1、- 1 -山西大学附属中学20162017 学年高三第一学期 11 月（总第五次）模块诊断数学试题（理）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 2|0Ax， 2|10Bx，则 AB（ ）A.2,1) B. (1,) C. (, D. (2,1)(,2.已知复数 z满足 5izi，则 z（ ）A. 3i B. 3 C. 3i D. 3i3.若 |,|ba且 ()2ab，则 cos,ab（ ）A. 6 B. 1 C D 64. 如图为某几何体的三视图，则其体积为（ ）A. 243 B. 243 C. D.5
2、. 函数 1()sinl)xf的图象大致为（ ）6.已知身穿红，黄两种颜色衣服的各两人，身穿蓝衣服的有 1 人，现将五人排成一列，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法有（ ）A. 72 种 B. 78 种 C. 48 种 D. 84 种7.已知 ,xy满足2301y， 2zxy的最大值为 m，若正数 ,ab满足 m，则 14ab的最小网值为（ ）A. 9 B.32 C. 34 D. 528.抛物线 2yx与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为（ ）A . 2(1) B. 22(1)()4xyC. D. 5 9. 钱大姐常说“便宜没好货” ，她这句话的意思是：“不便宜”是“好
3、货”的（ ）A.必要条件 B. 充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件10.已知点 A、B、C、D 在同一个球的球面上， 2,ABC若四面体 ABCD中球心 O 恰好在侧棱 DA 上，DC= 23，则这个球的表面积为（ ） A. 254 B.4 C. 6 D. 8- 2 - ADOCPBE11.设等差数列 na的前 项和为 nS，且满足 170， 18S，则 1a， 2S， 15a中最大的项为（ ）A 7S B 8 C 9a D 1012.已知函数ln(1),0)2xf，若 mn，且 ()ffn，则 m的取值范围是（ ）A. 32l, B. 3l2, C. 1,2eD. 1,2)
4、e二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知函数 ()1xaf（ R）为奇函数，则 a .14.如图，若 4n时，则输出的结果为 .15.如图，在长方形 OABC内任取一点 (,)Pxy，则点 落在阴影部分内的概率为 .16在 中，角 ,的对边分别是 abc，若 aCbB2sini， ，则 ABC面积是_.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 12 分）已知数列 na的前 项和为 nS，且满足 )()1(42NaSnn 1a（）求 ；()设 nb，数列 nb的前 项和为 nT，求证： 47n
5、18.（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 PABCD的底面是直角梯形， /ABCD， A， B和 PAD是两个边长为2的正三角形， 4， O为 的中点， 为 的中点()求证： 平面 ；()求面 与面 所成角的大小- 3 -19.（本小题满分 12 分）某技术公司新开发了 ,AB两种新产品，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于 82 为正品，小于82 为次品，现随机抽取这两种产品各 100 件进行检测，检测结果统计如下：测试指标 70，76） 76，82） 82，88） 88，94） 94，100元件 A 8 12 40 32 8元件 B 7 18 40 29 6（）试分别估计产品 ，产品
6、为正品的概率；()生产一件产品 ，若是正品可盈利 80 元，次品则亏损 10 元；生产一件产品 B，若是正品可盈利100 元，次品则亏损 20 元，在（1）的前提下，记 X为生产 1 件产品 A和 1 件产品 所得的总利润，求随机 来源变量 X的分列和数学期望20.（本小题满分 12 分）已知点 (0,2)A,椭圆 :E21(0)xyab的离心率为 32， F是椭圆的右焦点，直线 AF的斜率为 3， O为坐标原点（I）求 E的方程；（II）设过点 的动直线 l与 相交于 ,PQ两点，当 O的面积最大时，求 l的方程21.（本小题满分 12 分）已知函数 xfln)(， 0,21)(abxg（）
7、若 2b，且 )(fh存在单调递减区间，求 a的取值范围；（）设函数 f的图象 1C与函数 图象 2C交于点 QP,，过线段 的中点作 x轴的垂线分别交1,C于点 NM,，证明 在点 处的切线与 在点 N处的切线不平行.请考生在 22、23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 12cos:inxtCy (t 为参数) ， 24cos:3inxCy ( 为参数)（）化 ， 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（）过曲线 的左顶点且倾斜角为 4的直线 l交曲线 1于 ,AB两点，求 - 4 -23.（
8、本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 32fxax（）若 2，解不等式 ()f；()若存在实数 ，使得不等式 12|ax成立，求实数 a的取值范围20162017 学年高三第一学期 11 月（总第五次）模块诊断数学试题理科参考答案：1-5 C B C D B 6-10 C B D A C 11-12 C A 2 94 e231 1 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 2|0Ax， 2|10Bx，则 AB（ ）A.2,1) B. (,) C. (,2 D. (2,1)(,【命题意图】
9、本题主要考查集合的交集运算以及一元二次不等式与一次不等式的解法，考查基本的运算能力，是容易题.【答案】C2.已知复数 z满足 (1)5izi，则 z（ ）A. 23i B. 23i C. 32i D. 32i【命题意图】本题主要考查复数的基本运算以及共轭复数等，考查基本的运算能力，是容易题.【答案】B【解析】 （方法一）由已知得 ()1461iiiz i，故 3zi.故选 B.（方法二）设 zabi(,)R，则 abi.故由已知方程可得 )5i，即 ()5i.所以 51，解得 23.所以 3zi.故选 B.3.若 |,3|ba且 ()ab，则 cos,ab（ ）A. 6 B. 1 C 3 D
10、63【命题意图】本题主要考查同角三角函数关系式，诱导公式，平面向量的坐标运算、向量的数量积的基本- 5 -运算等，考查基本的运算能力，是容易题.【答案】C4. 如图为某几何体的三视图，则其体积为（ ）A. 243 B. 243 C. 43 D. 43【命题意图】本题主要考查三视图的识别、组合体的结构特征及其体积的求解等，考查空间想象能力和逻辑推理能力以及基本的运算能力等，是中档题.【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是一个半圆柱（所在圆柱 1O）与四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面ABCD为圆柱的轴截面，顶点 P在半圆柱所在圆柱的底面圆上（如图所示） ，且 P在 AB上的射影为底面的圆心 O
11、.由三视图数据可得，半圆柱所在圆柱的底面半径 r，高 2h，来源:Zxxk.Com故其体积 2211Vrh；四棱锥的底面 为边长为 2 的正方形， O底面 ABCD，且 1Or.故其体积 22 433ABCDSP正 方 形 .故该几何体的体积 243V.- 6 -5. 函数 1()sinl)xf的图象大致为（ ）【命题意图】本题主要考查函数图象的识别以及根据函数解析式研究函数性质，考查基本的逻辑推理能力，是中档题.【答案】B理 6.已知身穿红，黄两种颜色衣服的各两人，身穿蓝衣服的有 1 人，现将五人排成一列，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法有A. 72 种 B. 78 种 C. 4
12、8 种 D. 84 种解： 482345AA 方法二：a,a,c 23 c,a,a, 23, a,c,a 24A7.已知 ,xy满足01y， 2zxy的最大值为 m，若正数 ,ab满足 m，则 1ab的最小来源:学科网值为（ ）A. 9 B.32 C. 34 D. 52【命题意图】本题主要考查简单的线性规划、直线方 程以及均值不等式求解最值等，考查基本的逻辑推理与计算能力等，是中档题.【答案】B【解析】如图画出不等式组所表示的平面区域（阴影部分）.- 7 -设 2zxy，显然 z的几何意义为直线 20xyz在 轴上的截距.由图可知，当直线过点 M时，直线在 轴上截距最大，即目标函数取得最大值.
13、由 30，解得 (3,0)；所以 z的最大值为 26，即 m.所以 6ab.故 1414()(5)6baab13(5)2.当且仅当 4，即 2=时等号成立. 8.抛物线 yx与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为 （ ）A . 2() B. 22(1)()4xyC. 21 D. 5 【命题意图】本题考查抛物线、二次方程和圆的方程，结合数形结合思想和方程思想考查圆的方程.【答案】D9. 钱大姐常说“便宜没好货” ，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）A.必要条件 B. 充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件答案 A解答: 便宜没好货 如果便宜，那么不是好货。逆
14、否命题是，如果是好货，那么不便宜10.已知点 A、B、C、D 在同一个球的球面上， 2,ABC若四面体 ABCD中球心 O 恰好在侧棱 DA 上，DC= 23，则这个球的表面积为（ ） A. 254 B.4 C. 16 D. 8【命题意图】本题考查与三角形外接圆、三角形中位线和球的表面积计算公式等知识，考查考生的空间想象能力、 运算求解能力和分析问题解决问题的能力.【答案】C【解析】由 2,BCA可知 ,2取 AC 中点 M，则 OM 为 DA 的中位线，又点 M 为 A外接圆圆心，球心 O 到面 ABC 的距离为 132dDA，球半径为2221(3)Rrd，故球表面积为 2416SR.11.
15、设等差数列 na的前 项和为 nS，且满足 10， 8，则 1Sa， 2， 15Sa中最大的项为（ - 8 -）A 7Sa B 8Sa C 9Sa D 10Sa【答案】C考点：等差数列的性质.12.已知函数ln(1),0)2xf，若 mn，且 ()ffn，则 m的取值范围是（ ）A. 3l, B. 32l, C. 1,2eD. 1,2)e【命题意图】本题主要考查分段函数与方程的解，导数与函数最值等，考查函数与方程、数形结合的数学思想以及基本的逻辑推理能力，是难题.【答案】A【解析】如图，作出函数 ()yfx的图象，不妨设 ()ffnt，由 ()fmfn可知函数 的图象与直线 yt有两个交点，而
16、 0x时，函数 单调递增，其图象与 轴交于点 0,1，所以 1t.又 ，所以 0m， n，由 ，得 l(1)，解得 e.由 ()ft，即 2t，解得 2t；由 n，即 l()n，解得 1；记 ()1(2)1t tgtnmete（ 0t） ， ()2tge.所以当 0l时， 0g，函数 ()g单调递减；当 l2时， )，函数 t单调递增.所以函数 ()t的最小值为 ln2(l)32ln；而 01ge， 1e.所以 ()2gt.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知函数 ()2xaf（ R）为奇函数，则 a .- 9 -【命题意图】本题主要考查函数的奇偶性以及不等
17、式的求解等，考查函数与方程的数学思想以及基本的运算能力等，是简单题. 【答案】 -2【解析】函数 ()fx的定义域为 R，又因为 ()fx为奇函数，所以 (0)f，即 012a，解得2a.14.如图，若 4n时，则输出的结果为 .【命题意图】本题主要考查循环结构程序框图的输出功能以及基本的计算能力与逻辑推理能力等，是中档题.【答案】 49【解析】方法一：开始， 1,0kS，故 0(21)()3S，因为 4，故进入循环.第二次计算， k， 112(2)(2)35；因为 4，故进入循环.第三次计算， 2135(3)()7S ；因为 3，故进入循环，第四次计算， 14k，7(4)()79S；因为 不
18、成立，所以输出 S，即输出 49.- 10 -故当 4n时，输出的结果为 44219S.理 15. 如图，在长方形 OABC内任取一点 (,)Pxy，则点 落在阴影部分内的概率为 . 【命题意图】本题主要考查定积分的应用以及几何概型的求解，考查基本的计算能力以及数形结合、转化与化归的数学思想等，是中等题.【答案】 312e【解析】由图知 (,)B在函数 ()xfa的图象上，所以 1()fae，即 ，所以 ()xfe.而 (0,)D， A，所以直线 AD的方程为 1yx.故阴影部分的面积 10xSed210|xe202(1)()ee3，而长方形 OBC的面积 S.故所求事件的概率为 132eSP
19、e.文 15.从圆 42yx内任取一点 P，则 到直线 yx的距离小于 的概率是_.答案： 4 16在 ABC中，角 ,的对边分别是 ,abc，若 aCbB2sini， ，则 ABC面积是_.- 11 -ADOCPBE解析：在 ABC中， aCb2sinic， 2sinisinCBA,当且仅当 BAsini时取等号, 1sin,又 s，故 1A, 则 面积是 1三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 12 分）已知数列 na的前 项和为 nS，且满足 )()(42NnaSn 1a（1 ）求 ；（2 ）设 nb，数列 nb的
20、前 项和为 nT，求证： 47n解(1); aS2)1(4, (1) 1-21-4aS）（ (2)(1)-(2),得, 212)(nnn a, 3， )(13n(2) 2b, 47)(432 T18.（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 PABCD的底面是直角梯形，/ABCD， ， 和 P是两个边长为 2的正三角形， ，O为 的中点， E为 的中点()求证： 平面 ；理()求面 与面 所成角的大小文()求直线 与平面 C所成角的正弦值（）证明：设 F为 D的中点，连接 BF，则 DAB AB， A， /，四边形 为正方形， O为 的中点， O为 ,的交点， 2P， P， 2B， ， 12B，在
21、三角形 A中， 224A， POA， OD， P平面 CD； 理() 设平面 的法向量为 ),(11zyxn， )2(-,1， (1,2)PD则， 01n即 0211yx，解得 0n，设平面 PBC的法向量为 ),(zn， 2PCB， (1,32)2-(1,B0232zyx， 可得， )1,(2，则 ,cos1n， 面 PAD与面 B所成角的大小 2 （12 分）AOCPBEF- 12 -文()方法一： PCDBPV, 4S, 32PDC, 2O, 3d，3sinBCd方法二：设平面 的法向量为 1(,)nxyz，直线 B与平面 PC所成角 ，则 0PnD，即 1120xyz，解得 12yxz
22、，令 1，则平面 PDC的一个法向量为 (2,01)n，又 (,0)CB,则 23sinco,B，直线 与平面 PC所成角的正弦值为 3.19.（理科） （本小题满分 12 分）某技术公司新开发了 ,A两种新产品，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于 82 为正品，小于 82 为次品，现随机抽取这两种产品各 100 件进行检测，检测结果统计如下：测试指标 70，76） 76，82） 82，88） 88，94） 94，100元件 A 8 12 40 32 8元件 B 7 18 40 29 6（1）试分别估计产品 ，产品 B为正品的概率；（2）生产一件产品 ，若是正品可盈利 80 元，次品则亏损
23、 10 元；生产一件产品 B，若是正品可盈利100元，次品则亏损 20 元，在（1）的前提下，记 X为生产 1 件产品 A和 1 件产品 所得的总利润，求随机 来源变量 X的分列和数学期望【答案】 （1） 45， 3；（2）分布列见解析， 32试题解析：（1）产品 A为正品的概率为 408415 产品 B为正品的概率约为 40296314（2）随机变量 的所有取值为 8,96， -，43805PX； 3420PX； 4165PX；120 所以，随机变量 的分布列为：180 90 60 -30P3531180960312250EX考点：1、离散型随机变量的期望与方差；2、列举法计算基本事件数及事
24、件发生的概率；3、离散型随机变量及其分布列20.（本小题满分 12 分）已知点 (0,2)A,椭圆 :E21(0)xyab的离心率为 32， F是椭圆的右焦点，直线 AF的斜- 13 -率为 23， O为坐标原点.（I）求 E的方程；（II）设过点 A的动直线 l与 E相交于 ,PQ两点，当 O的面积最大时，求 l的方程解析：（I）设 (,0)Fc，由条件知 23c，得 c，又 32ca，所以 2a， 21bc，故的方程为214xy（II）当 l轴时不合题意，故可设 :2lykx， 12(,)(,)Pyx，将 :2kx代入2中得 (14)60，当 216(43)0k时,即 234k,由韦达定理
25、得 1226,4kxk从而 21|()()PQxy211()4xx24k又点 O到直线 的距离为 2dk所以 的面积243|1OPQS法一：设 243kt，则 0， 24OPQtSt，因为 4t,当且仅当 2t，即7时等号成立，且满足 .所以当 的面积最大时， l的方程为 7yx或2yx法二：令 41km，则 22216(4)14()OPQSm当 8时， 即 8 ， 8k ， 7k时等号成立，且满足 0.所以 P的面积最大时， l的方程为 2yx或 2yx考点：椭圆的标准方程，点到直线的距离公式，弦长公式，二次分式类函数最值的求法 21.（本小题满分 12 分）已知函数 xfln)(， 0,2
26、1)(abxg（）若 2b，且 )(fh存在单调递减区间，求 a的取值范围；（）设函数 f的图象 1C与函数 图象 2C交于点 QP,，过线段 的中点作 x轴的垂线分别交1,C于点 NM,，证明 在点 处的切线与 在点 N处的切线不平行.解：（I） xax2ln)(时 ，则 .121)(xh因为函数 h(x)存在单调递减区间，所以 0 时，则 ax2+2x10 有 x0 的解.当 a0 时，y=ax 2+2x1 为开口向上的抛物线，ax 2+2x10 总有 x0 的解；- 14 -当 a0 总有 x0 的解；则=4+4 a0,且方程 ax2+2x1=0 至少有一正根.此时， 1a0.综上所述，
27、a 的取值范围为（1，0）（0，+）.方法二 分离参数， 12）（ ，a 的取值范围为（1，0）（0，+）.（II） 设点 P、Q 的坐标分别是（x 1, y1） ， （x 2, y2） ，0 x1x2.则点 M、N 的横坐标为 2C1 在点 M 处的切线斜率为 ,2|112xxkC2 在点 N 处的切线斜率为 .2)(|1221 babaxkx假设 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行，则 k1=k2.即 xax)(12，则 )2()2)()()( 11221 bxabxax（= .ln1212xy所以 .)(l121x设 ,12t则 .,)(lntt令 .,)(l)(t
28、tr则 .)()(4)(22 tttr因为 1时， 0r，所以 在 ,）上单调递增. 故 .0)1(rt则 tt)(2ln. 这与矛盾，假设不成立.故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行.请考生在 22、23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 12cos:inxtCy (t 为参数)， 24cos:3inxy ( 为参数)（）化 ， 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（）过曲线 的左顶点且倾斜角为 4的直线 l交曲线 1C于 ,AB两点，求 解：2221:()(1),:
29、.69xyxyC曲线 C为圆心是 ,，半径是 1 的圆曲线 2为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长轴长是 8，短轴长是 6 的椭圆4 分曲线 2的左顶点为 (4,0)， 则直线 l的参数方程为 )(24为 参 数ttyx将其代入曲线 1C整理可得： 0423tt，设 ,AB对应参数分别为 21,t，则 4,2311tt所以 -)(|t-| 112AB12|()4sss. 10 分方法二，直线方程为 yx，圆心到直线 yx的距离为 d|AB23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲- 15 -已知函数 32fxax（1）若 2，解不等式 ()f；（2）若存在实数 ，使得不等式 12|ax成立，求实数 a的取值范围【解析】不等式 ()f化为 3，则3x，或 23x，或 23x，3 分解得 74，所以不等式 ()fx的解集为 7|42x5 分（2）不等式 12a等价于 31axa，即 361xa，由绝对值三角不等式知 36|()(6)|8 分若存在实数 ，使得不等式 ()1|fx成立，则 |，解得 52，所以实数 a的取值范围是 5,210 分
