1、 第 14讲 三角形的五心 三角形的基本知识 , , ,A B C B C a C A b A B c 设 的 三 边 长 分 别 为 则1 . 0 , 0 , 0 .a b c 2 . , , .a b c b c a c a b 3 . 0 , , 1 8 0 .A B C 4 . 1 8 0 .3 6 0 .A B C 三 角 形 的 外 角 和 为5 . .a b A Ba b A B 6.三 角 形 的 三 个 内 角 中 ，至 多 只 有 一 个 直 角 或 钝 角三角形的基本知识 例 1. 例 2. 例 3. 例 4. 例 5. 4.P A B C S A B CP A B C
2、P B C A P C A B S 设 是 内 一 点 ， 为 的 的 面 积 ，求 证 ：例 6 三角形的基本知识 , , ,A B C B C a C A b A B cc a c b 设 的 三 边 长 分 别 为且 , 则2 2 21 . + .C a b c为 直 角2 2 22 . + .C a b c为 锐 角2 2 23 . + .C a b c为 钝 角三角形的外心 三角形外心定理 三角形的三条边的垂直 平分线相交交于一点， 该点即为该三角形的外心 . 外心到三顶点的距离相等 , 是三角形外接圆的圆心 . 三角形的外心 , 9 0O A B C B A C 是 直 角 的 外
3、 心 .1 . .O B C是 斜 边 的 中 点2 . .O A O B O C3 . 9 0 .O A B B C A 4 . ,R设 外 接 圆 的 半 径 为 则2.s i n s i n s i nB C C A A B RB A C C B A A C B 三角形的外心 ,O A B C D E FB C C A A B是 锐 角 的 外 心 分 别 是 三边 中 垂 线 与 各 自 边 的 交 点 .1. O A B C在 的 内 部2 . 2B O C B A C 3 . 9 0 .O A B B C A 4 . ,R设 外 接 圆 的 半 径 为 则2.s i n s i n
4、 s i nB C C A A B RB A C C B A A C B .c o s c o s c o sO D O E O F RB A C C B A A C B 三角形的外心 , , ,O A B C B A C D E FB C C A A B是 钝 角 的 外 心 为 钝 角 ，分 别 是 三 边 中 垂 线 与 各 自 边 的 交 点 .1. O A B CO A B C在 的 外 部 ， 在 直 线 的 两 侧 .2 . 3 6 0 2 .B O C B A C 3 . 9 0 .O A B B C A 4 . ,R设 外 接 圆 的 半 径 为 则2.s i n s i n
5、 s i nB C C A A B RB A C C B A A C B 三角形的外心 ,9 0 ,D A B C B CB C A B A DA D A B C 是 锐 角 的 边 上 一 点且求 证 : 经 过 的 外 心 .三角形的内心 三角形内心定理 三角形三条内角平分线相交于一点 . 该点即为该三角形的内心 . 内心到三角形三边距离相等 ;内心在三角形内部 . 与三角形各边都相切的圆叫做 三角形的内切圆 ，内切圆的圆心即是 三角形内心 ，这个三角形叫做圆的 外切 三角形。 19 0 .2B I C B A C 三角形的内心 ,.,.ABCP Q RA P B Q C RKABCK A
6、 B C I如 图 ， 的 内 切 圆与 三 边 的 切 点 分 别 为 ，则 相 交 于 一 点 ，记 为 点当 且 仅 当 为 等 边三 角 形 时 是 的 内 心三 角 形 内 切 圆 切 点 与对 应 顶 点 连 线交 于 一 点 .2. 1. 连 接 三 角 形 的 内 切 圆 的三 个 切 点 所 构 成 的 三 角 形是 锐 角 三 角 形 .三角形的内心 3. ,.A B C I A I A B CA P P B C P B P C P I的 内 心 为 ， 设 与 的 外 接 圆 相 交 于 点， 则 点 是 其 所 在 弧 的 中 点 ， 且三角形一内 角平分线 与其外接圆
7、的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等 . 三角形的内心 3. 三角形内角平分线定理 三角形任意两边之比等于 它们夹角的平分线分对边之比 . 2( 2 ) .A D A B A C B D C D ( 3 ) ;.A B A C C F B EA B A C C F B E ,( 1 )AB C A B CD E FBD ABCD AC如 图 , 角 ， 角 角 的 平 分 线分 别 交 对 边 于 点 ， 则=.三角形的旁心 三角形旁心定理与性质 1.三角形的一条内 角平分线与其他 两个角的外角平分线交于一点，该点即为三角形的 旁心 . 2.旁心到三角形三边的距离相等 . 3.三角形有三个
8、 旁切圆 ，三个旁心 .旁心一定在三角形外 . 4.直角三角形 斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半 . 三角形的旁心 1 2 3A B C I I I I如 图 的 内 心 及 四 个 旁 心 分 别 为 ， ， ， .1 2 3I I I I是 的 垂 心1 2 3I I I I是 的 垂 心2 3 1I I I I是 的 垂 心3 1 2I I I I是 的 垂 心共圆 组 垂 心 组 1 2 31 2 3,A B C I I I I I IM M M 外 接 圆 与 线 段 ， ，的 交 分 别 为 ， .33, , , .I A B I M共 圆 ， 圆 心 为11, , , .
9、I B C I M共 圆 ， 圆 心 为22, , , .I C A I M共 圆 ， 圆 心 为三角形的旁心 三角形外角平分线定理 三角形的外角平分线外分 对边所成的两条线段和相邻 两边对应成比例 . 2.( 1 ) = .( 2 ) .ABC A lAB AC l BCAB AC l BCBD ABDCD ACAD BD CD AB AC 角 的 外 角 平 分 线 为若 ， 则若 ， 则 与 的 延 长 线相 交 ； 设 交 点 为 ， 则 = ，且三角形的垂心 三角形垂心定理 三角形的三条高所在直线相交于一点，这点称为三角形的垂心 . 斜（锐角或钝角）三角形 的顶点与垂心 4点中， 任
10、一点都是是其余三点为顶点的三角形的垂心 (称这样的四点为一垂心组 ). 锐角三角形 的垂心在三角形内； 直角三角形 的垂心在直角顶点上； 钝角三角形 的垂心在三角形外 . 三角形的垂心 锐角三角形 的垂心 是它垂足三角形的内心； 钝角三角形 的垂心 是它垂足三角形的旁心 . 斜 （锐角或钝角）三角形的顶点、垂心、垂足七个点中，共有几组四点共圆？ 6组 斜（锐角或钝角）三角形 的顶点与垂心四个点中， 任意三点为顶点的三角形的外接圆半径相等 . 三角形的垂心 例 1 求证： 三角形任一顶点到垂心的距离， 等于外心到对边的距离的 2倍 . 三角形的垂心 例 2 设 O， H分别为 ABC的外心和垂心
11、，则 BAO= CAH， CBO= ABH， BCO= ACH. 例 3.垂心 H关于三边的对称点，均在 ABC的外接圆上 . 三角形的垂心 2 2 2 2 2 2 22. :( 1 ) ,= = ;H A B CH A B C R A B CA H B C B H C A C H A B R 例 4 已 知 是 锐 角 内 一 点 求 证若 是 的 垂 心 为 外 接 圆 的 半 径 ， 则2 2 2 2 2 2( 2 ) = = .A H B C B H C A C H A B H A B C 若 , 则 是 的 垂 心直角三角形中 ,斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项 ;
12、每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 . 如图 ,在 Rt ABC中 , AC CB,CD AB于点 D, 则 AC2=ADAB, BC2=BDBA, CD2=ADD B. C E FFBCDF :, 求证于 例 1. 如图 ,在 中 , ABC , EACDEDABCD 于于 .CBAC E A D F B 例 2 如图 ,已知 B AC= 90 , AD BC , DE AB , DF AC , 垂足分别为D , E , F. 求证 : = . 三角形的重心 三角形重心定理 三角形的三条边的中线交于一点，该点叫做三角形的重心 . 重心的性质 1.重心在三角形内部 . 2.
13、重心到顶点的距离与重心到 对边 中点的距离之比为 2 1. 3.重心和三角形任意两个顶点 组成的 3个三角形面积相等 . 4.重心到三角形 3个顶点距离的 平方和最小 . 5.重心坐标公式： 1 2 3 1 2 311( ) , ( ) .33x x x x y y y y 6.中线长公式 ： 2 2 21 222am b c a 三角形的四心 正 三角形的四心（外心、内心、垂心、重心）重合，称为正三角形的中心 . 等腰 三角形的四心（外心、内心、垂心、重心）在底边高线上 . 三角形的四心 欧拉线： 三角形的 外心、重心、垂心 ，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线，且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半 . 三角形的四心 托勒密定理： 圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积 . 已知圆内接四边形 ABCD， 求证 :ACBD=ABCD+ADBC 三角形的四心 三角形的四心 三角形的四心 锐角 三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和 .
