1、云南民族大学附属大学高三年级 2018 年期末考试试卷理科数学一、选择题(共 12 小题，每小题 5 分，共 60.0 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合 A=0,1,2，集合 ，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】集合 ，故 .故答案为：B。2. 已知 ，其中 i 为虚数单位，则A. B. 1 C. 2 D. 【答案】D【解析】已知 ， ，根据复数相等的概念得到 故答案为：D。3. AQI 是表示空气质量的指数， AQI 指数值越小，表明空气质量越好，当 AQI 指数值 不大于 100 时称空气质量为“优良”如图是某地 4 月 1 日到 12 日
2、AQI 指数值的统计数据，图中点 A 表示 4 月 1 日的 AQI 指数值为 201，则下列叙述不正确的是A. 这 12 天中有 6 天空气质量为“ 优良” B. 这 12 天中空气质量最好的是 4 月 9 日C. 这 12 天的 AQI 指数值的中位数是 90 D. 从 4 日到 9 日，空气质量越来越好【答案】D【解析】由图可知, 不大于 100 天有 6 日到 11 日,共 6 天,所以 A 对,不选. 最小的一天为 10 日,所以 B 对,不选.中位为是 ,C 错.从图中可以 4 日到 9 日 越来越小,D 对.所以选 C.4. 已知 是等比数列 的前 项和， 成等差数列，若 ，则
3、为（ ）A. 3 B. 6 C. 8 D. 9【答案】B【解析】由题意得，所以 ，选 B.5. 已知 的展开式中，含 项的系数为 10，则实数的值为（ ）A. 1 B. -1 C. 2 D. -2【答案】B【解析】 含 项的系数为 ,选 B.6. 要得到函数 的图象，只需将函数 的图象上所有的点A. 再向左平行移动 个单位长度 B. 再向右平行移动 个单位长度C. 再向右平行移动 个单位长度 D. 再向左平行移动 个单位长度【答案】B【解析】 ，即再向右平行移动 个单位长度，选 B.7. 函数 的图象大致为B. C. D. 【答案】C【解析】函数 f（x）=（ ）cosx，当 x= 时，是函数
4、的一个零点，属于排除 A，B，当 x（0，1）时，cosx0，0，函数 f（x）=（ ）cosx0，函数的图象在 x 轴下方排除 D故答案为 C。8. 程序框图如图所示，若输入 a 的值是虚数单位 i，则输出的结果是 A. B. C. 0 D. 【答案】C【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算变量 S=i1+i2+ i3+ i4 的值，S=i1+i2+=0故答案为：C。9. 已知一个球的表面上有 A、 B、 C 三点，且 ，若球心到平面 ABC 的距离为 1，则该球的表面积为A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可得平面 ABC 截球
5、面所得的截面圆恰为正三角形 ABC 的外接圆 O，设截面圆 O的半径为 r，由正弦定理可得 2r=4，解得 r=2，设球 O 的半径为 R，球心到平面 ABC 的距离为 1，由勾股定理可得 r2+12=R2，解得 R2=5，球 O 的表面积 S=4R2=20。故答案为：A。10. 已知向量 ，则向量在向量 上的投影是A. 2 B. 1 C. -1 D. -2【答案】D【解析】因为 ，所以向量 在向量 上的投影是 ，选 D.11. 已知双曲线 C： 的左焦点为 F，过点 F 作双曲线 C 的一条渐近线的垂线，垂足为H，点 P 在双曲线上，且 则双曲线的离心率为A. B. C. D. 【答案】C【
6、解析】由题意，设 P（x，y） ，直线 FH 的方程为 y= （x+c），与渐近线 y= x 联立，可得 H 的坐标为（- ， ），（x+c，y）=3（ +c， ），x= +2c，y= ，代入双曲线方程可得， 化简可得 =13，e= 故答案为：C。点睛：这个题目考查的是求双曲线的离心率的求法；将图像特点和圆锥曲线联系到一起。求离心率的常用方法有：定义法，根据椭圆或者双曲线的定义列方程；数形结合的方法，利用图形的几何特点构造方程；利用点在曲线上，将点的坐标代入方程，列式子。12. 已知函数 的定义域为 ，且 ，若方程 有两个不同实根，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】
7、作图，由图知 ，的取值范围为 ，选 A.点睛：二填空题(共 4 小题，共 20.0 分)13. 设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值是_ 【答案】-1【解析】作可行域，则直线 过点 A(3,-2)时取最大值 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14. 在 中， 则角 C 的大小为_ 【答案】【解析】在 中， ， 故角 C 为 .故答案为： 。15. 设 F 是抛物线 ： 的焦点，
8、点 A 是抛物线与双曲线 ： 的一条渐近线的一个公共点，且 轴，则双曲线的离心率为_ 【答案】【解析】试题分析：由抛物线方程 可得其焦点 因为 轴,则可设 因为点 在抛物线 上所以 不妨令 ,则 此时 再将点 代入双曲线 的渐近线方程 可得 ,即 因为 ,所以 所以离心率 考点：抛物线,双曲线的简单性质16. 已知函数 ，若对任意 ，存在 ，使 ，则实数 b 的取值范围是_ 【答案】【解析】试题分析：函数 的导函数 , ，若 , , 为增函数;若 , 或 , 为减函数； 在 上有极值, 在 处取极小值也是最小值 ； ,对称轴, ,当 时, 在 处取最小值 ；当 时,在 处取最小值 ；当 时,
9、在 上是减函数,； 对任意 ,存在 ,使 , 只要的最小值大于等于 的最小值即可,当 时, ,计算得出 ,故 无解;当时, ,计算得出 ,综上: ,因此，本题正确答案是 : .考点：函数最值问题.【方法点晴】本题主要考查函数导数与不等式，恒成立问题.解决本题的关键是根据题意对任意 ,存在 ,使 转化为求 的最小值大于等于 的最小值即可. 类似地这种问题还有存在 ,存在 ,使 ，则转化为求 的最大值大于等于 的最小值.解决这种问题一定要正确转化.三解答题(共 6 小题，17 题 10 分，18-22 题每题 12 分, 共 70.0 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. 已知数列
10、的前 n 项和为 ，且 求数列 的通项公式；若数列 的前 n 项和为 ，求 【答案】 【解析】试题分析：（1）由递推公式得到 ，得到 ，得证；（2）由第一问得到 ，错位相减求和即可。解析：当 时， ，解得 当 时， ，所以 ，即 ，所以数列 是以首项为 2，公比为 2 的等比数列，故 ，则 ，上面两式相减，可得，化简可得 点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和 的关系，求 表达式，一般是写出 做差得通项，但是这种方法需要检验 n=1 时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。18. 的内角 A、 B、 C 所对的
11、边分别为 ，且(1)求角 C；(2)求 的最大值【答案】 2解析：即 由余弦定理（2）由题意可得的最大值为 219. 如图，四边形 与 均为菱形， ，且 .（1）求证： 平面 ；（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.【答案】 （1）见解析 （2 ） .【解析】试题分析：（1）根据菱形性质得 ，设 与 相交于点 ，由等腰三角形性质得,再根据线面垂直判定定理得 平面 ；（2）先证明 平面 ，再建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解出平面法向量。利用向量数量积求出向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系确定直线 与平面 所成角的正弦值.试题解析：（1）设 与 相交于点 ，连接 ，四边形 为
12、菱形， ，且 为 中点， ， ,又 ， 平面 .（2）连接 ，四边形 为菱形，且 ， 为等边三角形， 为 中点， ，又 ， 平面 . 两两垂直，建立空间直角坐标系 ，如图所示，设 ，四边形 为菱形， ， . 为等边三角形， . ， .设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，得 . 设直线 与平面 所成角为，则 .20. 为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图） ，已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1：2：3 ，其中第 2 小组的频数为 15.（1）求该校报考飞行员的总人数；（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设 表示体重超过 65 公斤的学生人数，求 的分布列及数学期望.【答案】 （） （）见解析【解析】试题分析：根据前 3 组的频率之比设出前 3 组的频率，根据频率分布直方图中的数据计算后两组的频率，根据频率和为 1，计算出各组的频率，利用第 2 组的频数为 15，计算总人数； 表示体重超过 65公斤的学生人数，利用直方图求出体重超过 65 公斤的学生的频率，写出 X 的可取值，符合二项分布，根
