1、- 1 -蚌埠一中 20182019 学年度第一学期期中考试高三数学（文科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求1.已知全集 ， ， ，则集合 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：因为 AB=x|x0 或 x1，所以 ，故选 D.考点：集合的运算.视频2.若复数 满足 ( 是虚数单位)，则 的共轭复数是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由复数的除法运算计算得 ，再由共轭复数的定义求解即可.【详解】复数 满足 ，所以 .则 的共轭复数是 .故选 B.【点睛】本题主要考查了复
2、数的除法运算及共轭复数的概念，属于基础题.3.如图是导函数 的图象，那么函数 在下面哪个区间是减函数（ ）- 2 -A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由 ，结合导函数的图像可得解.【详解】由图可知，当 时， .即函数 的减区间为： .故选 A.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，属于基础题.4.已知 、 表示两条不同直线， 表示平面，则下列说法正确的是（ ）A. 若 ， ，则B. 若 ， ，则C. 若 ， ，则D. 若 ， ，则【答案】B【解析】- 3 -如图, ,但 相交, 错;,但 , 错;,但 , 错;故本题选 5.函数 的定义域为A. B. C. D. 【答
3、案】C【解析】，故定义域为 ，故选 C6.为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象（ ）A. 向右平移 个单位B. 向左平移 个单位C. 向右平移 个单位D. 向左平移 个单位【答案】C【解析】试题分析： ，因此只需将向右平移 个单位考点：三角函数化简及平移7.已知数列 为等差数列，且 ，则 的值为（ ）- 4 -A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由等差数列的性质可知 ，解得 ，又 ，从而得解.【详解】由数列 为等差数列，可知 .所以 ，有 .所以 .故选 B.【点睛】本题主要考查了等差数列性质，属于基础题.8.若 是常数，则“ 且 ”是“对任意 ，有 ”的 （ ）A. 充分不
4、必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 必要条件【答案】A【解析】充分性：若“ 且 ”，则“对任意 ，有 ”成立；必要性：若“对任意 ，有 ”，则“ 或 且 ”；所以是充分不必要条件，故选 A。9.平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知两点 、 ，若点 满足 ，其中 ，且 ，则点 的轨迹方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由 C 点满足 ，其中 、R，且 +=1，知点 C 在直线 AB 上，故求出直- 5 -线 AB 的方程即求出点 C 的轨迹方程【详解】 C 点满足 且 + =1， A、B. C 三点共线. C 点的轨迹是直线 AB又 A(3,1)、 B
5、(1,3)，直线 AB 的方程为： 整理得 x+2y5=0故 C 点的轨迹方程为 x+2y5=0故应选 D.【点睛】利用平面向量判定三点共线往往有以下两种方法： 三点共线 ； 为平面上任一点， 三点共线 ，且 .10.已知 是 上是增函数，那么实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据 在 上单调递增，由对数函数的单调性确定 ，由一次函数的单调性确定 的范围，再根据单调递增确定在分段点 处两个值的大小，从而解决问题【详解】由 是 上是增函数，则有： ，解得： .故选 C.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式及单调性，属于中档题.分段函数的单调性是分段函数性质
6、中的难点，也是高考命题热点，要正确解答这种题型，必须熟悉各段函数本身的性质，在此基础上，不但要求各段函数的单调性一致，最主要的也是最容易遗忘的是，要使分界点处两函数的单调性与整体保持一致.11.已知抛物线的顶点在原点，焦点在 轴上，其上的点 到焦点的距离为 5，则抛物线- 6 -方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设出抛物线方程，结合抛物线的焦半径公式计算求解即可.【详解】依题意，设抛物线方程为 ，则 ，所以 ，即抛物线方程为 .故选 D.【点睛】在处理抛物线上的点到焦点的距离时，往往利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离，但要注意抛物线的方程是那种标准方程
7、，如：抛物线 上的点到焦点 的距离为 ，抛物线 上的点 到焦点 的距离为，抛物线 上的点 到焦点 的距离为 ，抛物线上的点 到焦点 的距离为 .12.如果存在实数 ，使 成立，那么实数 x 的取值范围是 （ ）A. -1，1 B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由 ，可得 ，解不等式求解即可.【详解】由 ，若存在实数 ，使 成立，则 ，即 .又 或 .所以 或-2.当且仅当 时，上式成立.- 7 -故选 A.【点睛】本题主要考查了方程的有解问题，属于基础题.二、填空题：每题 5 分，共 20 分，将答案填在答题纸上13.若命题 ，则命题 _【答案】【解析】【分析】由特称命题的否定为全称
8、命题即可得解.【详解】命题 ，为特称命题，所以 .【点睛】本题主要考查了含有特称量词的否定，属于基础题.14.若某程序框图如所示，则该程序运作后输出的 等于_【答案】63【解析】【分析】x=1，y=1，满足条件 x5，执行循环体，依此类推，当 x=6，不满足条件 x5，退出循环体，从而输出此时的 y 即可【详解】对于图中程序运作后可知，所求的 y 是一个“累加的运算” ，即第一步是 3；- 8 -第二步是 7；第三步是 15；第四步是 31，第五步是 63.此时 x=6，不满足条件 x5，退出循环体，故答案为：63.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时
9、一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.15.在ABC 中， ,且 ，则ABC 的面积为_【答案】【解析】【分析】由已知，结合正弦定理可得 ，从而可求 sinC 及 C，利用三角形的内角和公式计算A，利用三角形的面积公式 进行计算可求.【详解】 ABC 中,由正弦定理可得 ， .bB=当 C= 时, A= ,
10、当 C= 时, A= , .故答案为： 或 .【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形及面积公式的求解，属于基础题.- 9 -16.在平面直角坐标系 中，已知 ， ，则 的最小值为 _ 【答案】2【解析】【分析】的最小值转化为函数 图象上的点与 图象上的点的距离的最小值的平方，从而求解函数 与 平行的切线，两条直线的距离最小，再平方即为所求.【详解】实数 , , , 满足 ，可得 ,并且 ，的最小值转化为：函数 图象上的点与 图象上的点的距离的最小值的平方，由 可得 ，与直线 xy2=0 平行的直线的斜率为 1，所以 ，解得 x=1，切点坐标(1,1)，与 xy2=0 平行的直线为： y1=x1
11、，即 xy=0，而 xy=0 和 xy2=0 的距离是 ，的最小值为：2.故答案为：2.【点睛】本题考查了求函数的导数以及导数的几何意义的应用，考查了平行线间的距离公式，解答本题的关键是理解曲线上的点到直线的最小距离，与这条直线和其平行且与曲线的相切的直线间的距离的关系.三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答- 10 -17.已知公差不为 0 的等差数列 中， ，且 成等比数列（1）求数列 的通项公式；（2）设数列 满足 ，求适合方程 的正整数 的值【答案】 （1） ；（2） 【解析】试题分析：（1）由
12、 成等比数列，建立关于 的方程，解出 ，即可求数列 的通项公式；（2）表示出 ，利用裂项相消法求出 ，建立关于 的方程，求解即可.试题解析：（1）设等差数列 的公差为 ，由 ，得，解得 或 （舍） ，故 ；（2）由（1）知 ， ，依题有 解得 考点：1、等差数列与等比数列性质；2、裂项求和【归纳点睛】裂项相消法适用于形如 （其中数列 各项均不为零的等差数列， 为常数）的数列，一类是常见的有相邻两项的裂项求和，如本题；另一类是隔一项的裂项求和，如 或 18.某市组织高三全体学生参加计算机操作比赛，等级分为 1 至 10 分，随机调阅了 A、B 两所学校各 60 名学生的成绩，得到样本数据如下：-
13、 11 -（1）计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较.(2)从 A 校样本数据成绩分别为 7 分、8 分和 9 分的学生中按分层抽样方法抽取 6 人，若从抽取的 6 人中任选 2 人参加更高一级的比赛，求这 2 人成绩之和大于或等于 15 的概率.【答案】 （1）A 校的学生的计算机成绩比较稳定，总体得分情况比 B 校好.（2）【解析】【分析】（1）分别求出 A 校样本的平均成绩、方差和 B 校样本的平均成绩、方差，从而得到两校学生的计算机成绩平均分相同，A 校学生的计算机成绩比较稳定，总体得分情况比较集中，（2）根据分成抽样求出故抽取的 7 分有 4 人即为 ，8 分和 9
14、分的学生中各为 1 人，记为 ， ，一一列举所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可【详解】 （1）从 A 校样本数据的条形图可知：成绩分别为 4 分、5 分、6 分、7 分、8 分、9分的学生分别有：6 人、15 人、21 人、12 人、3 人、3 人. A 校样本的平均成绩为 ，A 校样本的方差为 . 从 B 校样本数据统计表可知：B 校样本的平均成绩为 ，B 校样本的方差为 . 因为 所以两校学生的计算机成绩平均分相同，又因为 ，所以 A 校的学生的计算机成绩比较稳定，总体得分情况比 B 校好.(2) 依题意，A 校成绩为 7 分的学生应抽取的人数为： 人，- 12
15、 -设为 ； 成绩为 8 分的学生应抽取的人数为： 人，设为 ； 成绩为 9 分的学生应抽取的人数为： 人，设为 ； 所以，所有基本事件有： 共 15 个， 其中，满足条件的基本事件有： 共 9 个， 所以从抽取的 6 人中任选 2 人参加更高一级的比赛，这 2 人成绩之和大于或等于 15 的概率为 .【点睛】本题主要考查了频率分布直方图及计算平均数和方差、古典概型，属于基础题.19.如图，在边长为 的菱形 中， ，点 ， 分别是边 ， 的中点，沿 将 翻折到 ，连接 ， ， ，得到如图的五棱锥 ，且 .（1）求证： ；（2）求四棱锥 的体积.【答案】 （1）见解析（2）3【解析】试题分析：（
16、1）由三角形的中位线定理，证得 ，再由菱形的对角线互相垂直，证得，即可得到 ，再由已知可得 ，然后利用线面垂直的判定得到答案；（2）设 ，连接 ，结合已知可得 ，通过解直角三角形求得平面 ，然后求出梯形 的面积，代入棱锥的体积公式得到答案试题解析：（1）证明： 分别是边 的中点，菱形 对角线互相垂直， ， ， 平面 ， 平面 ，- 13 - 平面 ， 平面 ，（2）设 ，连接 ， ， 为等边三角形， ，在 中，在 中， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， ，四棱锥 的体积考点：直线与平面垂直的判定；几何体的体积的计算20.如图，A、B 分别是椭圆 的左、右端点，F 是椭圆的右焦点，点 P 在椭圆
17、上，且位于 x 轴上方，PAPF.（1）点 P 的坐标；（2）设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点，M 到直线 AP 的距离等于 MB，求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）先求出 PA、F 的坐标，设出 P 的坐标，求出 、 的坐标，由题意可得，且 y0，- 14 -解方程组求得点 P 的坐标（2）求出直线 AP 的方程，设点 M 的坐标，由 M 到直线 AP 的距离等于|MB|，求出点 M 的坐标，再求出椭圆上的点到点 M 的距离 d 的平方得解析式，配方求得最小值试题解析：（1）由已知可得点 A（6，0） ，F（4，0） ，设点 P（x
18、，y） ，则 =（x+6，y） ，=（x4，y） 由已知可得 ，2x 2+9x18=0，解得 x= ，或 x=6由于 y0，只能 x= ，于是 y= 点 P 的坐标是 （2）直线 AP 的方程是 ，即 x y+6=0 设点 M（m，0） ，则 M 到直线 AP 的距离是 于是 =|6m|，又6m6，解得 m=2，故点 M（2，0） 设椭圆上的点（x，y）到点 M 的距离为 d，有 d 2=（x2） 2+y2 =x24x+4+20 x2 = （x） 2+15，当 x= 时，d 取得最小值 21.已知函数 （1）当 时，求 在区间 上的最大值和最小值；（2）若对 恒成立，求 的取值范围【答案】 （
19、1） ， ；（2） 【解析】试题分析：（1）求出 的导数，通过讨论 的取值范围，确定函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值；（2）求出 的导数，通过讨论 的取值范围，确定函数的单调区间，从而求出 的取值范围- 15 -试题解析：（1）函数 的定义域为 ，当 时， ， ；当 ，有 ；当 ，有 ， 在区间 上是增函数，在 上为减函数，又 ， （2） ，则 的定义域为 ，若 ，令 ，得极值点 ，当 ，即 时，在 上有 ，在 上有 ，在 上有，此时 在区间 上是增函数，并且在该区间上有 ，不合题意；当 ，即 时，同理可知， 在区间 上，有 ，也不合题意；若 ，则有 ，此时在区间 上恒有 ，从而
20、在区间 上是减函数；要使 在此区间上恒成立，只须满足 ，由此求得 的范围是 综合可知，当 时，对 恒成立考点：利用求解函数的最值；利用导数研究函数的单调性【方法点晴】本题主要考查了利用导数求解函数的极值与最值、利用导数研究函数的单调性及其应用，属于中档试题，本题的解答中求出函数 的导数，通过讨论 的取值范围，- 16 -确定函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值，通过讨论 的取值范围，确定函数的单调区间，从而求出 的取值范围，着重考查了分类讨论思想及转化与化归思想的应用22.已知曲线 C 的极坐标方程是 4cos .以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标
21、系，直线 l 的参数方程是 (t 是参数)(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，且|AB| ，求直线的倾斜角 的值【答案】 （1） ；（2） 或【解析】【分析】（1）利用三种方程的转化方法，将曲线 C 的极坐标方程和直线 l 的参数方程转化为普通方程；（2）先将直 l 的参数方程是 （t 是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数t1，t 2的关系式，利用|AB|=|t 1t 2|，得到 的三角方程，解方程得到 的值，要注意角 范围【详解】(1)由 4co
22、s ，得 24cos .因为 x2y 2 2，xcos ，所以x2y 24x，即曲线 C 的直角坐标方程为(x2) 2y 24.(2)将 代入圆的方程(x2) 2y 24，得(tcos 1) 2(tsin ) 24，化简得 t22tcos 30.设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t 2，由根与系数的关系，得所以|AB|t 1t 2| ，故 4cos21，解得 cos .因为直线的倾斜角 0，)，所以 或 .【点睛】利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题经过点 P(x0， y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为 (t 为参数)若 A， B为直线 l 上两点，其对应的参数分别为 ，线段
23、 AB 的中点为 M，点 M 所对应的参数为 ，则以下结论在解题中经常用到：- 17 -(1) ；(2) ；(3) ；(4) 23. 选修 4-5：不等式选讲设函数 的最大值为 （1）求 ；（2）若 ，求 的最大值【答案】 （1） ；（2）1【解析】试题分析：（1）根据绝对值的几何意义去绝对值，将函数 转化为分段函数，得到，可以根据函数单调性，或者画出分段函数的图象，可以得出函数的最大值为 2；（2）由第（1）问可知 ，所以条件变为 ，若想求的最大值，可以令 ，则可以根据基本不等式，当且仅当 时等号成立，所以 ，即 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，所以 的最大值为 1试题解析：（1）当 时， ；当 时， ；当 时， ，所以当 时， 取得最大值 （2）因为 ，所以当且仅当 时取等号，此时 取得最大值 1考点：1绝对值不等式；2基本不等式。
