1、中国科 学技术大学 20022003 学年第二学期 考试试卷 考试科目 ： 概率 论 与数理统计 得 分： 学生所在 系： 姓 名 学 号： （考期 ：2003 年6 月 30 日， 闭卷 ，可 用 计算 器） 一、 考虑如 图所 示的 电路 图： 其中开 关 A 、B 、C 、D 、E 是独 立工 作的，每 个开关 以 概率 p 开 着， 以 概率 q=1-p 关 着， 求一 个输 入 的信 号在 输 出处 被接 收到 的概 率； 如果 一个 信号 被 接收 到， 那么 开关 E 是开 着的 条件 概率是 多 少？ 二、 设( , ) 的 联合 密度 函数 为： ( , ) = , | |
2、; 0, 其中 是未知 参数 ， 。 (1) 试求 的极大 似然 估计 和矩 估计 ； (2) 求常数 1 和 2 ，使得 1 2 为 的无偏 估计； (3) 求常数 3 和 4 ，使得 3 4 为 的无偏 估计； (4) 在均方 误差 意义 下比 较这 两个无 偏估 计哪 个更 优。 （ 注： 上述 常数 可与 n 有关 ） 五、 据信有 一种 疾病 会导 致病 人的白 细胞 数目 较常 人少 ， 假设正常 人白 细胞 数服 从均 值 为 7250 （ 单位： 个/ 立 方毫 米， 下 同） 的正 态分 布， 现有 16 个病 人， 其白 细胞的 样 本均值 为 4767，样 本标 准差 为
3、 3204， 根据 这批 数据 能否认 为这 种疾 病使 白细 胞数 A C B D Ep 目减少 ？（ 显著 性水 平为 = 0.05 ） 自由度 为 n 的 t 分布 的 p 分位数 表 n 0.90 0.95 0.975 0.99 15 1.341 1.753 2.131 2.602 16 1.337 1.746 2.120 2.583 六、在0,1区间 上随 机独立 地 投掷 两点 ，设 X 与 Y 分别表 示这 两点 的坐 标，试 求 这两 点间距 离的 概率 密度 函数 、数学 期望 和方 差。 中国科 学技术大学 20032004 学年第一学期 考试试卷 考试科目 ： 概率 论
4、与数理统计 得 分： 学生所在 系： 姓 名 学 号： （考期 ：2004 年1 月8 日， 闭卷 ，可用 计 算器 ） 一、 甲、 乙、 丙 三人 独立地 向 靶子 各射 击一 次， 其命 中 率分 别为 0.6、0.5 和 0.4.现已 知 恰有两 人命 中靶 子， 问： （1） 此两 人中 包括 丙的 可 能性大 ，还 是不 包括 丙的 可能性 大？ （2） 此两 人中 包括 乙的 可 能性大 ，还 是包 括丙 的可 能性大 ？（ 要求 写出 计算过 程 ） 二、某 种商 品一 周的 需求 量是个 随机 变量 ，其 概率 密度为 ： ( ) = , 0 0, 0各 周的 需求 量相 互独
5、 立，试 求： （1） 两周需 求量 的概 率密 度； （2） 三周需 求量 的概 率密 度。 三、利用 中心 极限 定理 求解 ： （1） 设 计算 机在 进行 加法运 算时 ， 每 次取 整的 误差相 互独 立， 且服 从-0.5,0.5上的 均 匀分布 ， 若 要保 证误 差总 和的绝 对值 不超 过 20 的概率 大 于或 者等于 0.95 ， 问 至多只 能进行 多少 次加 法运 算？ （2） ! =? = 0四、设样 本 ) , , , ( 2 1 n X X X 抽自 总体 ( ; ) ，其中 ： ( ; ) = 1 2 2 , ( ; ) （1） 试求 的矩估 计 和极大 似然
6、 估计 ； （2） 验证 和 是 否为 的无偏 估计 ， 若不 是无 偏估 计， 试 将 其分别 修正 为无 偏估 计 1 和 2 ； （3） 比较 1 和 2 何 者为 优？ 五、 为考 察钢 铁工人 和电 厂工人 平均 工资 的差 别， 从两厂 各抽 取若 干工 人调 查， 结果 如 下： 钢 厂：74 ，65 ，72 ，69（元 ） 电 厂：75 ，78 ，74 ，76，72（元 ） 若钢 厂工 人与 电厂 工人工 资 分别 服从 正态 分布 ( 1 , 1 2 ) 与 ( 2 , 2 2 ) ， 总体 独立 且均 值方差 未知 ，试 据上 述数 据判断 ： （1） 是否可 以认 为 1
7、 2 = 2 2 ？（ = 0.05 ） （2） 钢铁工 人平 均工 资是 否低 于电厂 工人 平均 工资 ？（ = 0.05 ） Y 中国科 学技术大学 20032004 学年第二学期 考试试卷 考试科目 ： 概率 论 与数理统计 得 分： 学生所在 系： 姓 名 学 号： （考期 ：2004 年6 月 25 日， 闭卷 ，可 用 计算 器） 一、 判断和 填空 ： （1） 设 P(A)=0 ，则 A 为不 可能 事件。 （2） 设(X,Y) 服从 二元 正态 ，Cov(X,Y)=0, 则 X 、Y 相互 独立 。 （3） 设 X 、Y 相互 独立， 则 X 、Y 的联 合 分布 可以由 X
8、 和 Y 的 边缘 分布 唯一确 定。 （4） 设 1 , , 为从同一个总体中抽取的一个样本，则 ( 1 , , ) ( 1 , , )+3 是统计 量。 （5） 设 0 ，X 的概 率分 布函 数为： ( ) = 1 0 , , 则 随 机变量 X 的 密度函 数 为（） 。 （6） 设 X 、Y 服 从单 位圆 2 + 2 1上 的均 匀 分布， 则在 给定 Y=0.5 条件 下的 X 的条 件密 度函 数为 （） 。 （7） 设 X 和 Y 相互 独立， 它们 的均值 全 为 0， 方差 全为 1，记 V=X-Y，则 X 与 V 的相 关系 数为 （） 。 二、求 ：（ 1 ）P(Y=
9、2|X=1) ；(2) 2 + 2 的分布 ，其 中 X 、Y 的联 合分布 如下 ： X -1 0 1 2 -1 0.12 0.08 0.30 0.15 1 0.08 0.22 0 0.05 三、 设 X 服从 期望为 2 的 指数分 布，Y 服从(0,1)上的 均 匀分 布，且 X 与 Y 相互 独 立， 求 ：（ 1 ）X-Y 的 概率 密度 函数； （2）P(XY) 。 四、桌 上有 三个 盒子 ，在 甲盒中 装有 2 支红 芯圆 珠笔 ，4 支蓝 芯圆 珠笔 ，乙 盒中装 有 4 支红芯 圆珠 笔，2 支 蓝芯 圆珠笔 ，丙 盒中 装有 3 支红 芯 圆珠 笔，3 支蓝 芯圆 珠笔，
10、 今从三 个盒 子中 任取 一支 笔，设 甲乙 丙三 盒取 笔的 概率相 等。 试求 ： （1） 取得红 笔的 概率； （2）在 已知取 得红笔 的条 件下，问 笔从 哪个盒 子中 取出的 概 率最大 ？ 五、某工 厂生 产线甲 根据 专利生产 灯泡 ，生产 线乙 根据本厂 原有 技术生 产。 现分别在 生 产线甲 和乙 两条 生产 线各 抽取 8 个灯 泡， 测得 其寿 命分别 为（ 千小 时） ： 对生 产线 甲：10 ，9，3 ，11 ，5，7，9 ，11 ； 对生 产线 乙：4，9，6 ，5，3 ，5 ，7，7； 设灯泡 寿命 服从 正态 分布 ， 且方 差相 等。 试分 别在 显著性
11、 水平 = 0.05 和 = 0.01 下 检验生 产线 甲的 灯泡 是否 比生产 线乙 生产 的寿 命要 长。 六、 设 总体 X 服从(1, + 1) 上的均 匀分布 ， 1 , , 为 总体 X 中抽 取的 一 个样 本。 试 求： （1）求 的矩估 计 1 和极大 似 然估计 2 ； （2 ） 1 和 2 是 否为 的无偏 估 计，若 不是 ，请 加以 修正 ； （3） 3 = 2 4 2 是 的 无 偏估 计， 其中 4 = 2 1 + 2 + + 1 + 2 + 2 ，问 1 的修 正 （如 果需 要修正 的话 ）和 3 哪个 更有 效？ 中国科 学技术大学 20042005 学年
12、第一学期 考试试卷 考试科目 ： 概率 论 与数理统计 得 分： 学生所在 系： 姓 名 学 号： （考期 ：2005 年1 月 20 日， 闭卷 ，可 用 计算 器） 一、甲 、乙 、丙 三门 火炮 同时独 立地 向目 标射 击， 其命中 率分 别为 0.2 ，0.3 和 0.5。目 标被命 中一 发而 被摧 毁的 概率 为 0.2， 被 命中 两发 而被 摧 毁的 概率为 0.6， 被命 中三 发而被 摧毁 的概 率 0.9 ，试求 ： （1 ） 三门 火炮 在一 次射击 中 摧毁 目标 的概 率； （2 ）在 目标 被摧 毁的 条 件下， 其只 由甲 火炮 击中 的概率 。 二、 设 X
13、 与 Y 独立 同分 布 ，都服 从参 数为 的指 数分 布，试 求 Z 的分 布密 度，其 中 ： （1 ）Z=minX,Y ； （2）Z=X+Y 。 三、将一 枚骰 子独 立地 投掷 n 次 ，令 X 与 Y 分 别表示 其 1 点出 现的 次数 和 6 点出现 的 次 数 ，并记 Z=n-X。试 求： （1 ）X 与 Y 的协 方差 及 相关系 数； （2 ）X 与 Z 的相 关系 数。 四、设样 本 1 , , 抽 自总体 X ， 总体的 密度 为： Xf( ; 1 ) = 1 2 1 2 , 1 0, 0 为已知 数。 （1） 求 1 的矩 估计 1 和 极大 似然 估计 1 ； （
14、2） 1 和 1 是 否为 1 的无偏 估计 ？是 加以证 明， 不是 请加 以修 正为无 偏估 计量 。 五、 某校 组织 学生 参加 英文 词 汇训 练， 并在 年初 与年 底 （即 训练 前与 训后 ） 各举行 一次 阅读考 试， 以考 察训 练的 效果。 现随 机抽 取 10 名同 学，将 其年 初与 年底 的考 试成 绩记录 如下 ： 假 定两 次考 分之 差服从 正态 分布 ， 试 由此 判断词 汇训 练是 否有 显著 效果？ （分 别在 = 0.05 与 = 0.01 的 水平 下检 验） 六、为了 研究 色盲 是否 与性 别 有关 ，随 机抽取 1000 人进行 调查 ，结 果
15、如 下： 男 女 和 正常 442 514 956 学生 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年初成 绩 64 43 84 72 52 93 77 58 69 91 年底成 绩 72 50 86 80 50 90 78 57 72 95 色盲 38 6 44 和 480 520 1000 （1） 试据此 判断 ，色 盲是 否与 性别有 关？( = 0.01) （2） 你认 为是 男性 还是女 性 更容 易患 色盲 ？请 说明 理 由。 中国科 学技术大学 20052006 学年第一学期 考试试卷 考试科目 ： 概率 论 与数理统计 得 分： 学生所在 系： 姓 名 学 号： （考期 ：2
16、006 年1 月 22 日， 闭卷 ，可 用 计算 器） 一、 设 昆虫 产卵 个数 服从 参数为 的 Possion 分布 ， 而每 个 卵孵 化成 幼虫 的概 率为 p，且 各卵是 否成 虫彼 此之 间没 有关系 。试 求： （1 ） 一个 昆虫 产生 k 个后 代 的概 率； （2 ）若 某个 昆虫 产生 k 个后代 ，求 它产 生 m 个卵 的概率 。 二、设二 维随 机变 量(X,Y) 的联合 密度 为： f( , ) = 0.25(1 + ), | | 1, | | 1 0 , （1） 求 给定 X=1/2 时 Y 的 条件 概率密 度； （2） 求 Cov(X,Y) 和 Var(
17、Y|X=1/2) ； （3） 证明 2 与 2 独立。 三、 设 某学 校有 5000 名学 生， 在某 一时 间区 间内 每个 学生去 某个 阅览 室的 概率 为 0.05 ， 且设每个 学生 是否去 该阅 览室是相 互独 立的。 试问 该阅览室 至少 需要设 多少 座位才 能以 95% 的 概率 保证 每个 到该阅 览室 来的 同学 均有 座位？ 四、设从 总体 X 0 1 2 3 P /2 3 /2 1-3 抽取 的一 个简 单随 机样 本 1 , , 10 的观测 值为(0,3,1,1,0,2,0,0,3,0) 。 （1 ）求 的 矩估 计量 和极 大似 然估 计量 ； （2 ）证 明
18、上 述估 计 量都是 无偏 估计 量； （3 ）比较 这两 个估计 量 ，指 出哪 个更 有效 。 五、 假 设某 台精 盐包 装机 生产的 袋装 盐的 净重 服从 正态分 布， 按照 要求 每袋 盐的标 准重 量为 500g， 标 准差 不得 超过 10g 。 某 天开 工后， 从装 好的盐 中随 机抽 取 10 袋， 测得 其净重 （单 位：g）为 ：510 ，495 ，478 ，487 ，501 ，493，528 ，504 ，503 ，504。 试据 此判 断这 时机 器的工 作 是否 正常 。 （ = 0.05 ） 六、在著名 的豌豆实验中，孟德尔（1822-1884）同时考虑豌豆 的
19、颜色和形状，共有 四 种组合 ： （ 黄、 圆） ， （ 黄、 皱） ， （ 绿、 圆） ， （绿 、 皱） 。 按孟 德尔 的理 论， 这四 类应 该有 9：3 ：3 ：1 的 比例。 在 一次 实验 中， 发现 这四 类 的观 察数 分别为 315 ，101， 108 和 32. 试 据此 判断 孟德尔 的 理论 是否 正确 ？（ = 0.05 ） 中国科 学技术大学 20052006 学年第二学期 考试试卷 考试科目 ： 概率 论 与数理统计 得 分： 学生所在 系： 姓 名 学 号： （考期 ：2006 年7 月3 日， 闭卷 ，可用 计 算器 ） 一、在 空战 中甲 机先 向乙 机开
20、火 ，击 落乙 机的 概 率为 0.2；若 乙机 未被 击落 ，就 进 行还 击，击 落甲 机的 概率为 0.3 ；若甲 机未 被击 落， 则再 进攻乙 机， 击落 乙机 的概 率为 0.4.试求 在这 三回 合中 ： （1 ）乙 机被 击落 的概 率是多 少？ （2 ）若 乙机 被击 落， 则它在 第一 回合 中被 击落 的概率 是多 少？ 二、设 1 1, 0, 1 0.25, 0. 5, 0.25 ， 2 0, 1 0. 5, 0. 5 ，且P 1 2 = 0 = 1 。试求 ： （1 ） 试求( 1 , 2 ) 的分布 ； （2 ） 1 与 2 是否独 立？ 为什 么？ （3 ） 1
21、与 2 是否不 相关 ？为 什么？ 三、 设 X 与 Y 相 互独 立， 都服从 指数 分布 ， 参 数分 别为 与 ( )，试 求 Z 的概 率密 度 ( ) ，其 中： （1）Z=X+Y；（ 2）Z=X-Y 。 四、设样 本 1 , , 抽 自总体 X ，X 服从( , + 1) 上的均 匀分 布： （1 ） 试求 的矩估 计 和极大似 然估 计 ； （2 ） 证明 1 = 1 2 与 2 = ( ) + 1 均为 的无 偏估计 ； （3 ） 1 和 2 哪个 更有 效？ 五、设样 本 1 , , 抽自 正态 总体 ( , 2 ) ，问在 下列 三个 统计 量中 ： 1 2 = 1 1 (
22、 ) 2 1， 2 2 = 1 ( ) 2 1 ， 3 2 = 1 + 1 ( ) 2 1谁是 2 的无偏 估计 ？谁 对 2 的 均方 误差 2 2 2 最小？ 请证 明你的 结论 。 六、 某 校组 织学 生参 加英 文词汇 训练 ， 并 在年 初与 年底 （ 即训 练前 与训 后） 各举行 一次 阅读考 试， 以考 察训 练的 效果。 现随 机抽 取 10 名同 学，将 其年 初与 年底 的考 试成 绩记录 如下 ： （1） 假定两 次考 分 之差服从 正态 分布， 试由 此判断词 汇训 练是否 有显 著效果？ （在 = 0.05 的水平 下检 验） （2 ） 若上 述两 组数 据并非
23、抽 自相 同的 10 名 同学， 而 是分 别从 两次 考分 中各 随 机抽取 10人， 并 假定 两次 考分 分别 服从正 态分 布 （ 二总 体独 立） ， 方差 未知但 相等 ， 试 据以 判断词 汇训 练是 否有 显著 效果？ （在 = 0.05 的 水平 下检 验） 参考答案 一 、（ 1 ）0.2+0.8*0.7*0.4=0.424 （2 ）0.2/0.424=0.472 二 、（ 1） 略 ；（ 2 ） 不独 立； （3）不 相关 三 、（ 1 ） ( ) = , 0 ； (2) ( ) = + , 0 + , 0四 、（ 1 ） = 1 2 ( ) 1, ( 1) （2 ）略
24、（3 ）Var( 1 )= 1 12 Var 2 = ( + 1) 2 ( + 2)n 7, 1 有效；n 8, 2 有效 五 、（ 1 ） 1 2 = 1 1 ( ) 2 1 为无偏 估计 量； （2） 均方 误差 排序 3 2 2 2 1 2六 、（ 1 ）成 对数 据检 验， 拒绝原 假设 ； （2 ） 两样本 t 检验， 无法 拒绝 原假 设。 学生 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年初成 绩 64 43 84 72 52 93 77 58 69 91 年底成 绩 72 50 86 80 50 90 78 57 72 95 中国科 学技术大学 20062007 学年第一学期
25、考试试卷 考试科目 ： 概率 论 与数理统计 得 分： 学生所在 系： 姓 名 学 号： （考期 ：2007 年1 月 31 日， 闭卷 ，可 用 计算 器） 一、有 12 个 新的 兵乓 球，每 次 比赛 时取出 3 个， 用完 之 后再 放回 去。 （1 ） 设第 二次 比赛 时取到 X 个新 球， 试求 X 的分布 律 ； （2 ） 若第 三次 比赛 时取到 3 个 新球 ，问 第二 次比 赛时取 出的 3 个球 都是 新球 的 概率 是多少 ？ 二、 设 X 与 Y 独立 ， 都服从 指 数分 布， 参数 分别 为 与 ( )，试 求 Z=X+Y 的分 布 密度 ( ) 。 三、 设
26、Y 服从 参数 为 与 2 的对 数正态 分布 （ 即 Y 满足 ：lnYN( , 2 )）， 试 求 Y 的分 布密度 ( ) 及 E(Y) 与 Var(Y) 。 四、某 蛋糕 店出 售三 种生 日蛋糕 ，单 价分 别为 12 元、20 元和 40 元， 售出 这三 种 蛋糕 的概率 分别 为 0.3 ，0.2 和 0.5。某 日该 店售 出 300 个 蛋糕， 问： （1 ）该 日总 收入 超过 8000 元的 概率 约为 多少 ？ （2 ）该 日售 出单 价为 20 元的 蛋糕 超过 60 的概 率 约为多 少？ 五、设样 本 1 , , 抽 自总体 X ， 其中： ( ; ) = 1
27、2 2 , 0 , (1) 试求 的矩估 计 和极大 似然 估计 ； (2) 验证 和 是 否为 的无偏 估计 ；若 否， 试将 其修正 为无 偏估 计。 六、 假 设某 台精 盐包 装机 生产的 袋装 盐的 净重 服从 正态分 布， 按照 要求 每袋 盐的标 准重 量为 500g， 标 准差 不得 超过 10g 。 某 天开 工后， 从装 好的盐 中随 机抽 取 10 袋， 测得 其净重 （单 位：g）为 ：510 ，495 ，478 ，487 ，501 ，493，528 ，504 ，503 ，504。 试据 此判 断这 时机 器的工 作 是否 正常 。 （ = 0.05 ） 七、某一 作业
28、中可能 发生两类事故：A （起火 ）和 B （爆炸 ） ，而该作 业有三种不同的 原料可 供选 择：L 、M 和 N。下 面给 出的 是事 故记录 ： L M N 和 A 42 17 29 88 B 20 4 29 53 和 62 21 58 141 试 据此 判断 事故 类型是 否与 原料 的种 类有 关？（ = 0.05 ） 参考答案 一 、（ 1 ） P( = ) = 9 3 3 12 3 ,k=0,1,2,3 (2) Bayes formula =0.23 二、 ( ) = , 0 三、 ( ) = 1 2 ( ) 2 2 2 , 0 E( ) = + 2 2Var( ) = 2 1
29、2 + 2四 、（ 1 ）E( ) = 27.6 Var( ) = 161.44 P( 8000 300 1 ) (1.27) （2 ）YB(300,0.2) P( 60) 0.5 五 、（ 1 ） = 2 = ( 1)(2) E = = + 2 有偏， 修正 为 = ( 1) 2 中国科 学技术大学 20062007 学年第二学期 考试试卷 考试科目 ： 概率 论 与数理统计 得 分： 学生所在 系： 姓 名 学 号： （考期 ：2007 年7 月 13 日， 闭卷 ，可 用 计算 器） 一 、（ 18 分） （1） 举 例 说明： 一般 而言， 1 ) | ) | ( = + A B P
30、A B P （ 和 1 ) | ) | ( = + A B P A B P （ 不 成立； （2） 举例说 明： 随机 变量 X 与Y 不独立， 但 2 X 和 2 Y 独立 ； （3） 设 4 3 2 1 ，A ，A ，A A 相互 独立 ，且 ) 4 , 3 , 2 , 1 ( , ) ( 3 1 = = i A P i则 = = ) ( 4 1 i i A P ( )； （4 ）设随机变量 X 与 Y 独立，且 1 ) ( ) ( , 0 ) ( ) ( = = = = Y Var X Var Y E X E 。 若命 Y X W = ，则Y 与W 的相 关系 数是 （ ）； （5 ）
31、判断 正误 ： 设 X 与Y 都是 正态随 机变 量 ， 则 X 与Y 的联 合分布 由 X 与Y 的边缘 分布唯 一确 定（ ）； （6）判断 正误：在 假设检验中 ，我们要 检验两个 正态总 体均值差 = 2 1 是 否为 零，则 Y X 是统 计量 （ ）。 二 、（ 10 分） 有 100 个零件， 其中 90 个 为一 等品 ，10 个为二 等品 。 从 中随 机取出 2 个 ， 安装在 一台 设备 上。 若 2 个零件 中 恰有 k 个二等 品 ) 2 , 1 , 0 ( = k ， 则该设 备的 使用 寿命 服 从参 数为 1 + = k 的指数 分布 。 若 已知该 设 备寿
32、命超过 1， 试 求安装 的 2 个零 件均 为一 等品 的概 率。 三 、（ 20 分） 设 . . X v r ) 1 0 ( ), 1 ( 6 ) ( = x x x x f （1）验 证 ) (x f 是概率 密度 函数并画出 其图 形； （2） 求出 X 的 概率 分布 函数； （3） 确定 满足 ) 2 / 3 ( ) ( b X P b X P = 的数b，（ 1 0 b ）； （4）计 算 | 3 2 3 1 2 1 X X P 。 四 、（ 7 分） 设 ) , ( Y X 服从 1 0 , 1 1 | ) , ( = y x y x D 上的 均 匀分布 ，试求 X Y Z
33、 3 = 的概率 密度 函数 ) (z f Z 。 五 、（ 30 分） 设样 本 ( ) n X X X , , , 2 1 抽自 总体 X ， X 服 从三 点分 布： p X P p X P p X P 2 ) 1 ( , 3 1 ) 0 ( , ) 1 ( = = = = = = （1） 试分别 用样 本一 阶和 二阶 原点矩 来估 计未 知参 数 p ； （2） 证明这两 个估 计都是 无偏 估计； （3） 问这两 个无 偏估 计， 哪个 更有效 （即 哪个 方差 更小 ）？ 六 、（ 15 分） 为了 解甲 、 乙二 企 业职 工工 资水 平， 分 别从二 企业 各随 机抽 取若
34、干名职 工 调查， 得 如下 数据 （ 单位 ：元） ： 甲企业 ： 750 ，1060 ，750，1820 ，1140 ，1050，1000 乙企业 ：1000，1900 ，900，1800 ，1200，1700 ，1950 ，1200 设二企 业职 工工资 分别 服 从正态 分布 ) , ( 2 1 N 和 ) , ( 2 2 N ， 二总体 独 立且均 值、方差 皆未知 。 试根 据以上 数据 判断 ： 甲企 业职 工 平 均工 资是否 低于 乙企 业职 工平 均工资 ？ （分别 在 05 . 0 = 和 01 . 0 = 两种水 平下 检验 ） （完） （ 参考 数据 ：t 分 布上
35、侧分位点 ) (n t n 13 14 15 0.005 3.0123 2.9769 2.9467 0.01 2.6503 2.6245 2.6025 0.025 2.1604 2.1448 2.1315 0.05 1.7709 1.7613 1.7531 ） 概率统计期末考题解答与评分标准 （2007 年7 月 13 日考 试） 一 、（ 18 分） （1）例 如取 ： 5 , 3 , 5 , 3 , 1 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 = = = B A ； （2）如 ： Y p p X P p X P , 1 0 , 1 , 1 1 = 0 , 0 1 0 , 2 3 1
36、 , 1 ) ( 3 2 x x x x x x F ；（ 3） 5 / 2 = b ；（ 4 ） 2 / 1 。 四 、（ 7分 ）： = 3 / 1 | | , 4 / 3 3 / 1 | | ), 12 /( 1 ) ( 2 z z z z f Z 。 五 、（ 30 分 ）： （1） 2 2 1 ) 3 / 1 ( , X p X p = = ；（ 2 ） p p E p E = = ) ( ) ( 2 1 ； （3） ) 3 / 1 0 ( , ) ( ) ( , ) 3 ( ) ( 3 1 2 1 + 。 中国科 学技术大学 20072008 学年第一学期 考试试卷 考试科目 ：
37、概率 论 与数理统计 得 分： 学生所在 系： 姓 名 学 号： （考期 ：2008 年1 月 22 日， 闭卷 ，可 用 计算 器） 一 、（ 15 分）一串 1 , 0 数字 （独立同分布）组成的 序列中1 的概率 p 代表了某种有用的 信息 ， 由于 某种 原因 需要 对其保 密 。 现对 该 串数 字进行随 机加 密 ， 对序列 中的 每 一个 数字抛 一枚硬 币（ 每 次正 面出 现的 概率 为 ）， 若抛 出的 为正面 ，则原 序列 的数 字不 变，若抛 出的 为 反面，则 原 序列 中相应 的数字由 x 变成 x 1 （ 即 0 变成1 ，1 变成 0）。 加密后 的序列 可 以
38、公布 ， 其中1 的 概率 * p 可以 估计出 来 。 若知 道 的值 ， 就可以 从 加密 后的 序列 中的1 的频 率为 * p 计算出 原序列 的 p ，所以 称为“密钥”。 （1） 现已知 7 . 0 * = p ， 如果 “密 钥” 4 . 0 = ，试 求 p ； （2） 试说明 为什 么均 匀硬 币（ 5 . 0 = ）不适 合用 来加 密。 二 、（ 15 分） 设 随机 变量 X 满足： 4 1 ) 1 ( , 8 1 ) 1 ( , 1 | | = = = = X P X P X ， 而且， X 在 ) 1 , 1 ( 内任 一子 区间 上取 值的 概率与 该子 区间 的
39、长 度成 正比 。试 求： （1） X 的 概率 分布 函数 ) ( ) ( x X P x F = ； （2） X 取 负值 的概 率； （3） X 的数学 期望 ) (X E 。 三 、（ 20 分） 二维 随机 变量 ) , ( Y X 的密 度函 数为 ： = + 其他 , 0 ) 0 , 0 ( , ) , ( ) 4 3 ( y x Ae y x f y x（1）试 求系 数 = A ？； （2） X 与Y 是否独 立？ （3） 试求 Y X Z + = 的 密度 函数 ) (z f Z ； （4） 试求 ( ) |1 Var X X Y += 。 20072008 学年，第一学期
40、， 第 1 页（共 2 页） 四 、（ 20 分） 设样 本 ) , , , ( 2 1 n X X X 抽自 正态总 体 ) 1 , ( N X ， 为未知 参数 （1） 试求 ) 2 ( = X P 的极大 似然 估计 * （结 果可用 (.) 的形 式表 示） ； （2） 写出 的 ) 1 ( 置 信区 间， 并求 的 ) 1 ( 置信区 间。 五、（ 15 分） 为 考查 B A, 两种 制鞋材 料的 耐磨 性 ，用它们 制 作 了 10 双鞋 ， 其 中每双 鞋 的两只 鞋分 别用 A 和 B 两种材 料制作( 左、 右脚 两只 鞋随机 地 采用 A 或 B ) 。10 个男 孩试穿
41、 这 10 双鞋 之后 的磨 损情 况如下表 所 示（ 数字 代表 磨损 程度）， 假定 B A, 两组 数据 的差 服从正 态 分布， 问 是否 可以 认为 这两 种 材料 的耐 磨性 无显 著差 异 ？（ 05 . 0 = ） 男孩 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 13.2 8.2 10.9 14.3 10.7 6.6 9.5 10.8 8.8 13.3 B 14.0 8.8 11.2 14.2 11.8 6.4 9.8 11.3 9.3 13.6 差 -0.8 -0.6 -0.3 0.1 -1.1 0.2 -0.3 -0.5 -0.5 -0.3 六、（ 15 分） 投 资者 感兴趣 的一个 问题 ， 是上 市公 司股 票 价格 的变 化与 其公 司总 部 所在 地是否 有关 。下 表给 出的 是美国 两个
