1、1导数的基本应用1. 导数与单调性1) 为增函数；但反之不成立。如0)(xf)(xf 3)(xf时， 为增函数0)(xf2) 为增函数 ;但反之不成立。如当函数在某个区间内恒有 ，则 为常数，函数不具有单调性。)(f3) 总结：在区间 内，若总有 ，则 为增函数；反之，若 在(,)ab()0fx()fx区间 内为增函数，则 。一般地，如果 f（ x） 在某区间内有限个点处, x为零，在其余各点均为正（或负） ，那么 f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）.2. 导数与极值1) 极值的定义：极值是在 附近所有的点，都有 ，则 是函数0x)(f)0xf)(0xf的极大值，极小值同理)(xf
2、2) 极值的判别方法：当函数 在点 处连续时，)(f0x如果在 附近的左侧 0，右侧 0，那么 是极小值。x)(f x3) 求可导函数极值的步骤：首先：求导数 ；再求导数 =0 的根；最后：检查 在方程根左右)(f)(xf )(f的值的符号，如果左正右负，那么 在这个根处取极大值；如果左负右正，那么 在这个根处取极小值。)(xf4) 是极值点的充分条件是 点两侧导数异号，而不是 =00 0x )(xf若点 是可导函数 的极值点，则 =0. 但反过来不一定成立. )(f )(xf例如：函数 ， 使 =0，但 不是极值点 .3xfy 0函数不可导的点也可能是函数的极值点。例如：函数 ，在点 处不可
3、导，但点 是函数的极小值点.|)(f0xx3. 导数与最值极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较在闭区间 上连续，在（ ）内可导， 在 上求最大值与最小ba,ba,)(xfba,值的步骤：先求 在（ ）内的极值；再将 的各极值与 、)(xf )(f比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。)(f2课堂例题：导函数与原函数的图像问题：1. 设 是函数 的导函数， 的图像如图所示，则 的图像最有可)(xf)(xf )(xfy)(xfy能的是（ ） 答案：C2. 如果函数 的图像如图所示，那么导函数 的图像可能是_.)(xfy )(xfy答案：利用
4、导数研究函数的单调性（求单调区间）：3. 已知函数 ，求其单调区间23)(23xxf解析：(1)f( x)3x 26x3.令 3x26x 30， 即 x22x10.解得 x11 ，x 21 .当 x1 或 x1 时，f( x)0；2 2 2 2当 1 x1 时，f(x) 0.2 2故 f(x)x 33x 23x2 在( ，1 )内是增函数，2在(1 ，1 )内是减函数，在(1 ，)内是增函数2 2 24. 函数 的单调递增区间是ln0f解析： ,e3已知单调性求参数的取值范围：5. 已知函数5312axy（1）若函数在 总是单调函数，则 的取值范围是 ., a（2）若函数在 上总是单调函数，则
5、 的取值范围 .)1（3）若函数在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是 .,3答案： (1) .3)(;)2(;aa6. 已知向量 ， ，若函数 在区间(1,1) 上是增函数，1,x,txbbaxf)(求 t 的取值范围解：方法一：依定义 f(x)x 2(1x )t(x1)x 3x 2tx t.则 f(x )3x 22xt.若 f(x)在(1,1)上是增函数，则在(1,1)上可设 f(x )0.f( x)0t3x 22 x，在区间(1,1) 上恒成立，考虑函数 g(x)3x 22x，由于g(x)的图象是对称轴为 x ，开口向上的抛物线，故要使 t3x 22x 在区间(1,1)上恒13成立tg
6、(1)，即 t5.而当 t5 时，f(x)在( 1,1) 上满足 f(x)0，即 f(x)在(1,1)上增函数故 t 的取值范围是 t5.方法二：由题知 f(x)x 2(1 x)t(x1)x 3x 2txt，f(x) 3x 22xt.若 f(x)在( 1,1)上是增函数，则在( 1,1)上 f(x)0.f(x )的图象是开口向下的抛物线，当且仅当 f(1)t10 且 f(1) t50 时，f(x) 在(1,1)上满足 f(x)0，即 f(x)在(1,1) 上是增函数故 t 的取值范围是 t5.思路点拨：方法一：分离变量法。方法二：带参数的二次函数问题。利用导数研究函数的极值与最值：7. 已知函
7、数 在 时有极值 0，则 m ，n .223)(mnxxf1解析：f(x) 3x 26mxn，由题意，f(1)36m n0，f(1)13 mnm 20，解得Error!或Error!.但 m1，n3 时，f(x)3 x26x33(x1) 20 恒成立即 x1 不是 f(x)的极值点，应舍去思路点拨：注意极值点的充要条件，防止多解的出现。8. 已知函数 .af93)(2(1)求 f(x)的单调递减区间；(2)若 f(x)在区间2,2 上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值4导数与函数单调性的综合性应用：9. 设函数 )0()(kxef(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 f(x)在
8、区间( 1,1)内单调递增，求 k 的取值范围解析：(1)由 f( x)(1 kx)e kx0，得 x (k0)，1k因为 1kx 的图像已知，故数形结合分类若 k0，则当 x 时，f(x)0，函数 f(x)单调递增( 1k， )若 k0 ，函数 f(x)单调递增；( ， 1k)当 x 时，f(x)0，则当且仅当 1，即 0k1 时，函数 f(x)在(1,1)内单调递增，1k综上可知，函数 f(x)在(1,1)内单调递增时， k 的取值范围是1,0) (0,1方法二：原函数 f(x)在（-1,1）内单调递增，则 在（-1,1 ）内恒成立。0)(f即 在（-1,1 ）内恒成立。01)(kxg则当
9、 k0 时， ，故 0k1x5思路点拨：本题考察的思想很好，由浅到深，属中档题。多多注意第三问的方法。10. 设函数 ()exf(1)证明： 的导数 ；()2f(2)若对所有 都有 ，求 的取值范围0x xa解析：（1） 的导数 由于 ，故()f()exfe2ex-xA()2fx（当且仅当 时，等号成立） 0x（2）令 ，则 ，()gfax()exgfaa（）若 ，当 时， ，2 20x故 在 上为增函数，所以， 时， ，即 ()x0)， 0 ()gx ()fxa（）若 ，2axxeaeg11(2 xxeae)24)(4(,可以数形结合画出关于 xe的一元二次函数，方程 的正根为 ，()0gx
10、 21ln此时，若 ，则 ，故 在该区间为减函数)， ()0gx()gx所以， 时， ，即 ，与题设 相矛盾1(0x， fa()fxa综上，满足条件的 的取值范围是 a2 ，思路点拨：本题考察的思想很好，由浅到深，属中档题。多多注意第三问的方法。构造函数来研究不等式：11. 已知函数 是(0，) 上的可导函数，若 在 x0 时恒成立(xf )( xff(1)求证：函数 g(x) 在(0，) 上是增函数；fxx(2)求证：当 时，有 0,21)()(2121xffxf612. 已知函数 .xxf)1ln()(1)求函数 f(x)的单调递减区间；(2)若 ，证明：x)1ln(思路点拨：此题设计到复
11、合函数的求导法则，故适合理科。7课后强化训练：导函数与原函数的图像问题：1.已知 的定义域为 R， 的导函数 的图像如图则下列说法中错)(xfy)(xfy)(xfy误的有_(填序号)f(x)在 x1 处取得极小值；f(x)在 x1 处取得极大值；f(x)是 R 上的增函数；f(x)是 (，1)上的减函数， (1，)上的增函数答案：2.设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一个直角坐标系)fx)fx(yfx()fx中，不可能正确的是（ ）答案：D利用导数研究函数的单调性：3.函数 的一个单调递增区间是（ ）xef)(A) (B) (C) (D) 0,18,22,12,0解析： 选(A).)(
12、xexf 2)(xef1,012xex4.设函数 03abf(1)若曲线 yf(x) 在点(2，f(2)处与直线 y8 相切，求 a、b 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间与极值点解析：(1)f(x)3x 23a，曲线 yf (x)在点(2，f(2) 处与直线 y8 相切，Error!Error!Error!8(2)f(x) 3(x 2a)( a0)，当 a0 时，f(x )0，函数 f(x)在( ，)上单调递增，此时函数 f(x)没有极值点当 a0 时，由 f(x )0x ，a当 x( ， )时，f(x)0，函数 f(x)单调递增，a当 x( ， )时，f(x ) 0，函数 f(x)单调
13、递减，a a当 x( ， )时，f(x) 0，函数 f(x)单调递增，a此时 x 是 f(x)的极大值点，x 是 f(x)的极小值点a a5.已知函数 图像上的点 P(1，2)处的切线方程为 .cbf23( 13xy(1)若函数 f(x)在 x2 时有极值，求 f(x)的表达式；(2)函数 f(x)在区间2,0上单调递增，求实数 b 的取值范围解析：(1) 34)(23xf(2)因为函数 f(x)在区间2,0上单调递增，所以导函数 f(x) 3x 2bxb，在区间2,0 上的值恒大于或等于零，则Error!，得 b 4，所以实数 b 的取值范围为4， ) 利用导数研究函数的极值与最值：6.设函
14、数 为奇函数，其图像在点(1，f(1)处的切线与直线)0()(3acxfx6y70 垂直，导函数 的最小值为12.f(1)求 a、b、c 的值；(2)求函数 f(x)的单调递增区间，并求函数 f(x)在1,3上的最大值和最小值解：(1)f(x) 为奇函数， f( x)f(x)，即ax 3bxcax 3bxc ，c0.f(x )3ax 2b 的最小值为12，b12，a0.又直线 x6y70 的斜率为 ，16因此，f(1)3ab6.a2，b12，c0.(2)f(x)2x 312x.f( x)6x 2 126(x )(x )，列表如下：2 2函数 f(x)的单调增区间是(， )和( ，) ，2 2f
15、(1)10， f( )8 ，f (3)18，2 2f(x)在1,3 上的最大值是 f(3)18，最小值是 f( )8 .2 297.设函数 在 及 时取得极值32()8fxaxbc1x2（1）求 a、 b 的值；（2）若对于任意的 ，都有 成立，求 c 的取值范围0， 2()f解析：（1） ，因为函数 在 及 取得极值，则2()63fxaxb()fx12x有 ， 即 解得 ， ()0ff 041， 3a4b（2）由（）可知， ，32()98fxxc当 时， ；当 时，2()6186)fx(01)， ()0fx(12)，；当 时， 所以，当 时， 取得极大值0(3)， (fx，又 ， 则当 时，
16、 的最大值为()5fcfc)98c3x， ()fx因为对于任意的 ，有 恒成立，所以 39803x， 2()f，解得 或 ，因此 的取值范围为 2c1cc(1)(9)， ，导数与函数单调性的综合性应用：8.已 知函数 ， ，其中 2afxlngx0a（1）若 是函数 的极值点，求实数 的值；hf（2）若对任意的 （ 为自然对数的底数）都有 成立，12,e， 1fx2g求实数 的取值范围a答案：（1） ，其定义域为 ，lnaxx0 ， 2hx 是函数 的极值点， ，即 hx1h23a ， 经检验当 时， 是函数 的极值点，0a31xhx 3（2）对任意的 都有 成立等价于对任意的12,xe， 1
17、fx2g都有 当 1， 时，1,xe， minfmae1010gx函数 在 上是增函数 lnx1e， max1ge ，且 ， 22af 1,xe0当 且 1， 时， ，0axe2f函数 在1， 上是增函数， .2f2min1fxfa由 ，得 ，又 ， 不合题意 21ee01a当1 时，a若1 ，则 ，x2xf若 ，则 e0a函数 在 上是减函数，在 上是增函数2fx1,ae， .由 ， ，又1 ， minfae2e12a e当 且 1， 时， ，aexe20xaf函数 在 上是减函数 .2af， 2minaffe由 ，得 ，又 ， 2e1eae综上所述， 的取值范围为 a1,29.（2010全
18、国卷 2 文数）已知函数32()1fxax（）设 ，求 的单调区间；a()fx（）设 在区间（2,3）中至少有一个极值点，求 的取值范围.()f解析：（）当 a=2 时， 32()61,()32)(3)fxxfx当 时 在 单调增加；(,2x0,()f当 时 在 单调减少；3)x(,)当 时 在 单调增加；(,x(,()ff2311综上所述， 的单调递增区间是 和 ，()fx(,23)(,)的单调递减区间是()f (23,（） ,当 时， 为增函数，故1)3 ax20()0,()fxf无极值点；当 时， 有两个根()fx20()fx221,1axa由题意知， 式无解， 式的解为 ，23,3a或
19、 543因此 的取值范围是 .54，思路点拨：在区间（2,3）中至少有一个极值点 的根位于（2,3）之间)(xf10.（2010全国卷 2 理数）设函数 1fxe（）证明：当 x -1时， ；（）设当 0时， fax，求 a 的取值范围【解析】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力.12【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立
20、问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.11.（2010新课标文）设函数2)1()axexfx（）若 ，求 的单调区间；21a)(f（）若当 0 时 0，求 a 的取值范围x解析：（） 时， ，21()xfe。当 时 ;当 时，()1xxxfe,()fx1,0;当 时， 。故 在 ， 单调增加，在（-0,()0f()fx10,131，0）单调减少。（） 。令 ，则 。()1)afxx0()1agxx()xgea若 ，则当 时， ， 为减函数，而 ，从而当 x0 时a,00，即 0.()gx()fx若 ，则当 时， ， 为减函数，而 ，从而当0,lna()gx()()g
21、时 0，即 0. 综合得 的取值范围为,lnxa()gxfa,1思路点拨： 可以化简；分类讨论的标准，可以数形结合利用导数1)afx0的图形来讨论。12.（2010新课标理）设函数 。2()1xfea（1）若 ，求 的单调区间；0a()fx（2）若当 时 ，求 的取值范围0a解：（1） 时， ， .()1xfe()1xfe当 时， ；当 时， .故 在 单调(,x0,()0f()fx,0)减少，在 单调增加0)（II） (12xfea由（I）知 ，当且仅当 时等号成立.故0x，()()fx从而当 ，即 时， ，而 ，120a12 ()fx(0)f于是当 时， .x()fx由 可得 .从而当 时
22、，e1(0)xe12a，()2()()x xxfae故当 时， ，而 ，于是当 时， .0,lnxf(f(0,ln)()0fx综合得 的取值范围为 .a1(,214思路点拨：可以利用二次导函数来研究一次导函数的单调性。13.【2011全国新课标文】已知函数 ，曲线 在点 处的ln()1axbf()yfx1,()f切线方程为 230xy（I）求 a，b 的值；（II）证明：当 x0，且 时， 1xln()1xf解析：（） 由于直线 的斜率为 ，且过22(ln)bfxx230xy12点 ，故 即 解得 ， 。(1,)(1,)2f1,2abab（）由（）知 ，所以lnf()1x )1ln2(1ln)
23、( 2xxxf 考虑函数 ，则()2lhxx2(0)22)(h所以当 时，1,1,h而故当 时，),0(x ;0)(,0)(2xx可 得当 时，),1(;)(1,)(2hh可 得从而当 .1ln,0ln,0xfxfx即且思路点拨：（1）求导函数要求，必须比原函数简化，转化才有效。（2）多多善于发现特殊点的应用：例如 h(1)=014.【2011全国新课标理】已知函数 ，曲线 在点 处的ln()1abfxx()yfx1,()f切线方程为 。230xy（）求 、 的值；ab（）如果当 ，且 时， ，求 的取值范围。1xln()1xkf15解析：（） 由于直线 的斜率为 ，且过221(ln)xbf
24、x230xy12点 ，故 即 解得 ， 。(1,)(,1)2f,1,2aba1b（） 由（）知 ，所以lnf(x。22l1(1)()lkkxfx考虑函数 ，则 。()2lnh()x(02(1)kxh(i)设 ，由 知，当 时， 。而 ，故0k22(1)kxxx()0()h当 时， ，可得 ；(,1)x(h2()0h当 x （ 1，+ ）时，h （x）021从而当 x0,且 x 1 时，f（x）-（ + ）0，即 f（x） + .lnk1lnxk（ii）设 00,故 (x）0,而hh（1）=0，故当 x （1， ）时，h（x）0，可得 h（x）0,而 h（1）=0，故当 x （1，+ ）时，h（x）0，可 得 h（x）0,与题设矛盾。21综合得，k 的取值范围为（- ，0
