1、2017 届甘肃省兰州市西北师范大学附属中学高三校内第二次诊断考试数学（理）试题（解析版）一选择题 (本大题共 12 小题.每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1. 已知全集 ，则集合 等于( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由方程 ，解得 或 ，即 ， ，全集 ，故选 B.2. 复数 （ ）A. 1 B. 1+ C. D. 1-【答案】B【解析】由等比数列求和公式可得， ，故选 B.3. 近日，一种牛奶被查出含有致癌物质，国家质监局调查了这种牛奶的 100 个相关数据，绘制成如图所示的频率分布直方图，再对落在6,11)，21,26
2、两组内的数据按分层抽样方法抽取 8 个数据，然后从这 8个数据中抽取 2 个，则最后得到的 2 个数据分别来自两组的取法种数是( )A. 10 B. 13 C. 15 D. 18【答案】C【解析】落在 内的数据个数为 ，落在 内的数据个数为 ,按照分层抽样方法两组分别抽取的数据个数为 ,所以最后从这 个数据中抽取两个数据，这两个数据来自两组的取法种数为 ,故选 C.4. 已知直线 m,n 和平面 ,则 mn 的一个必要条件是( )A. ,n B. ,n C. ,n D. m,n 与平面 成等角【答案】D【解析】 可以都和平面垂直，必要性不成立； 可以都和平面平行，必要性不成立； 没理由一定要在
3、平面内，必要性不成立； ， 平行，则 与 成的角一定相等，但反之如果两直线 与 成的角相等则不一定平行，所以是必要非充分条件，故选 D.5. 如果 的展开式中各项系数之和为 128,则展开式中 的系数是( )A. 7 B. -7 C. 21 D. -21【答案】C【解析】令 x=1 得展开式的各项系数之和 2n，2n=128，解得 n=7.展开式的通项为令 ，解得 r=6.所以展开式中 的系数是 .本题选择 A 选项.6. 中国古代数学著作 算法统宗 中有这样一个问题:“ 三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。 ”其意思为：有一个人走
4、378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地，请问第 2 天走了（ ）A. 192 里 B. 96 里 C. 48 里 D. 24 里【答案】B【解析】由题意得等比数列 ， ,求 ，选 B.7. 一个算法的程序框图如右图所示，若该程序输出的结果是 ，则判断框内应填入的条件是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，判断框成立， ，判断框成立，判断框成立， ，判断框成立，判断框不成立；输出 ，判断框内应填入的条件是 ，故选 C.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)
5、不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数； (5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8. 已知 ，在平面直角坐标系 中，点 为平面区域 内任一点，则坐标原点与点 连线倾斜角小于 的概率为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】不等式组区域 表示的平面区域为 ，即为图中的抛物线 、 轴、直线 在第一象限内围成的区域， ，倾斜角小于 的区域为图中红色阴影部分， ， ，由几
6、何概率的计算公式可得 ，故选 D.9. 已知双曲线 的右焦点为 F,过 F 的直线交双曲线的渐近线于 A,B 两点,且与其中一条渐近线垂直,若 ,则该双曲线的离心率是( )A. B. 2 C. D. 【答案】D【解析】如图所示，设经过点 的直线方程为 ，由于双曲线渐近线方程为 ，则 ，分别将直线方程与渐近线方程联立得， ，则有 ，化简得到 ，则双曲线离心率 ，故选 D.【 方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况： 直接求出 ，从而求出; 构造 的齐次式，求出; 采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;
7、 根据圆锥曲线的统一定义求解本题中，根据根据, 找出 之间的关系，求出离心率10. 已知 的图象在 处的切线与圆 相切,则 的最大值是( )A. 4 B. C. 2 D. 【答案】D【解析】试题分析：由 ，则图象在 处的切线的斜率为 ，曲线的切线为，切线与圆 相切，圆心到直线距离 ，则 ，因为 ，有 ， ，则 的最大值是 ；考点：1.导数的几何意义；2.基本不等式；11. 已知正四面体纸盒的俯视图如下图所示,其中四边形 ABCD 是边长为 的正方形,若在该正四面体纸盒内放一个正方体,使正方体可以在纸盒内任意转动,则正方体棱长的最大值是( )A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A【解析】这个
8、正四面体的位置是 放在桌面上 ， 平行桌面，它的正视图是和几何体如图，则正视图 ，设正四面体内切球的半径为，要使在该正四面体纸盒内放一个正方体,使正方体可以在纸盒内任意转动, 正方体与正四面体的内切球内接时，棱长最大，设内切球半径为,根据体积相等可得， ，设正方体的最大棱长为 ，故选 A.12. 已知函数 又 若关于 的方程 有四个不同的实根，则实数的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】 当 时 ， 恒成立， 在 上单调递增，当 时，由 ，得 ，由 ，得 ， 在 上单调递增，在 上单调递减， 在 有一个最大值， ，要使方程有四个不同的实数根，令 ，则方程 应有两个不等的实
9、根且 ，令 ， 只需 ，即 ，得，即的取值范围是 ，故选 A.【方法点睛】已知函数零点(方程根 )的个数，求参数取值范围的三种常用的方法： (1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解一是转化为两个函数 的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为 的交点个数的图象的交点个数问题 .二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在题中的横线上。
10、)13. 若在正整数构成的无穷数列 中,对任意的正整数 n,都有 且对任意的正整数 k,该数列中恰有 2k-1 个 k,则 _.【答案】45【解析】 对任意的正整数 ，该数列中恰有 个 数列是 ，设 在第 组中， 由，解得 在第 组中， ，故答案为 .14. 已知实数 满足 则 的最小值为_.【答案】15. 给出下列四个命题：命题“ ”的否定是： “ ”；若，则 的最大值为 4；定义在 R 上的奇函数 满足 ，则 的值为0；已知随机变量服从正态分布 ，则 .其中真命题的序号是_.【答案】(1)（3）（4）【解析】命题“ ”的否定是：“ ”，故正确；由 ，得 且 ，解得 ，故 的最小值为 ，故错
11、误；由函数 为定义在的奇函数，故 ，又由 ，故 ，故正确；由随机变量服从正态分布 ，则 ，故正确，故答案为(1)（3）（4）.16. 已知向量 满足 且 与 的夹角的正切值为 ， 与 的夹角的正切值为 =2，则 =_.【答案】【解析】可设 ，由题意可得 ，则 ，即为 ，又 为锐角， ，可得 ，同理可得 ，由正弦定理可得 ，即有 ，则，故答案为 .【方法点睛】本题主要考查向量的夹角、两角和的正切公式、正弦定理及数学的转化与划归思想.属于难题. 数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等，转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中
12、学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题中，将向量问题转化为解三角形问题是解题的关键.三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)17. 已知 ，若 ，且 的图象相邻的对称轴间的距离不小于 .（1）求 的取值范围.（2）若当 取最大值时， ，且在 中， 分别是角 的对边，其面积 ，求周长的最小值.【答案】 （1）
13、（2）6【解析】试题分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出 的解析式，利用二倍角的正弦、余弦公式化简，再利用两角和与差的正弦公式化为一个角的正弦函数， 由 图象中相邻的对称轴间的距离不小于 ，得到周期的一半大于等于 ，即可求出 的范围； （2）当 取最大值 1 时，由，可得 ，由 ，可得 由余弦定理可得 结合基本不等式可得 周长的最小值.试题解析：（1）又由条件知 ，所以 . （2）当 取最大值 1 时， ，又 ，所以 ，故 . 在 中， ， 又由余弦定理有： 周长当且仅当 时取得等号.所以， 周长的最小值为 .18. PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的
14、颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值,即 PM2.5 日均在 35 微克/立方米以下空气质量为一级,在 35 微克/立方米 75 微克/立方米之间空气质量为二级,在 75 微克/立方米以上空气质量为超标.北方某市环保局从 2015 年全年每天的PM2.5 监测数据中随机抽取 15 天的数据作为样本,监测值如下图所示(十位为茎,个位为叶).(1)15 天的数据中任取 3 天的数据,记表示其中空气质量达到一级的天数,求的分布列;(2)以这 15 天的 PM2.5 日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按 360 天计算)中大约有多少天的空气质量达到一级.【
15、答案】(1)见解析 (2) 120 【解析】试题分析：（1）由题意知 的可能取值为 ，其分布列为，由此能求出的分布列；（2） 依题意知，一年中每天空气质量达到一级的概率为 ，一年中空气质量达到一级的天数 ，根据二项分布的期望公式可求出一年中空气质量达到一级的天数.试题解析：(1)依据条件,服从超几何分布,其中 N=15,n=3,这 15 天中空气质量达到一级的天数 M=5,的可能取值为 0,1,2,3.其分布列为: 即:0 1 2 3P(2)依题意,可知一年中每天空气质量达到一级的概率为 设一年中空气质量达到一级的天数为 则B(360, ),所以 E（ ）=360 =120 天。所以一年中大约有 120 天的空气质量达到一级。19. 已知某几何体直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.（1）求证： ； （2） ； （3）设 为 中点，在 边上找一点 ，使 /平面 并求 .【答案】 （1）见解析（2） （3）【解析】试题分析：（1）因为该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,
