1、1第 2 讲 三角形的重心、垂心、外心和内心三角形是最重要的基本平面图形，它包含了丰富的知识，也蕴含了深刻的思想，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题。三角形与高中三角函数、向量、解三角形及立体几何等部分都有密切的联系，因而扎实掌握三角形的相关知识是进一步学习的基础。初中阶段大家已经学习了三角形边上中线、高线、垂直平分线及内角平分线的一些性质。如三角形角平分线上的点到这个角两边的距离相等；三角形边的垂直平分线上的点到这条边两个端点的距离相等，诸如此类。在高中学习中，还会涉及到三角形三条中线交点（重心） 、三条高线交点（垂心） 、三条边的垂直平分线交点（外心）及三条内角平分线交点（内心）的
2、问题，因而有必要进一步了解它们的性质。【知识梳理】三角形的四心(1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等(2)高线：三角形的三条高线交于一点，这点叫做三角形的垂心(3)中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心(4)垂直平分线：三角形的三条垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等【典例解析】求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为 2：1.已知：D、E、F 分别为ABC 三边 BC、 CA、 AB 的中点，求证： AD、 BE、 CF 交于一点，且都被该点分成 2：1.【解析】证明：
3、 连结 DE，设 AD、 BE 交于点 G，QD、 E 分别为 BC、 AE 的中点，则 DE/AB，且 12AB=，GV ，且相似比为 1：2，22,AGDBE=.设 AD、 CF 交于点 ，同理可得， 2,2.AGDCGF=则 与 重合，AD、 BE、 CF 交于一点，且都被该点分成 :1.【解题反思】三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.【变式训练】求证重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。已知： G为 ABCV的重心,求证： GACSSV=GC1 B1A1B AC【分析】可联系重心的性质，重心为中线的
4、三等分点即； 113GB=,在运用 等底，高成比例完成证明；【点评】将重心的性质借助相似比，推出了重心关于三角形面积的性质。同时应当想到它还有其它性质。【典例解析】已知 ABCV的三边长分别为 ,BCaAbBc=，I 为 ACV的内心，且 I 在AB的边 、 、 上的射影分别为 DEF、 、 ，3求证： 2bcaAEF+-=.【解析】证明：作 ABCV的内切圆，则 DEF、 、 分别为内切圆在三边上的切点，,AEFQ为圆的从同一点作的两条切线， A=，同理， BD=BF， CD=CE.bcaBC+-+- 2AFE+=；即 2cAEF-.【解题反思】三角形的三条角平分相交于一点，这个交点称为三角
5、形的内心。内心到三角形三边的距离相等。【变式训练】1.若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.已知： O 为三角形 ABC 的重心和内心.求证：三角形 ABC 为等边三角形.【解析】证明： 如图，连 AO 并延长交 BC 于 D.QO 为三角形的内心，故 AD 平分 BAC，ABC=（角平分线性质定理）O 为三角形的重心， D 为 BC 的中点，即 BD=DC.1，即 A.同理可得， AB=BC.4ABCV为等边三角形.【点评】等边三角形具有四心合一的性质。【变式训练】2.在三角形 ABC 中，G 为重心，I 为内心，若 AB=6， BC=5，CA=4，求 的值 【分析】根据
6、三角形重心性质可得：3GI 2=AI2+BI2+CI2（AG 2+BG2+CG2） ，求得 GI 后代入求值即可【点评】本题考查了三角形的五心的知识，解题的关键是了解三角形重心性质：3GI2=AI2+BI2+CI2（AG 2+BG2+CG2） 【典例解析】在 ABC 中， H为垂心， BCa， Ab， Bc， R为 ABC 外接圆半径，求证: 222Habc5MHOB CA注此性质的证明，或由勾股定理有 222222AHBCEHBCEABHECABH=等，即可【解题反思】三角形的三条高线相交于一点为垂心，通过探究也具有丰富的性质。【变式训练】设 A 的外接圆半径为 R，则求证： 2cosR， 2cosB， 2cos【解析】证明当 C 为锐角三角形时，如图，6DFEHB CA显然有 AHEB，从而 sinsiAEABH在 Rt 中， coC，故 cos2ico2cos2cosinsRRBCRAC 同理， B， 当 A 为钝角三角形时，不妨设 A为钝角此时，只需调换图中字母 与 H， E与 F的位置，图形不变，即得 2cosHR=， 2cosBR， 2cosCR当 BE 为直角三角形时，不妨设 为直角，此时，垂心 H与 A， E， F重舍显然 sA， s， s
