1、第 1 页 共 17 页2018 届河南省高三 12 月联考数学（理）试题一、单选题1已知集合 ， ，则 （ ）2*|60AxNx,26BABA. B. C. D. 2,63,3【答案】A【解析】由题意得 ，所以 。*|061,245,6x2,6AB选 A。2已知 是虚数单位，若复数 为纯虚数（ ， ） ，则 （ ）i bizaabRzA. B. C. D. 123【答案】A【解析】由题意得为纯虚数，所以2221111biabaii baz iai，故 。所以 。选 A。2021zia3如图是一边长为 8 的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆
2、的半径是黑色小圆半径的 2 倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自白色区域的概率为（ ）A. B. C. D. 6432168【答案】D【解析】由题意得正方形的内切圆的半径为 4，中间黑色大圆的半径为 2，黑色小圆的半径为 1，所以白色区域的面积为 ，由几何概型概率22218公式可得所求概率为 。选 D。284已知函数 （ ）的最小值为 2，则实数 （ ）xfa0aA. 2 B. 4 C. 8 D. 16【答案】B第 2 页 共 17 页【解析】由 得 ，故函数的定义域为 ，易知函数20xa2loga2log,a在 上单调递增，所以 ，解得flog,minfxf。选 B。4a5已知数列 满
3、足 ， ， ，n122nnaa6103a5814a则数列 前 项的和等于（ ）3A. 162 B. 182 C. 234 D. 346【答案】B【解析】由条件得 ，所以 ，因此数列1222nnnaaa 12nna为等差数列。又 ， ，所以na261063581834。6812，故 。选 B。136813 2182aaS点睛：在等差数列项与和的综合运算中，要注意数列性质的灵活应用，如在等差数列中项的下标和的性质，即：若 ，则 与前 n 项和公式mnpqmnpqaa经常结合在一起运用，采用整体代换的思想，以简化解题过程12nnaS6用 ， ， 表示某培训班 10 名学员的成绩，其成绩依次为1210
4、a85,68,95,75,88,92,90,80,78,87.执行如图所示的程序框图，若分别输入 的 10 个值，ia则输出的 的值为（ ）1niA. B. C. D. 351709【答案】C【解析】根据程序框图可知程序框图中的 n 记录输入的数据中大于等于 80 分的学生的人数，在给出的 10 个数据中，大于等于 80 的数据的个数为 7 个，故输出的值为。选 C。710ni7如图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） 第 3 页 共 17 页A. 16 B. 32 C. 48 D. 60【答案】A【解析】由三视图可得，该几何体是一个四棱锥，高为 4，底面为上底、下底分别为2,4
5、，高为 4 的直角梯形，故此四棱锥的体积为 。选 A。12163V8已知 ， ， ，且 ，则 的最小值为（ ）0xy0z4yzxyzA. 8 B. 9 C. 12 D. 16【答案】B【解析】由 ， ， 得， 0x0y0z41yzyzxyzx，当且仅当 时等号成立。45xz529z3,6yz选 B。9将函数 向左平移 个单位长度，则所得函数的一条对称轴sinco2xf6是（ ）A. B. C. D. 6x4x3x23x【答案】C【解析】由题意得 ，向左平移 个单位长度sincosin()224f 6后所得图象对应的解析式为 ，由绝对值1i()si()6xyx函数图象的特点知，所得函数的图象与
6、x 轴的交点和最值点都是函数对称轴经过的点，所以平移后所得函数图象的对称轴为 ，当 时，函数图象的一,kZ0k第 4 页 共 17 页条对称轴为 。选 C。3x10已知点 ， 是圆 ： 上任意一点，若1,QmP224xay线段 的中点 的轨迹方程为 ，则 的值为（ ）PM21ymA. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D【解析】设 ， 的中点为 ，则由中点坐标公式得 。,PxyQ0,xy012 xym因为点 在圆 上，所以 ，即0,Mxy221y2211y。将此方程与方程 比较可得214m224xa，解得 。选 D。 4a11已知四棱锥 的侧棱长均为 ，底面是两邻边长分别为 和 的PAB
7、C3023矩形，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 1832648【答案】C【解析】因为四棱锥的底面为矩形，所以对角线 AC 为截面圆的直径。由题意得该四棱锥的外接球的球心 O 在截面 ABC 内的射影为 AC 的中点 F，此时 12AC，则 ，解得 。设外接球2213522305P5的半径为 R，则 ，所以在 中，由勾股定理得,FCROCF，解得 ，所以外接球的表面积为 。选22532436SRC。点睛：对于组合体的问题，要弄清它是由哪些简单几何体组成的，然后根据题意求解面积或体积。解决关于外接球问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要
8、作一圆面起衬托作用12已知过抛物线 ： 的焦点 的直线 交抛物线于 ， 两点，若 为C28yxFlPQR线段 的中点，连接 并延长交抛物线 于点 ，则 的取值范围是（ ）PQORCSOR第 5 页 共 17 页A. B. C. D. 0,2,0,2,【答案】D【解析】由题意知， 的焦点 的坐标为（2,0） 。直线 的斜率存在且不为28yxFl0，设直线 方程为l。由 消去 y 整理得 ，设2ykx2 kyx22240kxxk， ，则 ，故1,P203,QRSy214k，所以 ，直线 的20 0),xkykx4k02OSxOS方程为 ，代入抛物线方程，解得2yx，由条件知 。所以 。选 D。 3
9、2kx20k230SxkR点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围二、填空题13 的展开式中 的系数是_.（用数值作答）7152xy25xy【答案】 3【解析】二项式 展开式的通项
10、为7152xy，令 得7771 12rrrr rrrTCCxy 5。故展开式中 的系数为 。52255673xyy 2523答案： 3第 6 页 共 17 页14已知实数 ， 满足 则 的取值范围为_ .xy20,4 31,xy43yzx【答案】 2,【解析】画出不等式组表示的平面区域如图所示， 表示可行域内的点 与43yx,xy点 连线的斜率。A3,4由图形知， 。结合图形可得 或1846425, 2383ACABkk23z，故 的取值范围为 。2z3yzx,答案： 2,点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类
11、型有截距型（ 型）axby、斜率型（ 型）和距离型（ 型） ybxa22xayb(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形。15如图，在等腰梯形 中， ，点 ， 分别为ABCD12BADCEF线段 ， 的三等分点， 为 的中点，则 _.ABOcos,FO【答案】 12第 7 页 共 17 页【解析】如图，以 O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，连 BO，可得 为等边BOC三角形，所以 ，则 。所以1,3,2,0ABC1423,3EF， ，故 42,3F 5,FcosEF。2
12、2253431答案： 116已知过点 与曲线 （ ）相切的直线有且仅有0,326afxx0两条，则实数 的取值范围是_.a【答案】 2,【解析】 ，326fxx 。2fa设切点为 ，则有 ，32,6(0)Pttt236ftat所以过点 P 的切线方程为 ，3226aytttxt又点 在切线上，0,1所以 ，322636atttat整理得 ，324+=0t由题意得方程 有两个不等的正实数根。at设 ，则 ，32()ht216htatt要使 的图象与 t 轴的正半轴有两个不同的交点，则需 。4+0tt 0a第 8 页 共 17 页所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，ht0,2a,2a所以 ，
13、解得 。3min04t即实数 的取值范围是 。a2,答案： 2,点睛：本题中将曲线有两条切线的问题转化为函数有两个零点（或方程有两个不等实根）的问题处理，体现了转化思想在解题中的应用，也体现了函数方程思想的运用。研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等， 根据题目要求，得到函数图象的走势规律 ，通过数形结合的思想去分析问题 ，使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现。三、解答题17已知等差数列 的前 项分别为 1， ， ，公比不为 1 的等比数列 的na3abnb前 3 项分别为 4， ， .2b（1）求数列 与 的通项公式；n（2）设 ，求数列 的前 项和
14、.2log1nncabncnS【答案】(1) ， .(2) .121n【解析】试题分析：（1）由题意可求得 ，从而可得到等差数列的公差和等比数列的公比，从而可3, 5ab求得数列的通项公式。 （2）由（1）可得 ，从2112ncnn而利用裂项相消法求和。试题解析：（1）由题意，得 21 43ab解得 （舍去）或, ab, 5b所以等差数列 的公差为 ，n2da故 ，121na第 9 页 共 17 页等比数列 的公比为 ，nb24aq故 .142（2）由（1）得 ，2112ncnn所以 .1235n nS 18在 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，满足ABCBCabc.2222tacbb
15、ca（1）求角 ；（2）若 的面积为 ，求 的值.AB32243cosAaBb【答案】(1) .(2)1.【解析】试题分析：（1）由 及余弦定理得 ，2222tan3cbBbcacostan3cosBbA从而得到 ，故 。 （2）由三角形的面积可得 ，结合余弦定理taA2b化简 ，故43cos.22 1bcBaba试题解析：（1）由 及余弦定理得，2222tan3cbc，ostaosBA .cn3cb由正弦定理与同角三角函数基本关系得，sisioiosAB ，tan3又 ,0 .（2） 的面积为 ，ABC32 ，即 ，1sin3bcbc第 10 页 共 17 页 43cos23cosbAaBA
16、aB22b，2ab .243cos1AaB19某大型娱乐场有两种型号的水上摩托，管理人员为了了解水上摩托的使用及给娱乐城带来的经济收入情况，对该场所最近 6 年水上摩托的使用情况进行了统计，得到相关数据如表：年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016年份代码 x1 2 3 4 5 6使用率 （y）%11 13 16 15 20 21（1）请根据以上数据，用最小二乘法求水上摩托使用率 关于年份代码 的线性回归yx方程，并预测该娱乐场 2018 年水上摩托的使用率；（2）随着生活水平的提高，外出旅游的老百姓越来越多，该娱乐场根据自身的发展需要，准备重新购进一批水上摩托，其型号
17、主要是目前使用的型、型两种，每辆价格分别为 1 万元、1.2 万元.根据以往经验，每辆水上摩托的使用年限不超过四年.娱乐场管理部对已经淘汰的两款水上摩托的使用情况分别抽取了 50 辆进行统计，使用年限如条形图所示：已知每辆水上摩托从购入到淘汰平均年收益是 0.8 万元，若用频率作为概率，以每辆水上摩托纯利润（纯利润 收益 购车成本）的期望值为参考值，则该娱乐场的负责人应该选购型水上摩托还是型水上摩托？附：回归直线方程为 ,其中 ， ybxa1122nnii iii iixyxy.aybx【答案】(1)回归方程为 .预测该娱乐场 2018 年水上摩托的使用率为 .29yx 25%第 11 页 共
18、 17 页(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）由条件所给数据可得 ， ， ， ，故可求3.5x16y137ixy6219ix得 ， ，所以线性回归方程为 .估计可得当 时， 2b9a28，即 2018 年水上摩托的使用率为 。 （2）由频率估计概率，可895y5%得每辆型水上摩托可产生的纯利润期望值 （万元） ，每辆型水上摩托可产1E生的纯利润期望值 （万元） ，比较可知应该选购型水上摩托。21.E试题解析：（1）由表格数据可得 ， ， ， 3.5x6y137ixy6219ix ，612iiybx271.9 ，3.5a水上摩托使用率 关于年份代码 的线性回归方程为 .yx29yx当 时，
19、 ，8x289故预测该娱乐场 2018 年水上摩托的使用率为 .25%（2）由频率估计概率，结合条形图知型水上摩托每辆可使用 1 年、2 年、3 年和 4年的概率分别为 0.2,0.3,0.3,0.2，每辆型水上摩托可产生的纯利润期望值（万10.8.20.81.30.8.340.8.1E元）.由频率估计概率，结合条形图知型水上摩托每辆可使用 1 年、2 年、3 年和 4 年的概率分别为 0.1,0.2,0.4 和 0.3，每辆型水上摩托可产生的纯利润期望值 20.81.20.81.230.8.0.812.3E（万元）. .12应该选购型水上摩托。点睛：（1）线性回归方程体现了两个变量之间的相关
20、关系，求得两个变量间的回归关系之后可根据回归方程进行估计，以便为下一步的决策提供参考依据。（2）随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，均值的大小也可为下一步的决策提供参考依据。20如图，已知四棱锥 的底面为直角梯形， ， PABCD /ADBC，且 ， .90ADC2PB第 12 页 共 17 页（1）求证：平面 平面 ；PADBC（2）设 ，求二面角 的余弦值.45P【答案】(1)证明见解析；(2) .63【解析】试题分析：（1）取 ， 的中点 ， ，连接 ， ， ， ABOGBOPG，可得 ， ，故得 平面 ，所以 ，又PGOABGA，所以 平面 ，从而可得平面 平面 .（2）由DP
21、CDPDC（1）知 两两垂直，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求解即可。,试题解析：（1）证明：如图，取 ， 的中点 ， ，连接 ， ， ， ABOGBOPG，PG则四边形 为正方形，OBCD ， .OABGA又 ， ，P又 平面 ，又 平面 . ，PAD .O又 ，B 平面 .C又 平面 ，平面 平面 .B（2）解：由（1）知 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 ，,ODPOxyz第 13 页 共 17 页 ， ，45PADOAD .B令 ，则 ， ， ， ，10,P1,0B,10C,D ， ， .,0设平面 的一个法向量为 ，PBD11,nxyz由 ，得 ，取 ，得 .1, n11
22、0 ,PB1x1,n又设平面 的法向量为 ，C22nxyz由 得 ，取 ，得 ，2, nDP220, 2120,1n ，112216cos, 3n由图形得二面角 为锐角，BC二面角 的余弦值为 .PD63点睛：利用坐标法解决空间角问题的步骤及注意点（1）解题步骤：证明存在两两垂直的三条直线，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面的法向量，根据向量的数量积求得两法向量夹角的余弦。（2）注意事项：解题时分清两法向量的夹角与二面角大小的关系，在求得法向量夹角余弦的基础上，要结合图形判断二面角为锐角还是钝角，最后得到结论。21如图，已知 为椭圆 ： 的右焦点， ， 3,0FC21(0)xyab
23、1B， 为椭圆的下、上、右三个顶点， 与 的面积之比为 .2BA2BOF2A32第 14 页 共 17 页（1）求椭圆 的标准方程；C（2）试探究在椭圆 上是否存在不同于点 ， 的一点 满足下列条件：点 在1B2PP轴上的投影为 ， 的中点为 ，直线 交直线 于点 ， yQPM0ybN的中点为 ，且 的面积为 .若不存在，请说明理由；若存在，求出1BNRO3510点 的坐标.P【答案】(1) .(2)存在满足条件的点 ，其坐标为 .214xyP652,7【解析】试题分析：（1）由 与 的面积之比为 可得 ，又 ，所以 ，2BOF2A32ca3c2a从而 ，可得椭圆的标准方程。 （2）假设存在满
24、足条件的点 （ ） ，b 0,Pxy0进而 ， 。可得直线 的方程为0,Qy200,14xMy， 2BM，进一步可得 ，根据 ，可得021x0,1N1,，从而得到 。又点 到直线 的距离为 ，0,21Ry0yROR1d由 ，可得 ，从而 。因此01352MORySd0270657x存在点 P 满足条件。试题解析：（1）由已知得 .2132BOFAbcSa又 ，3c ，2a第 15 页 共 17 页 ，221bac椭圆 的标准方程为 .C214xy（2）假设存在满足条件的点 P，设其坐标为 （ ） ，0,xy0则 ，且 .0,Qy0,2xMy又 ，2,1B直线 的方程为 .201yx ， ，0x
25、01y令 ，得 .0,xN又 ，则 ，10,B0,12Ry .20 000xyM直线 的方程为 ，即 ，R0xy02x点 到直线 的距离为 ，O2014dxy ，011352MRS解得 ，07y又 ，2014x ，0657存在满足条件的点 ，其坐标为 .P652,7点睛：解决解析几何中探索性问题的方法存在性问题通常采用“肯定顺推法” 其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲第 16 页 共 17 页线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在22已知函数 .lnfxmR（1）讨论 的
26、单调性；（2）若方程 存在两个不同的实数根 ， ，证明： .0fx1x212mx【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）先求得函数的定义域为 ，由 及对 取值的讨论,fxx可得当 时， 在区间 上单调递增；当 时， 在区间0mfx00mfx上单调递增，在区间 上单调递减.（2）设,1,m， ，可得12110ln0xfxx， 由 22ln0fxx， 。故原不等式可化为证1212ln 12l，等价于 。在此基础上，令 ，转化1212lxx122lnx12xt为证 成立，构造函数 ，通过单调性可ln()tln()1tgt得不等式成立。试题解析：（1）函数 的定义域为 ，f
27、x0, lnfm .1xx当 时， ，故 在区间 上单调递增.00ffx0,当 时，则当 时， ， 上单调递增；1xmff当 时， ， 上单调递减。0x综上，当 时， 在区间 上单调递增；f,当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.0fx10,m1,m第 17 页 共 17 页（2）由方程 存在两个不同的实数根 ， ，可设 ，0fx1x2120x ， ，11lnfm2ln0fxm ，22lxx .12l要证 ，只需证 ，等价于 ，12mx1212lnxx122lnx设 ，则上式转化为 ，12tl()t设 ，ln(1)tgt则 ，2 0t 在 上单调递增，gt1, ，0 ，2ln1t .2mx
