1、1静力学（初赛要求）一、力的效应1内、外效应：力的效应指的是物体被力作用所产生的效果。力的作用效果有两种：一是受力物发生形变；二是使受力物的运动状态发生变化。前者表现为受力物各部分的相对位置发生变化，故称为力的内效应；后者表现为受力物的运动方向或快慢发生变化，故称为力的外效应。众所周知，当物体同时受到两个或多个力作用时，它的运动状态也可能保持不变，这说明力对同一物体的外效应可能相互抵消。2合力与分力实践指出，几个力对物体共同作用的效果，往往可以用一个适当的力就是那几个力的合力，那几个力的都叫做这一个力的分力。可见合力与它的那组分力之间，在力学效果上必须具有“等效代换”的关系。二、力的作用方式力
2、是物体间的一种相互作用，又是一并具有大小、方向和作用点的一种矢量。根据研究和解决实际问题的需要，可以从不同的角度对力进行区分。1体力、面力和点力按照力的作用点在受力物上的分布情况，可将力可将力分为体彻力（简称 体力 ） 、面分布力（简称 面力 ）和点力三种。外力的作用点连续分布在物体表面和内部的一定（或全部）区域，这种力就是体力。重力就是一种广泛存在的体力。作用点连续分布在物体某一面（或全部表面）上，这种力就是面力。压力和摩擦力就是一种广泛存在的面力。当面力和体力作用的区域远比受力物小,或可以不考虑作用点的分布情况时,就可以把相应的体力或面力当成是集中在物体的某一点上作用的,这种情况下的体力和
3、面力就叫做点力。例如,在通常情况下,我们就是把重力、摩擦力和压力当成点力看待。具体而言,常用物体各部分所受重力的合力来代替该物体受到的总重力；用摩擦面上各部分所受摩擦力之合力来代替这个面上的总摩擦力；对压力也是按照这种方式处理的。当不涉及转动的时候,我们甚至把面力的合力作用点标出在物体的重心上，这就使问题的解决更加便当。但若涉及到物体的转动,就绝对不能把体力和面力（如磁力）的作用点随便地集中到物体的重心上。点力只是在一定条件下对体力和面力的一种适当的简化而已，对此切勿掉以轻心。2内力和外力按照施力物与被研究物体的所属关系，又常将力分为内力和外力两大类若被研究对象是某一物体，则该物体内部各部分间
4、的作用力叫内力；若被研究对象是两个或多个物体组成的系统，则系统内部各物体间的作用力都叫该系统的内力。外力则是被研究对象以外的其他物体对则该物体（或系统）的作用力。在中学，若无特别说明，一般所谈的受力，都指的是外力。物体内部和相邻部分的拉力或压力都是内力。其中的前者就叫张力。理想的柔绳内部只能有张力，而不可能有相互挤压力。其张力总是与绳的轴线相切（如绕在轮上被拉紧的绳） 。所以柔绳只能对外产生拉力和侧压力，不能产生轴向压力。杆件既能对物体产生拉力，也能对物体产生压力，还能对物体产生侧压力。在中学，未做特别说明，通常把绳和线当成理想的柔绳和柔线，一般还忽略了绳和线的质量，以及它们的伸长形变。3主动
5、力和被动力凡是力的大小和方向只取决于受力物和施力物，而与受力物所受的其他力没有直接关系的力，就叫主动力。重力就是一种主动力。因为，即使受力物还受到其他如拉力、摩擦力压力等力的作用，也无论如何这些力在如何变化，重力的大小和方向仍然是不变的。若力的大小和方向还与物体所受的其他力有直接关系，这类力就叫做被动力。4力系2实际上，一个物体往往同时受到两个或多个力的共同作用，物体的运动情况就是由作用在它上面的全部外力来共同决定的（当然还和初始状态有关） 。同时作用在一个物体（或系统）上的一群力叫力系；所有力的作用线（过作用点且与力平行的直线）都在同一平面内的力系，叫平面力系；所有力的力线不在同一平面内的力
6、系，叫空间力系；所有力的力线交于同一点的力系，叫做共点力系。共点力系可能是空间力系，也可能是平面力系；平面力系可能是共点力系，也可能是非共点力系。中学一般要求掌握平面力系，尤其要掌握共点的平面力系的一些计算问题。使物体在惯性系中保持静止或匀速直线运动的力系，都叫平衡力系；使物体在惯性系中的状态发生变化的力系则叫做非平衡力系。静置于水平支面上的物体，它受的重力和支持力就组成了一个最简单的平衡力系。三、五个静力学公理1二力平衡公理两个力平衡的充分必要条件是：此二力作用与同一刚体上，并且等大，反向，在同一直线上。注意：共物，等大，反向，同直线这四条必须一并满足，缺一不可。2增减平衡力系公理在作用于刚
7、体的任何一个力系上，增加或减去一组平衡力系，原力系对物体的外效应仍然不变。3力的平行四边形定则作用于物体同一点上的二力可以合成一个力即上述二力的合力，合力的作用点仍在该点，合力的大小和方向由这两个力为邻边组成的平行四边形的对角线确定。如左下图所示。比较下面三图，若将力矢量 F1（或 F2）按照下边的后面两图的方式平移，利用平移后组成的力矢量三角形，也能求出合力矢量R。要注意的是，合力矢量 R 的起始端就是原来二力的作用点，合力矢量 R 的末端就是平移的那个力矢量在新位置的末端。用一个力等效地代替两个 或几个力对物体的共同作用叫做力的合成； 将一个力化为等效的两个或几个力，则就力 的分解。分析左
8、上图、右上图就不难看出： 在进行力的合成与分解时，平行四边形定则和三角形法是等效的。若分力不只两个，三角形法就变成多边形法，在此暂不做详述。4牛顿第三定律两个物体间的相互作用力，总是大小相等，方向相反，并且在同一条直线上，这就是牛顿第三定律。5刚化公理若可形变体在已知力系的作用下处于平衡状态，则可将此受力物体看作刚体，其平衡不受影响。实际上所有物体都是可变形体，它们处于受力平衡状态时，我们实际上常把它们当平衡刚体看待，而且还常常利用了刚化公理却没察觉。例如，弹簧就是常见的一种典型的可变形物，当它的两端受到压力（或拉力）时就会发生压缩（或拉伸）形变，所加的这一对力大小相等，方向相反，且共轴线时，
9、弹簧必定稳定在相应的压缩（或拉伸）状态，并保持这种形变量不变，好像成了新形变的刚体，弹簧称就是凭借这种相应的稳定性来测力和示数的！四、力学中常见的几个力1重力重力的产生，以及其三要素在此不再详述。重力是万有引力的一种体现，重力就属于万有引力。关于重力与万有引力的具体大小、方向关系我们将在万有引力那一部分再详述。2弹力、胡克定律、弹力物体再外力作用下发生形变时所产生的反抗形变的力叫弹力。因此弹力 总是与在反抗形变的方向上 。3所谓“形变”是指：物体形状或大小的变化或者二者兼有之。从形式上讲，固体的形变有 拉伸，压缩，扭转，弯曲 等多种。实验指出，固体的形变超过一定的限度，引起形变的力撤消后，物体
10、不能恢复原来的形状和大小。这个形变的限度（或与它对应的外力）就叫做该物体的弹性限度。以此为界，又将形变分为弹性形变和范性形变两大类。在弹性限度的形变叫弹性形变；超过限度的形变叫范性形变。任何物体在外力撤消后都会留下一些残余的形变，所以实际中并无绝对的弹性形变体（即 弹性体 ） 。但是，当残余形变可以忽略时，就可把该物体当成弹性体处理。、胡克定律在弹性限度内，弹簧的弹力( )与弹簧的伸长（或压缩）成正比，并且总是指向恢复原长的方向。Tf表达式为： ；式中， 为弹簧的形变量，等于当时的长度与形变前的长度（又称 自由长度 ）之差；kxfT为弹簧的劲度系数，由弹簧自身的结构决定，可认为 不受形变量的影
11、响， 是正标量。注意： 表达k kk式中的弹力和形变量都是轴向的 ；若无特别说明，一般认为是轻弹簧，即弹簧的质量可不计。3摩擦力、摩擦定律、摩擦力：两个接触的物体，当有相对运动或相对运动趋势时，在二者的接触面上出现的阻碍相对运动或相对运动趋势的力，就是摩擦力。两个物体有相对运动的摩擦力叫滑动摩擦力。两个物体有相对运动趋势而未出现运动的摩擦力叫静摩擦力。、摩擦的规律可归纳如下：第一：静摩擦力不能超过某一个最大值 ，这个最大静摩擦力与接触面间的压力成正比，与接触mf0面积无关。即： 。 为接触面间的静摩擦因数，只由两接触面间的情况共同决定。在将要mf0N0滑动之前的静摩擦力都与压力（本部分中压力用
12、符号 N 表示，也常用符号 表示）无关，而且NF0f！mf0第二：滑动摩擦力与接触面积无关，与当时接触面间的挤压力成正比。即： ，f为接触面间的动摩擦因数。第三： 、 都取决于较软的那个接触面的材料硬度和抗剪强度,一般与接触面的粗糙程度无关。0抗剪强度表示接触面上的小突起群抵抗切向力破坏的能力。与接触面平行的方向或相对运动的方向,即为此处所谈的切向。对于一定的两个接触面， 略大于 ，在不要求精确计算时,通常多忽略 与 的差0 0别,且常以 代之。第四：物体间的摩擦力，总是阻碍相对运动或相对运动趋 势。五、同向平行力的合成、物体的重心1同向平行力的合成规律实验和理论都指出，两个同向平行力的合力（
13、R）也与分 力平行，其大小为两个分力大小之和，合力作用点在分力作用点的连线上， 合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比。如图所示。即：4利用合比定理和相似三角形关系不难得出如下两个推论：（设合力作用点到两个分力线ABFCR的距离分别为 、 ，两分力线相距 ）dBABd推论一、 推论二、RFCA ABBdRF2物体的重心位置物体的重心是物体各部分所受重力的合力的作用点。由于在地面上的物体都比地球小得多，因此可以认为：任何物体的各部分受的重力都互相平行（实际上都指向地心附近，因而相互间有微小的倾斜） ，于是任何物体的重心位置都可以用平行力的合成规律去求。由此不难推出，均匀球体或球壳的重心都
14、在各自的球心上；均匀环的重心在其中心环面的圆心上；总之均匀物体的重心在它的形心（即所谓“几何中心” ）上。由此可见，物体的重心有可能不在物体上，而在它附近空间中的某一点上；只要物体的物质分布情况一确定，物体的重心与物体各个部分的相对位置就确定了，所以 无论刚体怎样运动，其重心对本刚体的位置总是保持不变。六、共点力作用下的物体的平衡条件1共点力作用下的物体的平衡条件：共点力作用下的物体的平衡条件，实际上就是共点力系的平衡条件，即 共点力系的合力为零 。2推论：三个斜交的平衡力一定是共点力。七、力矩力矩是表示力对物体产生转动作用的物理量，它等于力和力臂的乘积。表达式为：M=FL，其中力臂L 是转动
15、轴到 F 的力线的（垂直）距离。注意：作用于同一物体的同一力，由于所取转轴的位置不同，该力对轴的力矩大小可能发生相应的变化，对物体产生转动作用的方向（简称“转向” ）也可能不同。 例如如右图中的力 F，若以 为轴（即对 取矩）其力矩为 M1=FL1，使物体1o1o 逆时针转，若以 为轴（即对 取矩）其力矩为 M2=FL2，使物体顺时针转，22 由图可知 L1 L2，故 M1 M2，且二者反向。由此可见， 一谈力矩，必须首先 明确是以何处为轴，或对谁取矩 。八、刚体的平衡条件由刚化公理可知，变形体在平衡力系作用下处于平衡时，也 可以当作刚体，中学又不专门研究正在变形的变形体，所以在此之后，我们不
16、再 专门强调刚体与一般固体的区别，在用语上则把刚体和固体都泛称为物体。1有固定转动轴物体的平衡平衡条件是：作用于物体上的全部外力对固定转动轴所取力矩的代数和为零。中学阶段只研究平面力系的转动平衡，对于实际的可转动物体，其转轴仅限于和力系平面垂直的方向上，这样一来，各力矩的转动效应不是同向就是反向，若沿着转轴观察，力矩的转动效应不是使物体沿顺时针转，就是逆时针转，若使 物体沿顺时针转的力矩为正，则使物体沿逆时针转的力矩就为负 。当作用在有固定转动轴物体上的顺时针方向力矩之和与逆时针方向力矩之和相等时，物体将处于静止或匀速转动状态。有固定转动轴物体的平衡的表达式为： MO或2一般物体的平衡条件5此
17、处所谈的“一般物体”是指没有固定转动轴物体。对一个“一般物体”来说，作用在它上面的力的合力为零，对任意一点的力矩之和为零时，物体才能处于平衡状态。也就是说必须一并具有或满足下面两个关系式： 0(FM对 任 意 一 点 ）九、物体的平衡种类（1） 、物体稍微移开平衡位置后，重心升高，能回到平衡位置的平衡叫稳定平衡，稳定平衡的程度叫稳度。 重心越低，支承面面积越大，稳度越大 。 见下图（a） （a） （b） （c）（2） 、物体稍微移开平衡位置后，重心降低，不能回到平衡位置的平衡叫不稳定平衡。 见上图（b） （3） 、物体从平衡位置移开，重心高度不变的平衡叫随遇平衡。 见上图（c） 建筑物的平衡：
18、建筑物是十分讲究平衡的。 一般地说，扁平的建筑物稳度较大，高耸的建筑物稳度较小。如 右图所示一块砖，平放在地面上右图（a） 重心低，支承面面积 大，稳定度很大，即便地面发生倾斜也不会失去平衡而倾倒。竖直 放在地面上右图（b） 则重心高，支承面面积小，稳定度很小， 地面稍有倾斜，就会失去平衡而翻倒。对建筑物来说，不只是造得笔直就能平衡， 还要考虑到受到强大风力作用时，以及在较强烈的地震时也不会 倒下。而且还要经得起时间的考验，像上海金茂大厦这样的超高 层建筑高达420.5m，质量非常巨大，重心又非常高。它对地基的平整度及沉降度要求很高，一旦下沉不均衡造成整体倾斜，就会失去平衡而倾覆，为此金茂大厦
19、的地下打入了数百根钢管桩，打入深度达 79m（相当于它自身高度的 1/5） 。以保证地基的坚实、平稳。十、流体静力学流体是液体和气体的统称，它们的共同特点，是组成物体的物质容易发生相对移动，从而具有流动性。1静止流体的压强地面附近的所有流体都要受到重力作用，于是容器中的流体都要尽可能地向下运动，器壁却将它们约束在一定的范围内，这就使流体内的任何相邻部分都要互相排斥挤压。于是，流体自身的流动性和重力作用（外因）相结合，就使静止流体中的任何一点处都存在着指向各个方向的压强，而且深度越大的地方，这种压强越大。这种因重力作用而在静止流体中产生的压强，叫流体的静压强。对均匀液体而言，静压强： ， 为液体
20、的密度， 为液体中所求压强处的深度， 为当地ghphg的重力加速度。2液体传递压强的规律帕斯卡定律：被封闭的液体总要把外力对它产生的压强大小不变地向各个方向传递。63静止液体产生浮力的规律阿基米德原理浸入流体中的物体受到的浮力总是竖直向上的，其力线通过被物体排开的那部分流体在原处时的重心，其大小等于那部分流体的重量。其表达式为： ；式中 为被排开的那部分流体的密度，排gVF为当地的重力加速度， 是被排开流体的体积。g排V注意：、浮力的本质是静止流体对浸入物的压力之合力。、当浸入物与容器底部有密合式接触时，不能死套浮力计算式（ ） 。排gVF如图所示，A 和 B 都与液体密合，二物虽然都排开了相
21、应的液体，A 却只受液体的侧压力，没有液体进入 A 的下侧去向上压 A，侧压力又互相平衡，所以 A 物 体所受的浮力为零；B 物只有画了斜线的部分才受到浮力，大小等于这部分 物体所排开液体的重量，未画斜线的部分只受到顶部液体的压力，B 受的浮 力等于这两部分的代数和，若前者小于后者，则总的效果是向下的压力。、不要把浮力计算式（ ）中的 误认为是浸排gVF 入物的密度；不要把 误认为被浸入物的总体积。排V、 、 只适用于物体与流体都保持静止的情况，或者，只有当浸入物在静止流ghp排体中运动的速度很小，或二者运动的速度都很小时，才可以用这两个式子去计算。第一讲 力的处理一、矢量的运算1、加法表达：
22、 + = 。abc名词： 为“和矢量” 。法则：平行四边形法则。如图 1 所示。和矢量大小：c = ，其中 为 和 的夹角。cosab22 ab和矢量方向： 在 、 之间，和 夹角 = arcsincaosb2ain272、减法表达： = 。acb名词： 为“被减数矢量” ， 为“ 减数矢量”， 为“差矢量”。a法则：三角形法则。如图 2 所示。将被减数矢量和减数矢量的起始端平移到一点，然后连接两时量末端，指向被减数时量的时量，即是差矢量。差矢量大小：a = ，其中 为 和 的夹角。cosb2 cb差矢量的方向可以用正弦定理求得。一条直线上的矢量运算是平行四边形和三角形法则的特例。例题：已知质
23、点做匀速率圆周运动，半径为 R ，周期为 T ，求它在 T 内和在 T 内的平均加速度412大小。解说：如图 3 所示，A 到 B 点对应 T 的过程，A 到 C 点对应 T 的过程。这三点的速度矢量分别设412为 、 和 。AvBC根据加速度的定义 = 得： = ， = atv0ABaAtvCaAtv由于有两处涉及矢量减法，设两个差矢量 = ， = 1B2 ，根据三角形法则，它们在图 3 中的大小、方向已绘出（ 的CvA v“三角形”已被拉伸成一条直线） 。本题只关心各矢量的大小，显然：= = = ，且： = = ， = 2AvBCTR21v2ATRv= T4所以： = = = ， = =
24、= 。ABa1tv4T22R8ACa2tvT42R8（学生活动）观察与思考：这两个加速度是否相等，匀速率圆周运动是不是匀变速运动？答：否；不是。3、乘法矢量的乘法有两种：叉乘和点乘，和代数的乘法有着质的不同。 叉乘8表达： = abc名词： 称“矢量的叉积” ，它是一个新的矢量。叉积的大小：c = absin，其中 为 和 的夹角。意义： 的大小对应由 和 作成的平行四边形的abcab面积。叉积的方向：垂直 和 确定的平面，并由右手螺旋定则确定方向，如图 4 所示。ab显然， ，但有： = ba 点乘表达： = cab名词：c 称“矢量的点积” ，它不再是一个矢量，而是一个标量。点积的大小：c
25、 = abcos ，其中 为 和 的夹角。ab二、共点力的合成1、平行四边形法则与矢量表达式2、一般平行四边形的合力与分力的求法余弦定理（或分割成 Rt）解合力的大小正弦定理解方向三、力的分解1、按效果分解2、按需要正交分解第二讲 物体的平衡一、共点力平衡1、特征：质心无加速度。2、条件： = 0 ，或 = 0 ， = 0FxyF例题：如图 5 所示，长为 L 、粗细不均匀的横杆被两根轻绳水平悬挂，绳子与水平方向的夹角在图上已标示，求横杆的重心位置。解说：直接用三力共点的知识解题，几何关系比较简单。答案：距棒的左端 L/4 处。（学生活动）思考：放在斜面上的均质长方体，按实际情况分析受力，斜面
26、的支持力会通过长方体的重心吗？解：将各处的支持力归纳成一个 N ，则长方体受三个力（G 、f 、N ）必共点，由此推知，N 不可能通过长方体的重心。正确受力情形如图 6 所示（通常的受力图是将受力物体看成一个点，这时，N 就过重心了） 。9答：不会。二、转动平衡1、特征：物体无转动加速度。2、条件： = 0 ，或 M+ =M- M如果物体静止，肯定会同时满足两种平衡，因此用两种思路均可解题。3、非共点力的合成大小和方向：遵从一条直线矢量合成法则。作用点：先假定一个等效作用点，然后让所有的平行力对这个作用点的和力矩为零。第三讲 习题课1、如图 7 所示，在固定的、倾角为 斜面上，有一块可以转动的
27、夹板（ 不定） ，夹板和斜面夹着一个质量为 m 的光滑均质球体，试求： 取何值时，夹板对球的弹力最小。解说：法一，平行四边形动态处理。对球体进行受力分析，然后对平行四边形中的矢量 G 和 N1 进行平移，使它们构成一个三角形，如图 8 的左图和中图所示。由于 G 的大小和方向均不变，而 N1 的方向不可变，当 增大导致 N2 的方向改变时，N 2 的变化和 N1的方向变化如图 8 的右图所示。显然，随着 增大， N1 单调减小，而 N2 的大小先减小后增大，当 N2 垂直 N1 时，N 2 取极小值，且 N2min = Gsin。法二，函数法。看图 8 的中间图，对这个三角形用正弦定理，有：=
28、 ，即：N 2 = ， 在 0 到sin2iGsin180之间取值，N 2 的极值讨论是很容易的。答案：当 = 90时，甲板的弹力最小。2、把一个重为 G 的物体用一个水平推力 F 压在竖直的足够高的墙壁上，F 随时间 t 的变化规律如图 9所示，则在 t = 0 开始物体所受的摩擦力 f 的变化图线是图 10 中的哪一个？解说：静力学旨在解决静态问题和准静态过程的问题，但本题是一个例外。物体在竖直方向的运动先加速后减速，平衡方程不再适用。如何避开牛顿第二定律，是本题授课时的难点。静力学的知识，本题在于区分两种摩擦的不同判据。水平方向合力为零，得：支持力 N 持续增大。物体在运动时，滑动摩擦力
29、 f = N ，必持续增大。但物体在静止后静摩擦力f G ，与 N 没有关系。10对运动过程加以分析，物体必有加速和减速两个过程。据物理常识，加速时，f G ，而在减速时 f G 。 （B）3、如图 11 所示，一个重量为 G 的小球套在竖直放置的、半径为 R 的光滑大环上，另一轻质弹簧的劲度系数为 k ，自由长度为 L（ L2R） ，一端固定在大圆环的顶点 A ，另一端与小球相连。环静止平衡时位于大环上的 B 点。试求弹簧与竖直方向的夹角 。解说：平行四边形的三个矢量总是可以平移到一个三角形中去讨论，解三角形的典型思路有三种：分割成直角三角形（或本来就是直角三角形） ；利用正、余弦定理；利用
30、力学矢量三角形和某空间位置三角形相似。本题旨在贯彻第三种思路。分析小球受力矢量平移，如图 12 所示，其中 F 表示弹簧弹力，N 表示大环的支持力。（学生活动）思考：支持力 N 可不可以沿图 12 中的反方向？（正交分解看水平方向平衡不可以。 ）容易判断，图中的灰色矢量三角形和空间位置三角形 AOB 是相似的，所以：RABGF由胡克定律：F = k（ - R） 几何关系： = 2Rcos B解以上三式即可。答案：arccos 。)GkR(2L（学生活动）思考：若将弹簧换成劲度系数 k较大的弹簧，其它条件不变，则弹簧弹力怎么变？环的支持力怎么变？答：变小；不变。（学生活动）反馈练习：光滑半球固定
31、在水平面上，球心 O 的正上方有一定滑轮，一根轻绳跨过滑轮将一小球从图 13 所示的 A 位置开始缓慢拉至 B 位置。试判断：在此过程中，绳子的拉力 T 和球面支持力 N 怎样变化？解：和上题完全相同。答：T 变小，N 不变。4、如图 14 所示，一个半径为 R 的非均质圆球，其重心不在球心 O 点，先将它置于水平地面上，平衡时球面上的 A 点和地面接触；再将它置于倾角为 30的粗糙斜面上，平衡时球面上的 B 点与斜面接触，已知 A 到 B 的圆心角也为 30。试求球体的重心 C 到球心 O 的距离。解说：练习三力共点的应用。根据在平面上的平衡，可知重心 C 在 OA 连线上。根据在斜面上的平
32、衡，支持力、重力和静摩擦力共点，可以画出重心的具体位置。几何计算比较简单。答案： R 。3（学生活动）反馈练习：静摩擦足够，将长为 a 、厚为 b 的砖块码在倾角为 11的斜面上，最多能码多少块？解：三力共点知识应用。答： 。ctgba4、两根等长的细线，一端拴在同一悬点 O 上，另一端各系一个小球，两球的质量分别为 m1 和 m2 ，已知两球间存在大小相等、方向相反的斥力而使两线张开一定角度，分别为 45 和 30，如图 15 所示。则 m1 : m2为多少？解说：本题考查正弦定理、或力矩平衡解静力学问题。对两球进行受力分析，并进行矢量平移，如图 16 所示。首先注意，图 16 中的灰色三角
33、形是等腰三角形，两底角相等，设为 。而且，两球相互作用的斥力方向相反，大小相等，可用同一字母表示，设为 F 。对左边的矢量三角形用正弦定理，有：= singm145i同理，对右边的矢量三角形，有： = singm230sinF解两式即可。答案：1 ： 。2（学生活动）思考：解本题是否还有其它的方法？答：有将模型看成用轻杆连成的两小球，而将 O 点看成转轴，两球的重力对 O 的力矩必然是平衡的。这种方法更直接、简便。应用：若原题中绳长不等，而是 l1 ：l 2 = 3 ：2 ，其它条件不变， m1 与 m2 的比值又将是多少？解：此时用共点力平衡更加复杂（多一个正弦定理方程） ，而用力矩平衡则几
34、乎和“思考”完全相同。答：2 ：3 。5、如图 17 所示，一个半径为 R 的均质金属球上固定着一根长为 L 的轻质细杆，细杆的左端用铰链与墙壁相连，球下边垫上一块木板后，细杆恰好水平，而木板下面是光滑的水平面。由于金属球和木板之间有摩擦（已知摩擦因素为 ） ，所以要将木板从球下面向右抽出时，至少需要大小为 F 的水平拉力。试问：现要将木板继续向左插进一些，至少需要多大的水平推力？解说：这是一个典型的力矩平衡的例题。以球和杆为对象，研究其对转轴 O 的转动平衡，设木板拉出时给球体的摩擦力为 f ，支持力为 N ，重力为 G ，力矩平衡方程为：f R + N（ R + L）= G（R + L）
35、球和板已相对滑动，故：f = N 12解可得：f = RL)(G再看木板的平衡，F = f 。同理，木板插进去时，球体和木板之间的摩擦 f= = F。RL)(G答案： 。FRL第四讲 摩擦角及其它一、摩擦角1、全反力：接触面给物体的摩擦力与支持力的合力称全反力，一般用 R 表示，亦称接触反力。2、摩擦角：全反力与支持力的最大夹角称摩擦角，一般用 m 表示。此时，要么物体已经滑动，必有： m = arctg（ 为动摩擦因素） ，称动摩擦力角；要么物体达到最大运动趋势，必有： ms = arctgs（ s 为静摩擦因素） ，称静摩擦角。通常处理为 m = ms 。3、引入全反力和摩擦角的意义：使分
36、析处理物体受力时更方便、更简捷。二、隔离法与整体法1、隔离法：当物体对象有两个或两个以上时，有必要各个击破，逐个讲每个个体隔离开来分析处理，称隔离法。在处理各隔离方程之间的联系时，应注意相互作用力的大小和方向关系。2、整体法：当各个体均处于平衡状态时，我们可以不顾个体的差异而讲多个对象看成一个整体进行分析处理，称整体法。应用整体法时应注意“系统” 、 “内力”和“外力”的涵义。三、应用1、物体放在水平面上，用与水平方向成 30的力拉物体时，物体匀速前进。若此力大小不变，改为沿水平方向拉物体，物体仍能匀速前进，求物体与水平面之间的动摩擦因素 。解说：这是一个能显示摩擦角解题优越性的题目。可以通过
37、不同解法的比较让学生留下深刻印象。法一，正交分解。 （学生分析受力列方程得结果。 ）法二，用摩擦角解题。引进全反力 R ，对物体两个平衡状态进行受力分析，再进行矢量平移，得到图 18 中的左图和中间图（注意：重力 G 是不变的，而全反力 R 的方向不变、 F 的大小不变） ， m 指摩擦角。再将两图重叠成图 18 的右图。由于灰色的三角形是一个顶角为 30的等腰三角形，其顶角的角平分线必垂直底边故有：m = 15。最后，= tg m 。答案：0.268 。（学生活动）思考：如果 F 的大小是可以选择的，那么能维13持物体匀速前进的最小 F 值是多少？解：见图 18，右图中虚线的长度即 Fmin
38、 ，所以，F min = Gsinm 。答：Gsin15（其中 G 为物体的重量） 。2、如图 19 所示，质量 m = 5kg 的物体置于一粗糙斜面上，并用一平行斜面的、大小 F = 30N 的推力推物体，使物体能够沿斜面向上匀速运动，而斜面体始终静止。已知斜面的质量 M = 10kg ，倾角为 30，重力加速度 g = 10m/s2 ，求地面对斜面体的摩擦力大小。解说：本题旨在显示整体法的解题的优越性。法一，隔离法。简要介绍法二，整体法。注意，滑块和斜面随有相对运动，但从平衡的角度看，它们是完全等价的，可以看成一个整体。做整体的受力分析时，内力不加考虑。受力分析比较简单，列水平方向平衡方程
39、很容易解地面摩擦力。答案：26.0N 。（学生活动）地面给斜面体的支持力是多少？解：略。答：135N 。应用：如图 20 所示，一上表面粗糙的斜面体上放在光滑的水平地面上，斜面的倾角为 。另一质量为m 的滑块恰好能沿斜面匀速下滑。若用一推力 F 作用在滑块上，使之能沿斜面匀速上滑，且要求斜面体静止不动，就必须施加一个大小为 P = 4mgsincos 的水平推力作用于斜面体。使满足题意的这个 F 的大小和方向。解说：这是一道难度较大的静力学题，可以动用一切可能的工具解题。法一：隔离法。由第一个物理情景易得，斜面于滑块的摩擦因素 = tg对第二个物理情景，分别隔离滑块和斜面体分析受力，并将 F
40、沿斜面、垂直斜面分解成 Fx 和 Fy ，滑块与斜面之间的两对相互作用力只用两个字母表示（N 表示正压力和弹力， f 表示摩擦力） ，如图 21 所示。对滑块，我们可以考查沿斜面方向和垂直斜面方向的平衡Fx = f + mgsinFy + mgcos= N且 f = N = Ntg综合以上三式得到：Fx = Fytg+ 2mgsin 对斜面体，只看水平方向平衡就行了P = fcos+ Nsin即：4mgsincos=Ncos+ Nsin代入 值，化简得：F y = mgcos 代入可得：F x = 3mgsin最后由 F = 解 F 的大小，由 tg= 解 F 的方向（设 为 F 和斜面的夹角
41、） 。2yxy14答案：大小为 F = mg ，方向和斜面夹角 = arctg( )指向斜面内部。2sin81 ctg31法二：引入摩擦角和整体法观念。仍然沿用“法一” 中关于 F 的方向设置（见图 21 中的 角） 。先看整体的水平方向平衡，有：Fcos(- ) = P 再隔离滑块，分析受力时引进全反力 R 和摩擦角 ，由于简化后只有三个力（R 、mg 和 F） ，可以将矢量平移后构成一个三角形，如图 22 所示。在图 22 右边的矢量三角形中，有： = = )sin(F)(90simg)cos(g注意：= arctg= arctg(tg) = 解式可得 F 和 的值。例 1：如图所示的装置
42、中，斜面的倾角逐渐增大到 时，A 将要下滑；倾角 时，A 一定下滑。00A 重为 。G1516第三节 物体的平衡一、共点力平衡例 1：如图 5 所示，长为 L 、粗细不均匀的横杆被两根轻绳水平悬 挂，绳子与水平方向的夹角在图上已标示，求横杆的重心位置。解说：直接用三力共点的知识解题，几何关系比较简单。答案：距棒的左端 L/4 处。（学生活动）思考：放在斜面上的均质长方体，按实际情况分析受力， 斜面的支持力会通过长方体的重心吗？解：将各处的支持力归纳成一个 N ，则长方体受三个力（G 、f 、N）必共点，由此推 知，N 不可能通过长方体的重心。正确受力情形如图 6 所示（通常的受力图是将受力物体
43、看成一 个点，这时，N 就过重心了） 。答：不会。二、转动平衡作用点：先假定一个等效作用点，然后让所有的力对这个作用点的合力矩为零。例 2：半径为 R、质量为 M1 的均匀圆球与一质量为 M2 的重物分别用细绳 AD 和 ACE 悬挂于同一点 A，并处于平衡，如图 2 所示。已知悬点 A 到球心 O 的距离为 L，不考虑绳的 质量和绳与球心的摩擦，试求悬挂圆球的绳 AD 与竖直方向 AB 的夹角 。提示：对 A 点应用力矩平衡即可。答： = arcsin MR)(21三、三力共点的应用要点：1）分割成直角三角形（或本来就是直角三角形） ；2）利用正、余弦定理；3）利用力学矢量三角形和某空间位置
44、三角形相似。例 3：如图 11 所示，一个重量为 G 的小球套在竖直放置的、半径为 R 的光滑大环上，另一轻质弹簧的劲度系数为 k ，自由长度为 L（L2R ） ，一端固定在大圆环的顶点 A ，另一端与小球相连。环静止平衡时位于大环上的 B 点。试求弹簧与竖直方向的夹角 。分析小球受力矢量平移，如图 12 所示，其中 F 表示弹簧弹力，N 表示大环的支持力。容易判断，图中的灰色矢量三角形和空间位置三角形 AOB 是相似的，所以：RABGF由胡克定律：F = k（ - R） 几何关系： = 2Rcos AB解以上三式即可。17答案：arccos 。)(2GkRL思考：若将弹簧换成劲度系数 k 较
45、大的弹簧，其它条件不变，则弹簧弹力怎么变？环的支持力怎么变？答：变小；不变。练习：光滑半球固定在水平面上，球心 O 的正上方有一定滑轮，一根轻绳跨过滑轮将 一小球从图 13 所示的 A 位置开始缓慢拉至 B 位置。试判断：在此过程中，绳子的拉力 T 和球 面支持力 N 怎样变化？答：T 变小， N 不变。例 4：如图 14 所示，一个半径为 R 的非均质圆球，其重心不在球心 O 点，先将它置于水平地面上，平衡时球面上的 A点和地面接触；再将它置于倾角为 30的粗糙斜面上，平衡时球面上的 B 点与斜面接触， 已知A 到 B 的圆心角也为 30。试求球体的重心 C 到球心 O 的距离。解说：练习三
46、力共点的应用。根据在平面上的平衡，可知重心 C 在 OA 连线上。根据在斜面上的平衡，支持力、重力 和静摩擦力共点，可以画出重心的具体位置。几何计算比较简单。答案： R 。3练习：静摩擦足够，将长为 a 、厚为 b 的砖块码在倾角为 的斜面上，最多能码多少块？解：三力共点知识应用。答： 。ctgba四、研究平衡物体的极值问题的两种方法（1）解析法：根据物体的平衡条件列方程，在解方程时运用数学知识求极值。通常用到的数学知识有二次函数、均分定理、讨论分式、三角函数以及几何法求极值等。（2）图解法：即根据物体的平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据矢量图进行动态
47、分析，确定最大值和最小值。此法简便、直观。例 5、如图所示，将两个质量均为 m 的小球用细线相连悬挂于 O 点。（1）若用力 F 拉小球 a，使其悬线 Oa 向右偏离竖直方向 =30角，且整个装置处于平衡状态 求力 F 的最小值并说明其方向。（ 2）若在 a 球上施加符合（1）题条件的力 F 后，仍保持悬线 Oa 竖直，且使整个装置处于平衡求在 b 小球上施加的最小力的大小，并说明其方向。解析：（1）解一：欲使整个装置处于平衡状态，必须使 b 球、a 球均达到平衡状态。对小球 b 受重力和绳的张力，二力等值反向，故 ab 间线呈竖直状态。以 a、b 整体为研究对象，由于 a 所受绳的张 力不需
48、求出，取绳的方向为 x 轴，与绳垂直的方向为 y 轴，并设 F 与 y 轴夹 角为 ，如图所示由力的平衡，可得： Fcos=2mgsin30，当 =0 时，F 有最小值 Fmin=mg。18解二：图解法( 略 )（2） 解一：若保持悬线 Oa 竖直，且使整个装置处于平衡状态，以 a、b 整体为研究对 象， 不难得出 b 球所受拉力 F偏向左方。设 F与水平向左方向成 角，以水平方向为 x 轴， 如图所示。根据力的平衡， Fcos30=Fcos，F= Fcos30/ cos。当 =0 时，即 F水平向左时，F有最小值，解二：图解法( 略 )例 6、如图 7 所示，在固定的、倾角为 斜面上，有一块可以转动的夹板（ 不定） ，夹板和斜面夹着一个质量为 m 的光滑均质球体，试求： 取何值时，夹板对球的弹力最小。解说：法一，平行四边形动态处理。对球体进行受力分析，然后对平行四边形中的矢量 G 和 N
