1、概率论与数理统计复习题（特别提示：该课程有答疑录像，请参照答疑视频进行复习）填空题1. 一箱中有 6 个球，其中有红色球 2 个，白色球 4 个，从中任取出 3 个球，表示取出的 3 只球中的红球数，求：X（1） 的分布律；（2） 的分布函数 ；（3）期望 ；（4）方X()Fx()EX差 。()D答案：（1）X 的分布律为：，346105CP，12436214365CPX（2）X 的分布函数为 0,1()4,251xFxx（3） ()=1E（4） ，275X2()D2.设随机变量 的分布律为 ； 的分111,0,442PXPXY布律为 且 X 与 Y 独立, 令 ，则 Z 的分布律为20,1,
2、33PYZZp答案：Z-1012Zp61452163.设 为随机事件，且 则,AB()0.5,().6,()0.8,PABPA。()P答案：0.7 4.设随机变量 的联合概率密度为 则(,)XY23,0,1(,) ,xyyf其 它。()E答案：15.设 X 服从参数为 1 的指数分布 ，Y 服从二项分布 ，(1)e(10,.5)B则 。()DY答案： 2.56.设总体 服从均匀分布 ，其中 为未知参数， 为来自X(,2)U01,nX总体 的样本， 为样本均值，则 的矩估计量为 。答案： 17.随机变量 与 独立同分布，且 的分布律为 ，YX0.2,P0.8则 。 3PX答案：0.36 8.设
3、A,B,C 为三个随机事件，则“A,B,C 中只有一个发生”可表示为 。 答案： ABC9.某袋中有 9 个红球、3 个白球，甲乙二人依次从袋中取一球，每人取后不放回，则乙取到白球的概率为 。答案：0.2510.设 A，B，C 为随机事件，用 A,B,C 的关系表示“A,B 都发生，而 C 不发生”为 。答案：11.设 A，B，C 为随机事件，用 A,B,C 的关系表示“A,B,C 都发生”为 。答案：12.已知 ，且 A，B 相互独立，则 。()0.8,().4PAB ()PB答案： 2313.已知 ，且 A，B 相互独立，则 。()0.9,().4PAB ()PA答案： 5614.设随机变
4、量 的密度为 ，则常数 A= 。X2,0()xf其 它答案： 3815.设随机变量 的密度为 ，则常数 A= 。X2,1()0Axf其 它答案： 1316.设随机变量 的分布函数为 .则 X3,()01xF,其 它 12PX。答案： 1817.随机变量 的分布函数为 ，X20,()1xF,其 它则 。103PX答案： 918.设 为随机变量， ，则 ,Y()25,()36,DXY0.4XY()DXY。答案：8519.设随机变量 的联合密度为(,)，301(,),xyxfy其 它则 。EXY答案： .20.设随机变量 的联合密度为(,)，6,01,(,xyxyfy其 它则 。()EXY答案：0.
5、4选择题1.设 ，且 A, B 互不相容，则 （ C ） 。()0.4,().5PAB ()PAB(A) 0.7 (B) 0.2 (C) 0.9 (D) 0.32.3 个人独立地破译一个密码，每个人能译出的概率都为 ，则他们能将此密14码译出的概率为（D ） 。(A) (B) (C) (D) 146427643763.设连续型随机变量 X 的概率密度为 则 A=（ A ） 。,01,()Axf其 他(A) 4 (B) 2 (C) (D) 3144.在正态总体 中随机抽取一个容量为 16 的样本， 为样本均值，(30,)NX则 （ B ） 。 （ ）91PX(0.5)691,(2)0.97(A)
6、 0.383 (B) 0.954 (C) 0 (D) 15.设 X 服从参数为 的 Poisson 分布，即 ，则 （ A ） 。()XP()EXD(A) 1 (B) (C) (D) 016.设随机变量 相互独立， ，则 （ (2,4)(,),NYY且 2ZYZB ） 。(A) N(6,8) (B) N(2,8) (C) N(0,6) (D) N(0,46)7.已知 , , ,则 （ 1()4PA()6B1()2PA()BC ）(A) (B) (C) (D) 63128.有一大批糖果，设袋装糖果的质量近似地服从正态分布 ，其中2,N均未知。现从中随机地取 16 袋，测得样本均值 =503(g)
7、，样本标准2, x差 s=5(g), 则 的置信度为 0.99 的置信区间是 （ B ）(A) (B) 0.50.5(3(16),3(16)44tt0.50.5(3(1),3(1)44tt(C) (D) . . . .9.每次试验成功率为 ，独立重复进行试验直至第七次试验才取得四次成功的p概率为（ B ）(A) (B) (C) (D) 437(1)Cp3436(1)C426(1)Cp336(1)Cp设连续型随机变量 的概率密度函数为X2,().0xfx其 它求：（1）概率 ；（2）数学期望 ；（3）方差 。3P()EX()DX解：（1） 21(3).23xXd(2) 21()lnxE(3) 2
8、2(183xd设甲盒中有 3 个红球 2 个白球，乙盒中有个 2 个红球 4 个白球，先从甲盒中任取 2 球放入乙盒，再从乙盒中任取一个球。求：（1）从乙中取到的是一个白球的概率；（2）若已知从乙中取到的是一个白球，求从甲中取出的是两个白球的条件概率。解：（1）A: 从乙中取到的是一个白球 :kBk从 甲 中 恰 取 出 个 白 球 ， =0,12，21223320555463()()|)88kkkCCPABPA（2） 2522()|)1(| 38B设某种元件的寿命 (单位：小时)服从指数分布，其概率密度为X。130,(),xefx（1）求元件寿命超过 600 小时的概率；（2）若有 3 个这
9、种元件在独立的工作，求其中至少有 2 个元件的寿命超过 600小时的概率。解：（1） 230601xPXed（2）至少有 2 个元件的寿命超过 600 小时的概率为23463()()Ce设在 10 只同类型零件中有 2 只是次品，在其中不放回地取 3 次，每次任取一只，设 表示取出次品的只数。求 的分布函数 。XX()Fx解：X 的分布律为：，38107()5CP，28310()28310()5CPXX 的分布函数为,071()4,25xFxx设总体 具有密度函数X，(1), 01(;), xfx其 它其中 是未知参数， 是来自总体 的样本。1nX X求：（1） 的矩估计量； （2） 的极大似
10、然估计量。解：（1） 101()()d2EXx令 , 解得2.X（2） 11()(,)(,),nni niLfxx1ln()l()lniiLx1dl()l0nii令 ，解得 所以 1.lniix1.lniiX设总体 具有概率密度X1,0()xf其 他其中 为未知参数， 为取自总体 的一个简单随机样本，01,nX X求: (1) 的矩估计量；（ 2） 的最大似然估计量。解：（1）10()1EXxd令 ，得2(1)（2） 11211() ()nnnii iiiLfxxll()liix故 的最大似然估计量1ln()ln0.2iidL21.(ln)iiX设 是来自总体 一个简单随机样本，若1234,X
11、(0,4)XN服从 分布，求 。 （要有求解过程）223()(Yab2n,abn解： 12120, (0,1):3434(,8)(,)XXNN且 1234,相 互 独 立 ，2()()()08:12,nab甲厂和乙厂生产同样的产品，生产后集中到一起。已知甲厂生产的产品占60%，乙厂生产的产品占 40%。两厂生产产品的次品率分别为 1%和 2%。现从这些产品中任取一件，求取到的恰好是次品的概率。解：设 A：任取一件恰好是次品 B：甲厂生产, 则 =60%*1%+40%*2%=0.014()(|)(|)PPBA设随机变量 的概率密度函数为X2, 0()Axf其 它求：（1） 的值；（2） 的分布函
12、数 ；（3） 。)(xF()DX解：解：（1） ， 得 20()1fxdA令 8A（2） 3,()()81,2xxFf（3） 20()()EXxfdxd22385223()(0DXEX设随机变量 服从（0,9）区间上的均匀分布，定义如下的随机变量 X试求 的联合分布律 （要有求解过041Y， ， ； 021XZ， ， ； YZ，程） 。解： (0,)(4,2)(4)PYZPXPX5910(,)(,)2()42PYZPXPX9即为： 590ZY102029设 的概率密度函数为 ，求 X 的分布函数 。X20,()xfx()Fx解：1()()dxFft20,0d1,2,xtx设总体 的分布律为X-
13、1 0 1Xp22(1)2()其中 为未知参数，现有 8 个样本观测值 ，0，1，1， ，0，01 ,（1）求 的矩估计 ； （2）求 的极大似然估计 。1 2解：（1） , 2()EX， 得 4xEXx令 158（2）824221061()()()4()iiLP， lnl0ln6l令 ， ()10d得 258设随机变量 的概率密度函数为 X1, 036()2, 4xf其 它求：（1） ；（2） 的分布函数 ；（3） ；（4） 。1PX)(xF()EX()D解：（1） 2164Xxd（2）20 233,1,06()()()3,441,4xx xdFf xdx（3） 32037()()()62E
14、Xxfdxx（4） 422 36dd1()(8D对同一靶子进行两次独立地射击，每次击中的概率为 0.9。设 表示两次射击X中击中靶子的次数。求 的分布函数 。X()Fx解： 022()*(.9).10.PXC1()820().1X 的分布律为：0 1 2p0.01 0.18 0.81X 的分布函数为： 。 0,.1()9,2xFx设 的联合概率密度为),(Y，21, 01(,)yxfx其 它求边缘密度 ， 。并回答 和 是否相互独立？说明理由；)(xfXyfYXY解：2011()(,)xX ydxfxfy其 它 3401.x其 它12()(,)yY yffx其 它 2()01.y其 它和 不相
15、互独立，这是因为X(,)().XYfxf设 的联合概率密度为),(Y，1, 0,2(,)2xyfxy其 它求边缘密度 ， 。并回答 和 是否相互独立？说明理由；)(fX)(yfYXY解：2011()(,)Xdxfxfy其 它102()(,)2Y yfyfx其 它和 相互独立，这是因为XY(,)().XYfxfy设 的联合概率密度为),(，1, 04,1(,)xyfxy其 它求边缘密度 ， 。并回答 和 是否相互独立？说明理由；)(xfX)(fYXY解：104()(,)4Xdyxfxfy其 它40()(,)Y xfyfd其 它和 相互独立，这是因为XY(,)().XYfxyfy概率密度函数为。2
16、31, 01(,)xyxyf其 它求边缘密度 ， 。并回答 和 是否相互独立？说明理由。)(fX)(fYXY解：12301()(,)xX ydxfxfyd其 它 24()01.x其 它230()(,)yY yff其 它 67.0y其 它和 不相互独立，这是因为X(,)().XYfxf市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率比例为 3:2:1，且三家工厂的次品率分别为 2、1、3。试求市场上该品牌产品的次品率。解：解：设 B：买到一件次品。Ai：买到 i 厂家产品；i=甲，乙，丙 123()|)(|)(|)(PBPABPABPA3200.3.1866设总体 具有概率
17、密度X，2e,0(,)xfx其中 为未知参数， 为取自总体 的一个简单随机样本，求 的1,nX X最大似然估计量。解：1()22111()()e(niinnnxxii iiiLfxe llliii故 的最大似然估计量1ln()20.nidLx12.niiX设总体 ， ， 为来自这个总体的样本，构造如X2(),()EDX123(,)下的估计量： ， ，11233)4123()。哪些估计量是 的无偏估计？说明理由。32()解：11231()(2),44EXE2 ,31234()()3 2,是 的 无 偏 估 计 。设甲盒中有 2 个红球 3 个白球，乙盒中有个 3 个红球 4 个白球，先从甲盒中任
18、取 2 球放入乙盒，再从乙盒中任取一个球。求：（1）从乙中取到的是一个红球的概率；（2）若已知从乙中取到的是一个红球，求从甲中取出的是两个白球的条件概率。解：（1）A: 从乙中取到的是一个红球 :kBk从 甲 中 恰 取 出 个 白 球 ， =0,12，1222 2330555419()()|)9kkk CPABPA（2） 23522()|)9(| 184B设某种型号的电子管的寿命 （以小时计） ，具有如下的概率密度X0.1,().xefx其 它求：（1）每只电子管寿命大于 10 小时的概率；（2）从一大批这样的电子管中任取 5 只，设这些电子管的工作是相互独立的，求恰有 4 只电子管寿命大于 10 小时的概率。解：（1） 0.1110.xePXd(2) 41455()Ce
