18 D. 19【答案】C考点：系统抽样法4. 已知向量 ， ，若 ，则 与 的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】D- 2 -【解析】依题意， ，即 解得 ，故，则 与 的夹角的余弦值 ，故 .选 D.5. 已知函数 ，若函数 的图象如图所示，则一定有（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 , 因为函数从左到右先增后减后增，所以二次函数 的图象开口向上， ，因为函数 的极值点都为正，所以有两个不同的正根，所以 ， ，故选 B.6. 设 是空间两条直
3、线， 是空间两个平面，则下列命题中不正确的是（ ）A. 当 时， “ ”是“ ”的充要条件B. 当 时， “ ”是“ ”的充分不必要条件C. 当 时， “ ”是“ ”的必要不充分条件D. 当 时， “ ”是“ ”的充分不必要条件【答案】C【解析】当 时， “ ” “ ”或 与 异面“ ” “ 或”，所以当 时， “ ”是 “ ”的即不必要又不充分条件，故 C 错误；当 时， “ ” “ ” ， “ ”推不出“ ”，所以当时， “ ”是 “ ” ，的充分不必要条件，故 正确；当 时 ， “” “ ” ，所以当 时 ， “ ”是 “ ” ，成立的充要条件，故 A 正确；当 时， “ ” “ ” ，
4、 “ ”推不出“ ” ，当时， “ ”是“ ”的充分不必要条件,故 正确，故选 C.- 3 -7. 已知双曲线 的左焦点为 ，第二象限的点 在双曲线 的渐近线上，且 ，若直线 的斜率为 ，则双曲线 的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设 ，依题意，联立 解得 ，故 ，解得，故所求渐近线方程为 .选 A.8. 若 ， ，则下列各式中一定正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 在 上递减， ，故 ，再根据幂函数 递增可得 ，所以， ，故选 A.9. 若函数 在 上是增函数，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】, 是函数含原点的
5、递增区间，又因为函数在 上递增，所以 ，所以得不等式组 ，得 ，又 ， 的取值范围是 ，故选 B .10. 已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为 ，这两条曲线在第一象限的交点为 ， 是以 为底边的等腰三角形，若 ，记椭圆与双曲线的离心率分别为 ，则 的取值范围是（ ）- 4 -A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：设椭圆和双曲线的半焦距为 ， ，由于是以 为底边的等腰三角形，若 ，即有 ，由椭圆的定义可得 ，由双曲线定义可得 ，即由 ，再由三角形的两边之和大于第三边，可得 ，可得 ，既有 ，由离心率公式可得 ，由于 ，则由 ，则的取值范围是 ，故选 C.
6、考点：圆锥曲线的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了圆锥曲线的几何性质，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质、双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，椭圆与双曲线的离心率等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解得中借助三角形的三边之间的关系，列出关于 表达式是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.11. 三棱锥 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥 的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图，取 中点 ，连接 ，则在 中 ，在中， ，所以 ，则该三棱锥的外接球的表面积是 ，故选 A.点睛：
7、思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平- 5 -齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.12. 设实数 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由约束条件 可知，（当且仅当 时等号成立） ，即 的最小值为 ，故选 C.【易错点晴】本
8、题主要考查约束条件的应用、不等式的性质及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小） ；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 若命题“ ”是假命题，则 的取值范围是_【答案】【解析】因为命题“ ”是假命题，所以为真命题 ，即 ，故答案为 .14. 高三某班一学习小组的 四位同学
9、周五下午参加学校的课外活动，在课外活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步， 不在散步，也不在打篮球； 不在跳舞，也不在散步；“ 在散步”是“ 在跳舞”的充分条件；不在打篮球，也不在散步； 不在跳舞，也不在打篮球以上命题都是真命题，那么 在- 6 -_【答案】画画【解析】由，可知,A、 、D 都不散步，必有 C 在散步，由可知必有 A 在跳舞，由可知 D 不在打篮球，因此 在画画，故答案为画画.15. 设 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，当 时，且 ，则不等式 的解集是_【答案】【解析】设 ，当 时， ， 在当时为增函数， ，故 为上的奇函数， 在 上亦为增函数.
10、已知 ，必有 . 构造如图的 的图象，可知 的解集为，故答案为 .16. 在 中，已知 ，若点 为 的中点，且 ，则_【答案】【解析】根据题意得： ，两边平方得 ，把 代入得 ，即 ，分解得，解得 （舍去）或，由余弦定理得，把 代入得 ，由正弦定理得 得，故答案为 .【名师点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理- 7 -更方便、简捷如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明
11、、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 满足 ，且 . 求证：数列 是等比数列；判断数列 的前 项和 与 的大小关系，并说明理由.【答案】 （1）见解析（2）见解析【解析】试题分析： 先证明数列 是以 3 为首项，3 为公比的等比数列，从而可得结果； 结和第一问可得 ，利用裂项项相消法求和，根据放缩法可得结果.试题解析： 由题意可得 ，即 ，又 ，故数列 是以 3 为首项，3 为公比的等比数列； 由 可知 ，即 ，故18. 如图（1）所示，已知四边形 由直角 和直角梯形 拼接而成的，其中，且点 为线段 的中点 ， ，现将沿 进行翻折，使得二面角 的大小为 ，得到的图形如图（2）所示，边接
12、，点 分别在线段 上.证明： ；- 8 -若三棱锥 的体积是四棱锥 的体积的 ，求点 到平面 的距离【答案】 （1）见解析（2）点 到平面 的距离为 【解析】试题分析：（1）直二面角定义可得 ，再根据已知条件 ，由线面垂直判定定理得 平面 ，即得 ；另一方面，由计算可得 ；因此由线面垂直判定定理得 平面 ，即得 .（2）利用等体积法，将三棱锥的体积转化为 ，再根据椎体体积公式得，解得 为点 到平面 的距离.试题解析：（）证明：因为二面角 的大小为 ，则 ，又 ，故 平面 ，又 平面 ，所以 ；在直角梯形 中， ， ， ，所以 ,又 ，所以 ，即 ；又 ，故 平面 ，因为 平面 ，故 .（）设点
13、 到平面 的距离为 ，因为 ，且 ，故 ，故 ，做点 到平面 的距离为 .19. 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子中的发芽数，得到如下资料： 该农科所确定的研究方案是：先从这 5 组数据中选取 2 组，用剩下的 3 组数据求回归方程，再对被选取的确组数据进行检验- 9 -求选取的 2 组数据恰好是不相邻的 2 天数据的概率；若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据，请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据，求关于 的线性回归方程
14、；若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过 2 里颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问 中所得的线性回归方程是否可靠？（注： ）【答案】 （1） （2） （3）所得到的线性回归方程是可靠的【解析】试题分析：（1）可用间接法先求抽到相邻两天的概率，进而求得选取的 组数据恰好是不相邻 天数据的概率；（2）根据表中数据，先求出回归方程中的常数 ，再根据样本中心点 在回归直线上求出常数 ，进而可得出回归直线的方程；（3）根据（2）的结论，分别检验估计值与所选出的检验数据的误差是否均不超过 颗，即可确认所得的线性回归方程是否可靠.试题解析：（1）设抽到不相邻两组数据为事件 ，因
15、为从 组数据中选取 组数据共有 种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有 种，所以 .故选取的 组数据恰好是不相邻 天数据的概率是（2）由数据，求得由公式求得 .所以 关于 的线性回归方程为 .（3）当 时， 同样，当 时，所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的考点：1、古典概型；2、线性回归方程及回归分析方程的应用.- 10 -20. 如图，在平面直角坐标系 中，已知圆 ，点 ，点，以 为圆心， 的半径作圆，交圆 于点 ，且的 的平分线次线段于点 当 变化时，点 始终在某圆锥曲线 是运动，求曲线 的方程；已知直线过点 ，且与曲线 交于 两点，记 面积为 ， 面积为 ，
16、求的取值范围【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（I）椭圆的定义可知， 点的轨迹是以 为焦点， 的椭圆，故点 的轨迹方程为 ；（II）设直线 ，不妨设 ，直线与曲线联立，根据韦达定理，求得 ，根据三角形面积公式将.试题解析：（I）如图， ， ，由椭圆的定义可知，点的轨迹是以 为焦点， 的椭圆，故点 的轨迹方程为 （II）由题可知，设直线 ，不妨设， ， ， - 11 -，即21. 已知函数 有两个不同的零点 求 的最值；证明： 【答案】 （1） ，无最小值 （2）见解析试题解析： ， 有两个不同的零点 ， 在 内必不单调，故 ，此时 在 上单增， 上单减，无最小值 由题知 ，两式相减得
17、，即故要证 ，即证 ，即证不妨设 ，令 ，则只需证设 ，则设 ，则 在 上单减， 在 上单增，- 12 -，即 在 时恒成立，原不等式得证【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步构造函数利用导数证明.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，
18、直线 ，曲线 为参数） ，以以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.求 的极坐标方程；若曲线 的极坐标方程为 ，且曲线 分别交 于点 两点，求 的最大值【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）由 可得曲线 的极坐标方程；先将曲线 化为普通方程，进而可得曲线 的极坐标方程；（2）设 ，则 ，根据三角函数有界性可得到答案.试题解析： ， ， ， ， 曲线 为 ，设 ，则 ， 23. 选修 4-5：不等式选讲设函数 - 13 -当 时，解不等式： ；若对任意 ，不等式 解集不为空集，求实数 的取值范围【答案】 （1） （2）【解析】试题分析： 分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果； 不等式 解集不为空集，等价于 ，只需求出 的最大值即可得结果.试题解析： 当 时，解不等式： 等价于当 时，不等式化为 ，无解；当 时，不等式化为 ，解得 ；当 时，不等式化为 ，解得 综上所述，不等式 的解集为 不等式 解集不为空集，当且仅当 时取等号，对任意 ，不等式 解集不为空集，令 ，当 上递增， 递减，当且仅当 或 ， ，的取值范围为 .
