1、- 1 -天一大联考 2017-2018 学年高中毕业班阶段性测试（三）数学（理科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意得 ，所以 。选 A。2. 已知 是虚数单位，若复数 为纯虚数（ ， ） ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意得 为纯虚数，所以，故 。所以 。选 A。3. 如图是一边长为 8 的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是
2、黑色小圆半径的 2 倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自白色区域的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D- 2 -【解析】由题意得正方形的内切圆的半径为 4，中间黑色大圆的半径为 2，黑色小圆的半径为 1，所以白色区域的面积为 ，由几何概型概率公式可得所求概率为 。选 D。4. 已知函数 （ ）的最小值为 2，则实数 （ ）A. 2 B. 4 C. 8 D. 16【答案】B【解析】由 得 ，故函数的定义域为 ，易知函数 在 上单调递增，所以 ，解得 。选 B。5. 已知数列 满足 ， ， ，则数列 前项的和等于（ ）A. 162 B. 182 C. 234 D. 346【答案】B
3、【解析】由条件得 ，所以 ，因此数列 为等差数列。又 ， ，所以 。故 。选 B。点睛：在等差数列项与和的综合运算中，要注意数列性质的灵活应用，如在等差数列中项的下标和的性质，即：若 ，则 与前 n 项和公式 经常结合在一起运用，采用整体代换的思想，以简化解题过程6. 用 ， ， 表示某培训班 10 名学员的成绩，其成绩依次为85,68,95,75,88,92,90,80,78,87.执行如图所示的程序框图，若分别输入 的 10 个值，则输出的 的值为（ ）- 3 -A. B. C. D. 【答案】C.7. 如图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A. 16 B. 32 C.
4、48 D. 60【答案】A【解析】由三视图可得，该几何体是一个四棱锥，高为 4，底面为上底、下底分别为 2,4，高为 4 的直角梯形，故此四棱锥的体积为 。选 A。8. 已知 ， ， ，且 ，则 的最小值为（ ）A. 8 B. 9 C. 12 D. 16【答案】B【解析】由 ， ， 得，当且仅当 时等号成立。选 B。- 4 -9. 将函数 向左平移 个单位长度，则所得函数的一条对称轴是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得 ，向左平移 个单位长度后所得图象对应的解析式为 ，由绝对值函数图象的特点知，所得函数的图象与 x轴的交点和最值点都是函数对称轴经过的点，所以平移后所得函数
5、图象的对称轴为，当 时，函数图象的一条对称轴为 。选 C。10. 已知点 ， 是圆 ： 上任意一点，若线段 的中点 的轨迹方程为 ，则 的值为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D11. 已知四棱锥 的侧棱长均为 ，底面是两邻边长分别为 和 的矩形，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为四棱锥的底面为矩形，所以对角线 AC 为截面圆的直径。由题意得该四棱锥的外接球的球心 O 在截面 ABC 内的射影为 AC 的中点 F，此时 ，则 ，解得 。设外接球的半径为 R，则 ，所以在中，由勾股定理得 ，解得 ，所以外接球的表面积为 。选 C。点睛
6、：- 5 -对于组合体的问题，要弄清它是由哪些简单几何体组成的，然后根据题意求解面积或体积。解决关于外接球问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用12. 已知过抛物线 ： 的焦点 的直线 交抛物线于 ， 两点，若 为线段 的中点，连接 并延长交抛物线 于点 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意知， 的焦点 的坐标为（2,0） 。直线 的斜率存在且不为 0，设直线 方程为。由 消去 y 整理得 ，设 ，则 ，故 ，所以，直线 的方程为 ，代入抛物线方程，解得，由条件知 。所以 。选 D。 点睛：圆锥曲线中最
7、值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中 的系数是_.（用数值作答）- 6 -【答案】【解析】二项
8、式 展开式的通项为 ，令得 。故展开式中 的系数为 。答案：14. 已知实数 ， 满足 则 的取值范围为_.【答案】【解析】画出不等式组表示的平面区域如图所示， 表示可行域内的点 与点连线的斜率。由图形知， 。结合图形可得 或 ，故 的取值范围为 。答案：点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（ 型） 、斜率型（ 型）和距离型（ 型） (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形。15. 如
9、图，在等腰梯形 中， ，点 ， 分别为线段 ， 的三- 7 -等分点， 为 的中点，则 _.【答案】【解析】如图，以 O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，连 BO，可得 为等边三角形，所以 ，则 。所以 ， ，故。答案：16. 已知过点 与曲线 （ ）相切的直线有且仅有两条，则实数 的取值范围是_.【答案】【解析】 ， 。设切点为 ，则有 ，所以过点 P 的切线方程为 ，又点 在切线上，所以 ，整理得 ，- 8 -由题意得方程 有两个不等的正实数根。设 ，则 ，要使 的图象与 t 轴的正半轴有两个不同的交点，则需 。所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，解得 。即实数 的取
10、值范围是 。答案：点睛：本题中将曲线有两条切线的问题转化为函数有两个零点（或方程有两个不等实根）的问题处理，体现了转化思想在解题中的应用，也体现了函数方程思想的运用。研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，得到函数图象的走势规律，通过数形结合的思想去分析问题，使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现。三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知等差数列 的前 项分别为 1， ， ，公比不为 1 的等比数列 的前 3 项分别为4， ， .（1）求数列 与 的通项公式；（2）设 ，求数列
11、的前 项和 .【答案】(1) ， .(2) .【解析】试题分析：（1）由题意可求得 ，从而可得到等差数列的公差和等比数列的公比，从而可求得数列的通项公式。 （2）由（1）可得 ，从而利用裂项相消法求和。试题解析：- 9 -（1）由题意，得解得 （舍去）或所以等差数列 的公差为 ，故 ，等比数列 的公比为 ，故 .（2）由（1）得 ，所以 .18. 在 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，满足 .（1）求角 ；（2）若 的面积为 ，求 的值.【答案】(1) .(2)1.【解析】试题分析：（1）由 及余弦定理得 ，从而得到 ，故 。 （2）由三角形的面积可得 ，结合余弦定理化简 ，故 .试题
12、解析：（1）由 及余弦定理得， .由正弦定理与同角三角函数基本关系得， ，- 10 -又 , .（2） 的面积为 ， ，即 ， .19. 某大型娱乐场有两种型号的水上摩托，管理人员为了了解水上摩托的使用及给娱乐城带来的经济收入情况，对该场所最近 6 年水上摩托的使用情况进行了统计，得到相关数据如表：年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016年份代码 1 2 3 4 5 6使用率 （ ） 11 13 16 15 20 21（1）请根据以上数据，用最小二乘法求水上摩托使用率 关于年份代码 的线性回归方程，并预测该娱乐场 2018 年水上摩托的使用率；（2）随着生活水平的提高，
13、外出旅游的老百姓越来越多，该娱乐场根据自身的发展需要，准备重新购进一批水上摩托，其型号主要是目前使用的型、型两种，每辆价格分别为 1万元、1.2 万元.根据以往经验，每辆水上摩托的使用年限不超过四年.娱乐场管理部对已经淘汰的两款水上摩托的使用情况分别抽取了 50 辆进行统计，使用年限如条形图所示：- 11 -已知每辆水上摩托从购入到淘汰平均年收益是 0.8 万元，若用频率作为概率，以每辆水上摩托纯利润（纯利润 收益 购车成本）的期望值为参考值，则该娱乐场的负责人应该选购型水上摩托还是型水上摩托？附：回归直线方程为 ,其中 ， .【答案】(1)回归方程为 .预测该娱乐场 2018 年水上摩托的使
14、用率为 .(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）由条件所给数据可得 ， ， ， ，故可求得 ， ，所以线性回归方程为 .估计可得当 时， ，即 2018 年水上摩托的使用率为 。 （2）由频率估计概率，可得每辆型水上摩托可产生的纯利润期望值（万元） ，每辆型水上摩托可产生的纯利润期望值 （万元） ，比较可知应该选购型水上摩托。试题解析：（1）由表格数据可得 ， ， ，- 12 - ， ，水上摩托使用率 关于年份代码 的线性回归方程为 .当 时， ，故预测该娱乐场 2018 年水上摩托的使用率为 .（2）由频率估计概率，结合条形图知型水上摩托每辆可使用 1 年、2 年、3 年和 4 年的概率
15、分别为 0.2,0.3,0.3,0.2，每辆型水上摩托可产生的纯利润期望值（万元）.由频率估计概率，结合条形图知型水上摩托每辆可使用 1 年、2 年、3 年和 4 年的概率分别为 0.1,0.2,0.4 和 0.3，每辆型水上摩托可产生的纯利润期望值（万元）. .应该选购型水上摩托。点睛：（1）线性回归方程体现了两个变量之间的相关关系，求得两个变量间的回归关系之后可根据回归方程进行估计，以便为下一步的决策提供参考依据。（2）随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，均值的大小也可为下一步的决策提供参考依据。20. 如图，已知四棱锥 的底面为直角梯形， ， ，且， .- 13 -（1）求证：平
16、面 平面 ；（2）设 ，求二面角 的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】试题分析：（1）取 ， 的中点 ， ，连接 ， ， ， ，可得 ，故得 平面 ，所以 ，又 ，所以 平面 ，从而可得平面 平面 .（2）由（1）知 两两垂直，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求解即可。试题解析：（1）证明：如图，取 ， 的中点 ， ，连接 ， ， ， ，则四边形 为正方形， ， .又 ， ，又 平面 ，又 平面 . ， .又 ， 平面 .- 14 -又 平面 ，平面 平面 .（2）解：由（1）知 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 ， ， ， .令 ，则 ， ， ， ， ， ， .设
17、平面 的一个法向量为 ，由 ，得 ，取 ，得 .又设平面 的法向量为 ，由 得 ，取 ，得 ， ，由图形得二面角 为锐角，二面角 的余弦值为 .点睛：利用坐标法解决空间角问题的步骤及注意点（1）解题步骤：证明存在两两垂直的三条直线，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面的法向量，根据向量的数量积求得两法向量夹角的余弦。（2）注意事项：解题时分清两法向量的夹角与二面角大小的关系，在求得法向量夹角余弦的基础上，要结合图形判断二面角为锐角还是钝角，最后得到结论。21. 如图，已知 为椭圆 ： 的右焦点， ， ， 为椭圆的下、上、- 15 -右三个顶点， 与 的面积之比为 .（1）求椭圆 的标
18、准方程；（2）试探究在椭圆 上是否存在不同于点 ， 的一点 满足下列条件：点 在 轴上的投影为 ， 的中点为 ，直线 交直线 于点 ， 的中点为 ，且 的面积为 .若不存在，请说明理由；若存在，求出点 的坐标.【答案】(1) .(2)存在满足条件的点 ，其坐标为 .【解析】试题分析：（1）由 与 的面积之比为 可得 ，又 ，所以 ，从而 ，可得椭圆的标准方程。 （2）假设存在满足条件的点 （ ） ，进而 ，。可得直线 的方程为 ，进一步可得 ，根据，可得 ，从而得到 。又点 到直线 的距离为 ，由，可得 ，从而 。因此存在点 P 满足条件。试题解析：（1）由已知得 .又 ， ， ，- 16 -
19、椭圆 的标准方程为 .（2）假设存在满足条件的点 P，设其坐标为 （ ） ，则 ，且 .又 ，直线 的方程为 . ， ，令 ，得 .又 ，则 ， .直线 的方程为 ，即 ，点 到直线 的距离为 ， ，解得 ，又 ， ，存在满足条件的点 ，其坐标为 .点睛：解决解析几何中探索性问题的方法存在性问题通常采用“肯定顺推法” 其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参- 17 -数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在22. 已知函数 .（1）讨论 的单调性；（2）若方程 存在两个不同的实
20、数根 ， ，证明： .【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）先求得函数的定义域为 ，由 及对 取值的讨论可得当 时，在区间 上单调递增；当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.（2）设 ， ，可得， 。故原不等式可化为证 ，等价于。在此基础上，令 ，转化为证 成立，构造函数，通过单调性可得不等式成立。试题解析：（1）函数 的定义域为 ， .当 时， ，故 在区间 上单调递增.当 时，则当 时， ， 上单调递增；当 时， ， 上单调递减。综上，当 时， 在区间 上单调递增；当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.（2）由方程 存在两个不同的实数根 ， ，可设 ，- 18 - ， ， ， .要证 ，只需证 ，等价于 ，设 ，则上式转化为 ，设 ，则 ， 在 上单调递增， ， ， .
