1、一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1、若集合 ， 或 ，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为集合 ， 或 ，所以 21AB， ，应选答案 C 。2、在复平面内，复数 对应的点的坐标为A. B. C. D. 【答案】C3、已知向量 ，若 ，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为 (,1)(3,2)axb，且 /ab，所以 23x，即 2，应选答案 B。4、执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出的为A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题设中提供的算法流程图可知 7,3ad时， 07Sa，此时40,
2、734ada，所以 (4)1S；此时 4310,da，则1()2S，同时 1320d，这时输出 2，运算程序结束，应选答案 B。5、已知数列 是等比数列，则“ ”是“数列 为递增数列”的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当 12,aq时，虽然有 12a，但是数列 na不是递增数列，所以不充分；反之当数列 n是递增数列时，则必有 12，因此是必要条件，应选答案 B。点睛：解答本题时，充分借助题设条件，先运用充分条件的定义进行判断，借助反例说明其不是充分条件，进而确定其逆命题是真命题，从而说明是必要条件，进而说明是必要不
3、充分条件，选出正确答案。6、北京市 2016 年 12 个月的 PM2.5 平均浓度指数如右图所示.由图判断，四个季度中 PM2.5 的平均浓度指数方差最小的是A. 第一季度 B.第二季度 C.第三季度 D.第四季度【答案】B【解析】从题设中提供的图像及数据分析可以看出：第二季度的三个月中 PM2.5 的平均浓度指数较为平缓，差异不大较为整齐，因此其方差最小，应选答案 B。点睛：方差是统计学中的重要的数据特征数，求解本题的关键是看清楚图像中的数据的变化情况，从图中可以看出四个季度的数据的情况，结合图像中的数据变化的在第二季度的数据非常稳定，变化不是太大，因此可以推断其方差是最小的，从而使得问题
4、获解。7、函数 的图象如图所示，则 的解析式可以为A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为 21()fxx，故当 0时， 21()fxx的符号不确定，因此不单调，即答案A 不正确；对于答案 B，因2()3f，故函数 是递减函数，但函数有两个零点，则答案 B 不正确；对于答案 D，因 0x时，无零点，故答案不正确；而 21()0xfxe，故函数在 0x时，是单调递减函数，当 时，函数也单调递减函数，应选答案 C。点睛：解答本题的关键是搞清楚函数的图像的变化情况与题设的要求，将每一个函数解析式的导数求出，再运用比较对比的方法将函数的解析式选出，从而使得问题获解。8、一位手机用户前四次输入四位
5、数字手机密码均不正确，第五次输入密码正确，手机解锁.事后发现前四次输入的密码中，每次都有两个数字正确，但它们各自的位置均不正确.已知前四次输入密码分别为3406，1630，7364，6173，则正确的密码中一定含有数字A. 4，6 B. 3，6 C. 3，7 D. 1，7【答案】D【解析】首先考虑题目要求：位置不对，那么：第一位只能是 0、2、4、5、8、9，第二位只能是0、2、5、7、8、9，第三位只能是 1、2、4、5、8、9，第四位只能是 1、2、4、5、8、9。那么四位数可选的数字排除后是 0、1、2、4、5、6、7、8、9.其次考虑题目中有两位数字正确，那么：（1）可选的数字中 2、
6、5、8、9 即可排除，四位可选数字为 0、1、4、6、7，第一位可选 0、4、7，第二位可选 4、6、7，第三位可选 1、4，第四位可选 1、4。（2）根据出现频次，可排除 0、6。即四位可选数字为 1、4、7、8，第一位可选 7、8，第二位可选4、7，第三位可选 1，第四位可选 8。故密码中一定含有数字 1、7，应选答案 D.点睛：本题的求解过程即是推理的过程，求解时先依据题设条件将符合题设的数字一一列举出来，然后再进行分析筛选，确定出可选的数字和可能出现的数字，最后确定一定出现出数字从而使得问题获解。二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。9、双曲线 的实轴长为_.【答案】2
7、【解析】因 1a，故双曲线的实轴长为 2a，应填答案 2。10、在 这三个数中最大的数是_.【答案】【解析】因3221cos,2,log3l18，故最大的数是 2log3，应填答案 2log3。11、在 中， ，则其最大内角的余弦值为_.【答案】【解析】因 432，故内角 C最大，则22341cos，应填答案14。12、设为不等式 表示的平面区域，直线 与区域有公共点，则的取值范围是_.【答案】 或者 【解析】由题设 (1,0)C到直线 的距离|1|2bd，解之得 31b，应填答案3,1。13、已知为原点，点为直线 上的任意一点. 非零向量 .若 恒为定值，则_.【答案】2点睛：解答本题的关键
8、是如何建立等量关系求出其比值。求解时充分借助题设条件，先将点 (,2)Px的向量求出为 (,2),(,)OPxamn，然后借助向量的数量积公式将其表示为()0mnk，进而建立方程组0k求得2，使得问题获解。14、如图，在棱长为 1 的正方体 中，点是线段 上的动点.当 在平面上的正投影都为三角形时，将它们的面积分别记为 .(i) 当 时， _ （填“”或“=”或“”）；(ii) 的最大值为_.【答案】 (1). = (2). 【解析】QNPB1D1 C1OBDCRMPB1C1OBC如图，因 1CQND， 1POBD，故 PQNh，同理可得 RMPOh，所以 RQN，则 12S，特别地当点 运动
9、到 1的端点 1时，三个面的面积之和最大且 1231S，所以3，即最大值是32，应填答案，32。点睛：解答本题的关键是搞清楚在正方体的各个面上的高的关系，再运用三角形的面积进行求解，进而进行比较，并求出其最大值。求解时借助三角形的相似比相等建立等量关系，最后证得其在各个侧面上的射影三角形的高相等，则面积相等，特别地当点 P在 1BD的中点时，三个三角形的面积都相等且最大，从而使得问题获解。三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15.已知函数 .（）求函数 的最小正周期和对称轴的方程；（）求函数 在区间 上的最大值.【答案】（）见解析;（）.【解析】【试题
10、分析】（1）借助题设条件运用两角差的正弦公式进行化简，再依据正弦函数的图像性质求解；（2）先确定函数在定义域内的函数的图像与性质，再运用正弦函数的图像性质分析求解：（） ，所以 的最小正周期 . 因为 的对称轴方程为 ，令 ，得的对称轴方程为 . 或者： 和 ，即 和（）因为 ，所以 ，所以 ，所以，当 ，即 时，在区间 上的最大值为.16、已知 是各项为正数的等差数列， 为其前项和，且 .（）求 的值及 的通项公式；（）求数列 的最小值.【答案】（） ;（） .【解析】【试题分析】（）借助题设条件运用等差数列的通项公式及前项和公式建立方程组求解；（）先确定目标函数解析式，再运用二次函数的图像
11、与性质分析求解：（）因为 ，所以，当 时， ，解得 ，所以，当 时， ，解得 或 ，因为 是各项为正数的等差数列，所以 ，所以 的公差 ，所以 的通项公式 .（）因为 ，所以 ，所以所以，当 或 时， 取得最小值17、为了响应教育部颁布的关于推进中小学生研学旅行的意见,某校计划开设八门研学旅行课程,并对全校学生的选课意向进行调查(调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程).本次调查结果如下.图中,课程 为人文类课程，课程 为自然科学类课程.为进一步研究学生选课意向，结合上面图表，采取分层抽样方法从全校抽取 1%的学生作为研究样本组(以下简称“组 M”).()在“组 M”中，选
12、择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？()某地举办自然科学营活动，学校要求：参加活动的学生只能是“组 M”中选择 F 课程或 G 课程的同学，并且这些同学以自愿报名缴费的方式参加活动. 选择 F 课程的学生中有人参加科学营活动，每人需缴纳2000 元，选择 G 课程的学生中有人参加该活动，每人需缴纳 1000 元.记选择 F 课程和 G 课程的学生自愿报名人数的情况为 ，参加活动的学生缴纳费用总和为 S 元.()当 S=4000 时，写出 的所有可能取值；()若选择 G 课程的同学都参加科学营活动，求 S4500 元的概率.【答案】() 12,8; ()() ;().【解析】()设事件
13、若选择 G 课程的同学都参加科学营活动，缴纳费用总和 S 超过 4500 元.在“组 M”中，选择 F 课程和 G 课程的人数分别为 3 人和 2 人.由于选择 G 课程的两名同学都参加，下面考虑选择 F 课程的 3 位同学参加活动的情况.设每名同学报名参加活动用 a 表示，不参加活动用 b 表示，则 3 名同学报名参加活动的情况共有以下 8 种情况：aaa， aab， aba， baa， bba， bab， abb， bbb.当缴纳费用总和 S 超过 4500 元时，选择 F 课程的同学至少要有 2 名同学参加，有如下 4 种：aaa， aab， aba， baa.所以， .18、如图，在四
14、棱锥 中, 底面 为菱形， 平面 ，点在棱 上.（）求证：直线 平面 ；（）若 平面 ，求证： ；（）是否存在点 ，使得四面体 的体积等于四面体 的体积的？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（）见解析;（）.【解析】【试题分析】（）借助题设条件运用线面垂直的判定定理推证；（）借助线面平行的性质定理进行推证；（）先假设存在，再借助线面的位置关系进行分析推证：（）因为 平面 ，所以 ,因为底面 是菱形，所以 ，因为 ，所以 平面 .（）设 与 交点为，连接 ，因为平面 平面 ， 平面 ，所以 ，又由 是菱形可知为 中点，所以，在 中， ，所以 .（）在 中过点作 ，交 于点，因为 平面 ，所以 平面 .由 是菱形可知 ，假设存在点满足 ，即 ，则，所以在 中， ，所以 .19、已知函数 .（）求函数 的单调区间；（）当 时, 求函数 在区间 上的最大值.【答案】（）单调增区间为 ，单调减区间为 ;（）见解析.【解析】【试题分析】（）借助题设条件导数与函数的单调性之间的关系求解；（）先确定函数的极大值，再运用分类整合思想分析求解：（）由 得 ，令 ，得 ，的情况如下表：+ 0 0 +极大 极小所以函数 的单调区间为 ，单调减区间为 .（）由 可得 .
