1、2015-2016 学年北京首都师大附中育新学校高三（上）10 月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.1已知全集 U=1，2，3，4，5，6，集合 A=1，3，5，B= 1，2，则 A（ UB） （ ）A B5 C3 D3，52 “ 为第二象限角” 是“ 为锐角”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3已知平面向量 ， 满足 =1， =2，且（ + ） ，则 与 的夹角为（ ）A B C D4函数 f（x）=e x+4x3 的零点所在的大致区间是（ ）A （ ，0） B （0， ） C （ ， ） D （
2、， ）5把函数 的图象上所有点向右平移 个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的一半，所得图象的表达式是（ ）A B C D6在ABC 中，M 是 BC 的中点，AM=3，点 P 在 AM 上，且满足 ，则 的值为（ ）A4 B2 C2 D47已知函数 f（x）= ，若|f（x）|ax，则 a 的取值范围是（ ）A （，0 B （ ，1 C 2，1 D2，08如图，|OA|=2（单位：m） ，OB=1（单位：m） ，OA 与 OB 的夹角为 ，以 A 为圆心，AB 为半径作圆弧 与线段 OA 延长线交与点 C甲、乙两质点同时从点 O 出发，甲先以速度 1（单位：m/s）沿线段OB 行至点 B，再
3、以速度 3（单位： m/s）沿圆弧 行至点 C 后停止；乙以速率 2（单位：m/s）沿线段OA 行至 A 点后停止设 t 时刻甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为 S（t）（S（0）=0） ，则函数 y=S（ t）的图象大致是（ ）A B C D二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9当 x（1，2）时，不等式 x2+mx+40 恒成立，则 m 的取值范围是 10复数 + 的虚部是 11已知 ， ，则 在 方向上的射影长为 12已知 cos（ ）+sin= ，则 sin（ + ）的值为 13已知函数 y=f（x）满足：f（1）=a（0a1） ，且 则
4、f（2）= （用 a 表示） ，若 ，则 a= 14设函数 f（x）的定义域为 D，若存在非零实数 l 使得对于任意 xM（MD） ，有 x+lD，且 f（x+1）f（x） ，则称 f（x）为 M 上的高调函数现给出下列三个命题：函数 为 R 上的 l 高调函数；函数 f（x）=sin2x 为 R 上的 高调函数；如果定义域是1，+）的函数 f（x）=x 2 为 1，+）上的 m 高调函数，那么实数 m 的取值范围2，+） ；其中正确的命题是 （填序号）三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15设ABC 的内角 A，B ，C 所对的边分别为 a
5、，b，c，已知 a=2，b=3，cosC= （）求ABC 的面积；（）求 sin（C A）的值16某工厂统计资料显示，一种产品次品率 p 与日产量 x（xN *，80x100）件之间的关系如下表所示：日产量 x 80 81 82 x 98 99 100次品率 p P（x） 其中 P（x）= （a 为常数） 已知生产一件正品盈利 k 元，生产一件次品损失 元（k 为给定常数） （1）求出 a，并将该厂的日盈利额 y（元）表示为日生产量 x（件）的函数；（2）为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为多少件？17函数 f=（x）=Asin （x+） （A0，0，| ）部分图象如图所示（1）求的最小周
6、期及解析式（2）设 g（x）=f（x）2cos2x，求函数 g（x）在区间0， 上的最大值和最小值18设函数 f（x）=x aex，aR （）求函数 f（x）单调区间；（）若xR，f（x）0 成立，求 a 的取值范围19已知函数 f（x）=lnx ax+1，a R 是常数（）求函数 y=f（x）的图象在点 P（1，f （1） ）处的切线 l 的方程；（）证明：函数 y=f（x） （x1）的图象在直线 l 的下方；（）讨论函数 y=f（x）零点的个数20函数 f（x）的定义域为 R，且 f（x）的值不恒为 0，又对于任意的实数 m，n，总有成立（1）求 f（0）的值；（2）求证：t f（t）0
7、对任意的 tR 成立；（3）求所有满足条件的函数 f（x） 2015-2016 学年北京首都师大附中育新学校高三（上）10 月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.1已知全集 U=1，2，3，4，5，6，集合 A=1，3，5，B= 1，2，则 A（ UB） （ ）A B5 C3 D3，5【考点】交、并、补集的混合运算【分析】先由补集的定义求出 UB，再利用交集的定义求 AUB【解答】解：U=1，2，3，4，5，6，B=1，2， UB3，4，5，6，又集合 A=1，3，5，A UB=3， 5，故选 D2 “ 为第二象限角” 是“ 为锐
8、角”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据象限角的定义，结合充要条件的定义，可得结论【解答】解：“ 为第二象限角”时， “ 为锐角”不一定成立，“ 为锐角” 时， “ 为第二象限角”一定成立，故“ 为第二象限角” 是“ 为锐角”的必要不充分条件，故选：B3已知平面向量 ， 满足 =1， =2，且（ + ） ，则 与 的夹角为（ ）A B C D【考点】数量积表示两个向量的夹角【分析】利用向量的数量积公式，结合 =1， =2，且（ + ） ，即可求得结论【解答】解： =1， =2，且（ + ） ，（
9、+ ） =1+12cos ， =0cos ， = ， 0， ， =故选 B4函数 f（x）=e x+4x3 的零点所在的大致区间是（ ）A （ ，0） B （0， ） C （ ， ） D （ ， ）【考点】函数零点的判定定理【分析】确定 f（0）=1 3=20，f （ ）= 10，f（ ）= 0，f（1）=e+43=e+10，根据零点存在定理，可得结论【解答】解：函数 f（x）=e x+4x3 在 R 上是增函数，求解：f（0）=1 3=20，f（ ）= 10，f（ ）= 0，f（1）=e+43=e+10，根据零点存在定理，可得函数 f（x）=2 x+3x4 的零点所在的大致区间是（ ， ）故
10、选：C5把函数 的图象上所有点向右平移 个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的一半，所得图象的表达式是（ ）A B C D【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换【分析】根据函数 y=Asin（x+）的图象变换规则对函数的解析式进行变换即可，由题设条件知，本题的变换涉及到了平移变换，周期变换，振幅变换【解答】解：由题意函数 y=sin（2x ）的图象上各点向右平移 个单位长度，得到 y=sin（2x ）=sin（2x ） ，再把横坐标缩短为原来的一半，所得图象的表达式是：y=sin（4x ） 故选：D6在ABC 中，M 是 BC 的中点，AM=3，点 P 在 AM 上，且满足 ，则 的值为
11、（ ）A4 B2 C2 D4【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意可得 ，且 ，代入要求的式子化简可得答案【解答】解：由题意可得： ，且 ， = = =4故选 A7已知函数 f（x）= ，若|f（x）|ax，则 a 的取值范围是（ ）A （，0 B （ ，1 C 2，1 D2，0【考点】其他不等式的解法【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数 y=|f（x）|的图象，和函数 y=ax 的图象，由导数求切线斜率可得 l 的斜率，进而数形结合可得 a 的范围【解答】解：由题意可作出函数 y=|f（x）|的图象，和函数 y=ax 的图象，由图象可知：函数 y=ax 的图象为过原
12、点的直线，当直线介于 l 和 x 轴之间符合题意，直线 l 为曲线的切线，且此时函数 y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为 y=x22x，求其导数可得 y=2x2，因为 x0，故 y 2，故直线 l 的斜率为2，故只需直线 y=ax 的斜率 a 介于 2 与 0 之间即可，即 a2，0故选：D8如图，|OA|=2（单位：m） ，OB=1（单位：m） ，OA 与 OB 的夹角为 ，以 A 为圆心，AB 为半径作圆弧 与线段 OA 延长线交与点 C甲、乙两质点同时从点 O 出发，甲先以速度 1（单位：m/s）沿线段OB 行至点 B，再以速度 3（单位： m/s）沿圆弧 行至点 C 后停止；乙以
13、速率 2（单位：m/s）沿线段OA 行至 A 点后停止设 t 时刻甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为 S（t）（S（0）=0） ，则函数 y=S（ t）的图象大致是（ ）A B C D【考点】函数的图象【分析】由题意，所围成的面积的变化可分为两段研究，一秒钟内与一秒钟后，由题设知第一秒内所围成的面积增加较快，一秒钟后的一段时间内匀速增加，一段时间后面积不再变化，由此规律可以选出正确选项【解答】解：由题设知，|OA|=2（单位：m） ，OB=1，两者行一秒后，甲行到 B 停止，乙此时行到 A，故在第一秒内，甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为 S（t）的值增
14、加得越来越快，一秒钟后，随着甲的运动，所围成的面积增加值是扇形中 AB 所扫过的面积，由于点 B 是匀速运动，故一秒钟后，面积的增加是匀速的，且当甲行走到 C 后，即 B 与 C 重合后，面积不再随着时间的增加而改变，故函数 y=S（t）随着时间 t 的增加先是增加得越来越快，然后转化成匀速增加，然后面积不再变化，考察四个选项，只有 A 符合题意故选 A二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9当 x（1，2）时，不等式 x2+mx+40 恒成立，则 m 的取值范围是 m5 【考点】一元二次不等式的应用；函数恒成立问题【分析】构造函数：f（x）=x 2+mx+4，x1，2
15、讨论 对称轴 x= 或 时 f（x）的单调性，得 f（1） ，f（2）为两部分的最大值若满足 f（1） ，f（2）都小于等于 0 即能满足 x（1，2）时f（x）0，由此则可求出 m 的取值范围【解答】解：法一：根据题意，构造函数：f（x）=x 2+mx+4，x1，2由于当 x（1，2）时，不等式x2+mx+40 恒成立则由开口向上的一元二次函数 f（x）图象可知 f（x）=0 必有0，当图象对称轴 x= 时， f（2）为函数最大值当 f（ 2）0，得 m 解集为空集同理当 时，f （1）为函数最大值，当 f（1）0 可使 x（1，2）时 f（x）0由 f（1）0 解得 m5综合 得 m 范围
16、 m5法二：根据题意，构造函数：f（x）=x 2+mx+4，x 1，2由于当 x（1，2）时，不等式 x2+mx+40 恒成立即 解得 即 m5故答案为 m510复数 + 的虚部是 【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则和虚部的定义即可得出【解答】解：复数+ = = = 故其虚部为 故答案为 11已知 ， ，则 在 方向上的射影长为 【考点】平面向量数量积的运算【分析】 在 方向上的射影长为： ，代入计算可得答案【解答】解： ， ， 在 方向上的射影长为： = = ，故答案为：12已知 cos（ ）+sin= ，则 sin（ + ）的值为 【考点】两角和与差的正弦函数；运用诱
17、导公式化简求值；两角和与差的余弦函数【分析】利用两角和公式展开后求得 cos+ sin 的值，进而利用诱导公式可知 sin（+ ）=sin（+ ） ，把 cos+ sin 的值代入求得答案【解答】解：cos（ ）+sin = cos+ sin= ， cos+ sin= ，sin（+ ）= sin（+ ）=（ sin+ cos）= 故答案为：13已知函数 y=f（x）满足：f（1）=a（0a1） ，且 则 f（2）= 2a （用 a 表示） ，若 ，则 a= 1 【考点】函数的值【分析】由函数 y=f（x）满足：f（1）=a（0a1） ，且 ，知 f（2）=f（1+1）=2f（1）=2a；由 =
18、 ，知 f（2）=2a=2，由此能求出 a【解答】解：函数 y=f（x）满足：f（1）=a（0a1 ） ，且 ，f（2）=f（1+1）=2f（1）=2a； = ，f（2）=2a=2，a=1故答案为：2a，114设函数 f（x）的定义域为 D，若存在非零实数 l 使得对于任意 xM（MD） ，有 x+lD，且 f（x+1）f（x） ，则称 f（x）为 M 上的高调函数现给出下列三个命题：函数 为 R 上的 l 高调函数；函数 f（x）=sin2x 为 R 上的 高调函数；如果定义域是1，+）的函数 f（x）=x 2 为 1，+）上的 m 高调函数，那么实数 m 的取值范围2，+） ；其中正确的命
19、题是 （填序号）【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据高调函数的定义证明条件 f（x+1）f （x）是否成立即可【解答】解：函数 f（x）=（ ） x 为 R 上的递减函数，故 不正确，sin2 （x+）sin2x函数 f（x）=sin2x 为 R 上的 高调函数，故 正确，如果定义域为1，+）的函数 f（x）=x 2 为 1，+）上 m 高调函数，则 ，解得m2，即实数 m 的取值范围2，+） ，正确故答案为：三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15设ABC 的内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a=2，b=3，cosC
20、= （）求ABC 的面积；（）求 sin（C A）的值【考点】解三角形；余弦定理的应用【分析】 （）利用同角三角函数的基本关系式求出 sinC，然后求ABC 的面积；（）通过余弦定理求出 c，利用正弦定理求出 sinA，同角三角函数的基本关系式求出 cosA，利用两角和的正弦函数求 sin（C A）的值【解答】 （本小题满分 13 分）解：（）在ABC 中，因为 ，所以 所以， （）由余弦定理可得，c 2=a2+b22abcosC= =9所以，c=3 又由正弦定理得， ，所以， 因为 ab，所以 A 为锐角，所以， 所以，sin（C A）=sinC cosAcosCsinA= 16某工厂统计资料显示，一种产品次品率 p 与日产量 x（xN *，80x100）件之间的关系如下表所示：日产量 x 80 81 82 x 98 99 100次品率 p P（x） 其中 P（x）= （a 为常数） 已知生产一件正品盈利 k 元，生产一件次品损失 元（k 为给定常数） （1）求出 a，并将该厂的日盈利额 y（元）表示为日生产量 x（件）的函数；（2）为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为多少件？【考点】根据实际问题选择函数类型【分析】 （1）首先根据列表求出 a 的值，然后列出 P（x）的关系式，整理即可
