1、1无 理 数教 案北京市义务教育课程改革实验教材数学第 15 册 北京教育出版社【教学目标】：知识与技能：1. 了解无理数的概念和它的本质特征-无限不循环的小数； 2. 会用整数估计无理数的大小； 3. 知道无理数可以用数轴上的点表示；过程与方法：1.学生亲身经历无理数的发现过程，体会无理数引入的必要性,在一系列的探究活动中，让学生体验数系扩展的过程，提高学生的数学素养，形成科学的思维方式；2.培养学生的数感和估算能力；情感与态度：在学生的讨论和问题解决的探索中，创造一个合作交流的学习氛围，让学生体验探索的乐趣。【教学重点】：了解无理数的概念和它的本质特征-无限不循环的小数；【教学难点】：无限
2、不循环的小数与无限循环小数的区别【教学方法与手段的选择】在探索无理数概念过程中，我以引导为主，辅之以直观演示法，在教学手段方面，我选择了以无理数的历史故事为主线，多媒体课件辅助教学的方式，直观、形象地再现了无理数的发现过程。【教学环节】一、探究生活中是否存在无理数； 二、探究 是什么数； 2三、探究 用小数表示时位数的无限性； 四、探究是否存在其它的无理数；五、探究数轴上与无理数对应点的存在性。【教学过程】教学环节 教师活动 预计学生活动 设计意图一、 （一） 、探究生活中是否存在无理数 学生听老师讲 结合数学史上2创设情景复习引入1、以希帕图斯发现无理数的历史故事为主线：教师：早在两千年前的
3、毕达格拉斯学派，有一个年轻的门徒叫希帕图斯，他发现如果 ，2x那么 的值既不是整数也不是分数。而毕达格x拉斯学派是一种有宗教信仰的保守派，希帕图斯的行为颠覆了他们对数的认识，竟然秘密杀害了希帕图斯，后人为了纪念希帕图斯为真理献身的精神，将他发现的数命名为无理数。我们是不是应该详细了解一下无理数的知识，并好好珍惜今天的学习时光呢？2、教师：让我们假想时光倒流了两千年，来看看希帕图斯是如何发现无理数的。一个边长为 2cm 的正方形纸片，按照如图所示的方式折纸。问题：阴影部分的正方形的面积是多少？边长是多少？教师小结：阴影正方形的边长恰好是边长为1cm 的正方形的对角线，所以边长为 1 个单位长度的
4、正方形的对角线长为 。 2故事，并了解今天的学习内容。学生 1：阴影部分的正方形面积是 2，应为它是大正方形面积的一半。学生 2：根据前面学的算术平方根的知识可知：边长为 2关于无理数的故事，激发学生的兴趣。引出研究的问题，点明课题。引导学生了解 的几何2意义。二、探索新知（二）探究 是什么数过程： 21、教师：那么到底 这个数有什么神奇的地方哪？我们来探究一下： 教师利用电脑计算器演示，计算器显示 1.414213562. 2学生看教师演示并思考。 借助计算器引导学生思考 的近似2值是如何求150.exe5教师提问：这是个近似值哪还是准确值哪？2、教师：如果大家认为无法回答，那我们先把 1.
5、414213562 记在黑板上，再用计算器算算这个数的平方得多少？教师算出： 1.9999999999 241356.教师提问：计算器怎么没算出得 2 呢？3、教师：那希帕图斯在没有计算器的情况下如何算出近似值的呢？你们想知道吗？介绍估数法： 42,)(,12 是一个比 1 大但比 2 小的数。只要算出2在 1 和 2 之间哪个小数平方后最接近 2，那就是 的近似值了。1 和 2 之间的小数 平方后结果14 196141 198811414 199939614142 199996164141421 1999989924教师给学生演示计算过程，让学生理解估数的意义，并用螺旋图展示 的近似值：2学
6、生 3：我觉得1.4142135622不是 的全部2数据，因为计算器位数有限，只能显示 11 位。学生跟着老师心算。学生被这个螺旋图深深震撼出来的。采用试数逐渐逼近的方法，让学生体会 无限2不循环的特点。624、教师推理： 因为 1.414213562221.9999999992，可设 =1.4142135622+r，0r1, 2两边平方，得21.4142135622 2+21.414213562rr 2，21.4142135622 2+21.414213562r将 r 看成未知数，求出 r=3.73095 10所以 =1.41421356223730955、想一想：以 为代表的无理数是什么数
7、呢？2引出无理数定义：无限不循环小数叫做无理数.解读无理数概念揭示的特点： 首先是小数； 其次是无限小数； 最后是不循环的无限小数。教师分层次解释无理数的特点，对学生理解很有好处。了，对无理数产生极大兴趣。推理过程随学生的理解能力讲解,若学生程度差也可以不讲,以免分散精力.在学生目前的知识储备下，难以用精确的、逻辑的方法求得的，所以教师不要把重点放在这儿。分层记忆概念，可降低难点，达到突出重点的目的。7三、区分概念（三）探究是否存在其它的无理数教师提出问题：你能结合自己所学知识再举出一些无理数的例子吗？教师：大家说得很好，其实无理数大致分为三种类型： 类型一：与 有关的数；比如：， ，+121
8、类型二：带根号且开方开不尽的数； 比如：， ,3,类型三：人造的数。比如：0.1010010001（每隔两个 1 多一个0）注意： 是分数形式但不是分数。2（四） 、探究数轴上无理数对应点的存在性。1、画出无理数：有理数可以用数轴上的点表示，无理数也可以用数轴上的点表示吗？教师：你能在数轴上找到表示 的点吗？ 2教师演示画图：利用边长为 1 的正方形的对角线的长画出 。210教师：如果把数轴想象成一支铅笔，那么在只学生 4：小学讲过圆周率，它是个无限不循环小数。通过教师的比喻，学生对有分类便于记忆。比如类型一的反例是：误认为 是分数；2类型二的反例是：误认为 是无理4数用数轴体会具有与 类2似
9、性质或特点的数有无数个，培养学生数形结合的思想。8会画有理数时，这支铅笔是坑坑洼洼又漏洞的粗糙状态，而加入无理数后，这支铅笔才光滑完整。2、对比无理数和有理数的不同：问题 1：我们小学学过的数，比如： 71,356它们的小数部分有什么特点？注意: 看起来除不尽，但到了小数点后第六7位又开始出现循环了。在学生计算的基础上教师下结论： 有理数都可以用有限小数或无限循环小数表示.问题 2：那什么样的小数可以化成分数？比如：0.25，6.0学生不会将 化为分数教师： 1.移项：6.06合并： )(.化系数为 1： 329教师提问：为什么 以扩大 10 倍的方式化为6.0分数呢？在学生不会的前提下，教师
10、可以点拨：因为有 1 位循环节，所以扩大 10 倍，同理如果6.0有 2 位循环节，就应扩大 100 倍，而无限不循环小数无法扩大相应的倍数，无法转化为分数。理数、无理数与数轴的关系有了一定的了解。学生 5： 742851.03.6.0学生 6:4125.0让学生了解有限小数(循环节为 0)和无限循环小数与分数的联系，体会转化的数学思想。69教师引导学生得出结论： 有限小数或无限循环小数都可以化成分数;有理数只能和有限小数或无限循环小数等同.综合而言：我们学过的数就可分为两类，即无限循环小数和无限不循环小数。有限小数(循环节为 0)和无限循环小数可视为无限循环小数3、教师:从我们这一系列的探究
11、活动中，大家能否体会到当年希帕图斯追求真知的不易，我们现在学到的许多知识都凝聚着先辈的辛勤工作，今后可得看我们的了。学生可从中体会到数系的扩充，增强自豪感。首尾呼应，激发学生的学习动力。四、课堂落实例 1.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？，3.14， ，1.732，0.03，18， ， 313， ，0.484848 ， 3862520.3131131113（两个 3 之间依次多一个 1）注意小结：易错点是 ，教师要强调分数还1是有理数。可顺便复习一下分数和整数统称有理数的概念。例 2 .判断正误，在后面的括号里对的用 “” ，错的记“”表示，并举例说明理由：(1)无理数都是开方开不尽的
12、数( )(2)无理数都是无限小数( ) (3)无限小数都是无理数( ) 学生回答学生 7：，反例：，反例：让学生能结合概念解决简单的问题，会辨析概念。7(4)不带根号的数都是有理数( ) (5)带根号的数都是无理数( ) (6)有理数都是有限小数 ( )注意：无限小数包括无限循环小数如 和无13限不循环小数如 。 136.0，反例：，反例： 4，反例： 6.0六、课堂小结归纳总结： 通过本节课的学习，你有哪些收获和体会？ 1. 无理数的本质特征是无限不循环；2探索 的过程；3. 数形结合的思想.回想一节课的重点，培养学生复习的习惯。七、课后作业作 业： P48/练习 1、2、3.【板书设计】无
13、理数定义： 类型：多媒体辅助反思:专家意见无理数这节课是一节概念课，一般的概念课教学总让学生感到有些枯燥，但概念又揭示了知识的本质，是十分重要的。为了避免这个问题，新教材在处理方式上更侧重于探索 的过程，并关注学生的学习过程。在课堂上，我结合数学史上关于无理数的故事，2自然合理的提出问题：如何求出 中的 ？这是一个学生很困惑、很感兴趣且极)0(2x具挑战性的问题。解决问题时：我结合计算器演示、无限逼近法以及逻辑推理法，让学生充7分体会到无理数的本质特点；另外我从有限小数(循环节为 0)和无限循环小数可视为无限循环小数，称为有理数，把无限不循环小数称为无理数的角度，将我们学过的数可分为两类，即无限循环小数和无限不循环小数。这样的设计从大处着眼(数集的扩充)，小处着手(无限不循环小数的存在)，突出的是思维主线，强调的是知识产生与发展的必然，展示的是数学思性思维的强大力量，既自然合谐，又层层递进，即使有些问题学生需要在老师的帮助下解决，但它己远远超出了知识教学的范畴，蕴涵着极其丰富的研究探索问题的策略，是很好的理性创新和探索的典范。本节课的整个教学设计尽力贴近学生的认知水平，以历史故事为主线让学生体会到探究精神对学习重要性，在获得新知的基础上也获得成功的喜悦，力求达到激发兴趣与落实基础双赢的目的。
