1、/6.2定积分的基本性质教学目的：理解定积分的性质，了解性质的证明；能熟练正确运用性质进行相关判断、计算和证明.重点：能熟练正确运用性质进行计算和证明.难点：性质的灵活运用.教学方法：以讲为主，讲练结合教学过程：一、定积分的性质 假设以下各函数都是所讨论区间上的可积函数，且 .ab(1-4 对 也成立)，则ab【性质 1】 , ( 为常数). ()bakfxdfxdk常数因子可以提到积分符号外.证明： |01)limnb iia . |01li()nbiiakfxkfdx【性质 2】 . )()b ba aggdx 即代数和的积分等于积分的代数和.证明： |01(li()nb iiiafxdf
2、|0|1lim)nii iiigx. (bbaafxd注:1-2 可合并为. )()b bba aagfxdgxd（其中 为常数）.,【性质 3】（定积分的可加性）即若积分区间 被点,分割成两个小区间 、 ，则c,c,b/.其中不论 在 ()()()bcbaacfxdfxdfxc外，还是在 内都不影响结论.,证明：(1)先假设 .设 与 是 与的 分12,a,b割,那么 与 联合起来构成了 的分割 .12,b于是 |01()lim()nb iiafxdfx1 22|0|linii iii i ()()cbacfxdfx(2) 若 ,有 cbaabd于是 ()()()ccfxdfxf. ac(3
3、) 若 ,同(2)可证.cb由此可知如图由定积分的几何意义知： 132()bafxdS.()()cdbcdfxfx【性质 4】若被积函数 ，则. 1badxba证明： |0|011lim()linnii ifxx.|0li()/【性质 5】若 ,则 .()0,fxab ()0bafxd注：若 在 连续、非负且不恒为零,则 . ()bafd证明：因 ,而 ,i于是 ,1()0niiifx所以 . |01lm()0nb iiaidfx【推论】(1) 若 ,(),fxgb则 . ()baagd证明：因 ,于是()0,Ffxb， ()()0bbaaagdFx所以 . ()fgd注:若 , 上连续且,x
4、(),fb使与 不恒等,则 成立.()fg ()baaxgdx(2) . （ ）(估值不等式) |()|badfd证明：因 ,于是|(),fxb, ()|()|bbaaafxfdx所以 . ()|fd【性质 6】设 与 为 在Mm()f上的最大值与最小值,则b. ()()bafxba/证明：因 ,所以(),mfxMab () ()bbadfxd. ()ba性质 6 的几何意义：由连续曲线 ， 轴与两条直线()yf、 所围成的曲边梯形面积介于以区间 为底，x ,ab分别以 、 为高的矩形面积之间.m【性质 7】（积分中值定理）(1)定理：设 ,则()fxCab, .abst ()fd证明：因 ,
5、 在 上存在最大值 与()f,M最小值 ,使得 m ()baxdba即 1()bafM由连续函数介值定理知：, .st ()()baffxd即 . baxd(2)几何意义在区间 上至少存在一个点 ,使得以区间 为底,ab边，以曲线 为曲顶的曲边梯形的面积等于同一底边()yf而高为 的一个矩形的面积.(3)函数的平均值设 ,那么 ,称为函数()fxCab 1()bayfxd在区间 上的平均值.y例如, 速度为 的物体在时间间隔 上的平均速()vt12,TxO)(xfy)(f/度为. 212()Tvvtd二、性质应用例 1 比较积分值的大小.（1） 和20x130x解： 因 , , .()1123
6、00dx（2） 和10xed210x解： 因 , , .()21100xxe（3） 和2020sin解： 因 ， .,(,)x2200sinxdx(4) 和1led21le解： 因 ， .n(),(,)e11200l(l)d(5) 与0xed0x解 令 ,则 ,()(1)f()()xf所以 在 上单调递增,所以 .1,e又 ,xe所以 .dd1100()x(6) 与 ln解 令 ,则()()fx,10(1)x所以 在 上单调递增,. ,则()f,0/,()0fx即 .又在 上 ,ln1)1ln()x所以.dd00l（2011.3.4.）设 440si,lcot,IxJx，则 的大小关系是（ B
7、 ）40lncosKx,K();();();()AIJBICIDKJI提示： 时，,0sinco1txxlsilcoltx例 2 估计积分值.（1） 30sind解： 1(),fx0,x3sin1,x34si0001,nddx31.si（2） 14解：设 上单调递增， ()(),12fxf,使162/所以由性质 6 知 1421()()2xd故 .1423xd（3） 1()解:设 则在 上),f1,3，2(4x所以 13()()2fxf所以由性质 6 知31(31)4dx故 .321()xd(4) 20e解 因为 ,21()4所以 (其中 ),214x0x所以 .从而,22eed1402,x故
8、 .21024,0,2xex例 3 设 在 上连续且 ,试证:在()f,ab()bafd/上至少存在一点 ,使,abc()0f证明:因为 在 上连续,由积分中值定理至少存在一()fxab点 ,又 且,()cdfa使 ()0bfxd，所以 ab()0fc练习 (91.1. )设 在 上连续且 在 内可7x,1()f,1导,且 ,试证:在 内至少存在一点 ,123d0,使 .()0f证明:因为 ,所以 在 上连续,由积分,()fx213中值定理知至少存在一点 ,使0,即 ，1203()()13fxdf203()()ffxd12又 ,所以 .123()()ff0()f从而 在 上满足罗尔中值定理条件
9、,所以存在x0使 .又 ,故在 内至少0(,)(f0(,)(1(,)存在一点 ,使 .)例 4 (94.3. )设 在 上连续且递减, .901试证: .100(fxdfxd证明: 因为 ,所以 .,由积分中值定理知 存在 当 时有12120()(),()(ffff1 120 )(xdxdf/又 在 上递减,()fx01所以 当 时 . 212()f从而 100()()()0fdfxdf 故 10()fx练习 (05.8) 设 在 上的导数连续,且(),fg.证明:对任何 ,有1a.dd00()()()1agxffxfag证 对任何 ,由条件知)()()(100 fgffa ddagxx1()
10、()1affag0()afd10()()()agffx1d)(=agxf 11 )()()(daa xgffx,)(f因 ,那么在 内, ,有0,)(gf )(0)(fx,d)(1agfx所以 .)1()(d100 gaff/例 5 (96.3.)设 在 上可微且 ,()fx0,1120()(1)xfdf试证:在 内至少存在一点 ,使 .(0,1证明:设 由积分中值定理知 )(Ff至少 使 ,211200)()()xdFx所以 .()f因为 在 上可微，所以 在在 上,1()f0,1可微.从而 在 上满足罗尔中值定理条件,所以存在F使 .(,)()0,(),f使所以 0故 在 内至少存在一点
11、,使 ，即,1F.()()f提问 (99.3. )函数 上的平均值为32,1xy3使(12解:323sin21 6si1xtydtd.363()si2|2t练习(96.5) 设 在区间 上可微,且满足条件()fx01,d2()fx试证:存在 ,使 .()例 6(02.6) 设函数 在 上连续,且 ,fgab()0gx/利用闭区间上连续函数性质,证明存在一点 ,使ab.dd()()bbaafxgfgx证 因为函数 在 上连续,则 在,()f上可积，设 有最大值 和最小值 ,因 ,则, Mm0有 ,于是()()()mgf.ddd()bbbaaaxfgxgx又因 ,有 ,从而()0()0,d()bafgx由介值定理知,存在 ,满足 ,即 .()bd()()bafxgf dd()()bbaafxgfgx小结:1.熟记七条性质及其推论,注意各性质的适用条件；以及常用于解决问题的类型.2在证明问题时常将微分中值定理与积分中值定理结合在一起运用.3积分中值定理常用来计算经济问题在某一范围的均值.课后记：不能灵活正确地运用性质；证明问题不知从何下手.
