1、1 认识无理数1无理数(1)无理数的概念无限不循环小数叫做无理数学习无理数应把握住无理数的三个特征：无理数是小数；无理数是无限小数；无理数是不循环小数判断一个数是否是无理数对照这三个特征一个也不能少(2)有理数与无理数的区别事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数来表示；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数如 3 可看做 3.0 这样的有限小数，也可以化为 这样的分数形31式；无限循环小 数都可以化为分数，如： 3.14 可化为 3 .750有理数与无理数的主要区别：无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数；任何一个有 理数都可以化为分数的形式，而无理数不能【例 1
2、】 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3141 592 6， ，2. ，6.751 755 175 551 7(相邻 7,1 之间 5 的个数逐次加 1),43 5 8 0， ，5.2 ， .227 3 2分析：有理数指有限小数或无限循环小数，整数和分数都是有理数，无理数指无限不循环小数解：有理数有：3.141 592 6 ， ，2. ，0， ，5.2 ；43 5 8 227 3 无理数有：6.751 755 175 551 7(相邻 7,1 之间 5 的个数逐次加 1)， .22无理数近似值的估算方法要估算无理数的近似值，第一步应确定被估算无理数的整数取值范围；第二步以较小整数逐步开始
3、加 0.1(或以较大整数逐步开始减 0.1)，并求其平方，确定被估算数的十分位；如此继续下去，可以求出无理数的近似值【例 2】 面积为 7 的正方形的边长为 x，请你回答下列问题(1)x 的整数部分是多少？(2)把 x 的值精确到十分位是多少？精确到百分位呢？(3)x 是有理数吗？请 简要说明理由 解：令正方形的面积为 S，则 Sx 27，当 2x3 时， 4x 29，当 2.6x2.7 时，6.76x 27.29 ；当 2.64x2.65 时，6.969 6x 27.022 5；当 2.645x2.646 时，6.996 025x 27.00 1 316；则有：(1)x 的整数部分为 2.(
4、2)精确到十分位时， x2.6，精确到百分位时，x 2.65.(3)x 不是有理数因为没有一个整数的平方等于 7，也没有一个分数的平方等于 7，另由 计算可知，x 是无限不循 环小数释疑点 如何四舍五入利用四舍五入法取近似值时要比精确到的位数多考查一位3无理数的常见类型判断一个数是不是无理数，关键就是看它能不能写成无限不循环的小数，无理数常见的形式主要有三种：(1)一般的无限不循环小数， 如 1.414 213 56是无理数看似循环而实质不循环的小数，如 0.101 001 000 1(相邻两个 1 之间 0 的个数逐次增加 1)是无理数(2)圆周率 以及含 的数，如 ，2 ，5，都是 无理数
5、(3 )开方开不尽的数 (下一节学到)【例 3】 下列各数，哪些是有理数？哪些是无理数？0， ，4,0. ， ，1.112 111 211(相邻两个 2 之间 1 的个数逐次加 1)，3.141 592 2 12 1177.分析：1.112 111 211(相邻 两个 2 之间 1 的个数逐次加 1)为无限不循环小数， 为含 2的数， 两者都为无理数.0， 4 为整数，是有理数； 0. ， ，3.141 592 7 为分数或可化为分12 34数，是有理数解：有理数为 0，4,0. ， ，3.141 592 7；无理数为 ，1.112 111 211(相邻两个 212 117 2之间 1 的个数
6、逐次加 1)辨误区 与 3.141 592 7 的区别3141 592 7 属于有限小数，不是 ，要注意区分4无理数的应用无理数的估算用的是“夹逼法” ，要注意掌握其应用特征估算无理数的近似值，应先确定被估算无理数的整数取值范围；再以较小整数逐步开始加 0.1(或以较大整数开始逐步减 0.1)，并求其平方确定被估算数的十分位；如此继续下去，可以求估算无理数的近似值注：误差小于 0.1 与精确到 0.1 是不同的两个概念在 处理有关 问题时要看清要求，再着手处理 【例 4】 如图所示，要从离地面 5 m 的电线杆上的 B 处向地面 C 处拉一条钢丝绳来固定电线杆，要固定点 C 到 A 处的距离为 3 m，求钢丝绳 BC 的长度( 精确到十分位)分析：这是现实生活中的一个常见问题，解决 这个问题首先要用到勾股定理，再利用“夹逼法”估算 BC 的长解：由勾股定理，得 BC2AB 2A C234.当 5BC6 时，25BC 236；当 5.8BC5.9 时，33.64 BC234.81；当 5.83BC5.84 时，33.988 9 BC234.105 6；故当精确到十分位时，BC 约为 5.8 m.
