1、1第 4 讲 直线、平面平行的判定与性质一、选择题1设 ， 是两个不同的平面， m， n 是平面 内的两条不同直线， l1， l2是平面 内的两条相交直线，则 的一个充分不必要条件是( )A m l1且 n l2 B m 且 n l2C m 且 n D m 且 l1 解析：选 A由 m l1， m ，得 l1 ，同理 l2 ，又 l1， l2相交， l1， l2 ，所以 ，反之不成立，所以 m l1且 n l2是 的一个充分不必要条件2已知 m， n， l 是不同的直线， ， 是不同的平面，以下命题正确的是( )若 m n， m ， n ，则 ；若 m ， n ， ， l m，则 l n；若
2、m ， n ， ，则 m n；若 ， m ， n ，则 m nA BC D解析：选 D若 m n， m ， n ，则 或 ， 相交；若 m ， n ， ， l m，则 l n 或 l n 或 l， n 异面；正确；若 ， m ， n ，则 m n 或 m n 或 m， n 异面3如图所示，在空间四边形 ABCD 中， E， F 分别为边 AB， AD 上的点，且AE EB AF FD14，又 H， G 分别为 BC， CD 的中点，则( )A BD平面 EFGH，且四边形 EFGH 是矩形B EF平面 BCD，且四边形 EFGH 是梯形C HG平面 ABD，且四边形 EFGH 是菱形D EH平
3、面 ADC，且四边形 EFGH 是平行四边形2解析：选 B由 AE EB AF FD14 知 EF BD，所以 EF平面 BCD又 H， G 分 15别为 BC， CD 的中点，所以 HG BD，所以 EF HG 且 EF HG所以四边形 EFGH 是梯形 124在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F， G 分别是 A1B1， B1C1， BB1的中点，给出下列四个推断： FG平面 AA1D1D； EF平面 BC1D1； FG平面 BC1D1；平面 EFG平面 BC1D1其中推断正确的序号是( )A BC D解析：选 A因为在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F， G 分别
4、是 A1B1， B1C1， BB1的中点，所以 FG BC1，因为 BC1 AD1，所以 FG AD1，因为 FG平面 AA1D1D， AD1平面 AA1D1D，所以 FG平面 AA1D1D，故正确；因为 EF A1C1， A1C1与平面 BC1D1相交，所以 EF 与平面 BC1D1相交，故错误；因为 E， F， G 分别是 A1B1， B1C1， BB1的中点，所以 FG BC1，因为 FG平面 BC1D1， BC1平面 BC1D1，所以 FG平面 BC1D1，故正确；因为 EF 与平面 BC1D1相交，所以平面 EFG 与平面 BC1D1相交，故错误故选 A5设 l， m， n 表示不同
5、的直线， ， ， 表示不同的平面，给出下列命题：若 m l，且 m ，则 l ；若 m l，且 m ，则 l ；若 l， m， n，则 l m n；若 m， l， n，且 n ，则 l m其中正确命题的个数是( )A1 B23C3 D4解析：选 B由题易知正确；错误， l 也可以在 内；错误，以墙角为例即可说明；正确，可以以三棱柱为例说明，故选 B6如图，在四面体 ABCD 中，若截面 PQMN 是正方形，则在下列说法中，错误的为( )A AC BDB AC BDC AC截面 PQMND异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45解析：选 B因为截面 PQMN 是正方形，所以 PQ MN， QM
6、 PN，则 PQ平面 ACD、 QM平面 BDA，所以 PQ AC， QM BD，由 PQ QM 可得 AC BD，故 A 正确；由 PQ AC 可得 AC截面 PQMN，故 C 正确；由 BD PN，所以 MPN 是异面直线 PM 与 BD 所成的角，且为 45，D 正确；由上面可知： BD PN， MN AC所以 ， ，PNBD ANAD MNAC DNAD而 AN DN， PN MN，所以 BD ACB 错误故选 B二、填空题7如图，透明塑料制成的长方体容器 ABCDA1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边 BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：4没有水的部
7、分始终呈棱柱形；水面 EFGH 所在四边形的面积为定值；棱 A1D1始终与水面所在平面平行；当容器倾斜如图所示时， BEBF 是定值其中正确的命题是_解析：由题图，显然是正确的，是错误的；对于，因为 A1D1 BC， BC FG，所以 A1D1 FG 且 A1D1平面 EFGH，所以 A1D1平面 EFGH(水面)所以是正确的；对于，因为水是定量的(定体积 V)，所以 S BEFBC V，即 BEBFBC V12所以 BEBF (定值)，即是正确的2VBC答案：8棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， M 是棱 AA1的中点，过 C， M， D1作正方体的截面，则截面的面积是_解析
8、：由面面平行的性质知截面与平面 AB1的交线 MN 是 AA1B 的中位线，所以截面是梯形 CD1MN，易求其面积为 92答案：929已知平面 ， P 且 P ，过点 P 的直线 m 与 ， 分别交于 A， C，过点 P 的直线 n 与 ， 分别交于 B， D，且 PA6， AC9， PD8，则 BD 的长为_解析：如图 1，因为 AC BD P，图 1所以经过直线 AC 与 BD 可确定平面 PCD因为 ， 平面 PCD AB， 平面 PCD CD，5所以 AB CD所以 ，PAAC PBBD即 ，所以 BD 69 8 BDBD 245如图 2，同理可证 AB CD图 2所以 ，即 ，PAP
9、C PBPD 63 BD 88所以 BD24综上所述， BD 或 24245答案： 或 2424510如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，若 BC AC， BAC ， AC4， M 为 AA1的中点， 3点 P 为 BM 的中点， Q 在线段 CA1上，且 A1Q3 QC，则 PQ 的长度为_解析：由题意知， AB8，过点 P 作 PD AB 交 AA1于点 D，连接 DQ，则 D 为 AM 的中点， PD AB412又因为 3，A1QQC A1DAD所以 DQ AC， PDQ ， DQ AC3， 3 346在 PDQ 中， PQ 42 32 243cos 3 13答案： 13三、解答题1
10、1如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 为菱形， E， F 分别是线段 A1D， BC1的中点延长 D1A1到点 G，使得 D1A1 A1G证明： GB平面 DEF证明：连接 A1C， B1C，则 B1C， BC1交于点 F因为 CB D1A1， D1A1 A1G， 所以 CB A1G，所以四边形 BCA1G 是平行四边形，所以 GB A1C 又 GB平面 A1B1CD， A1C平面 A1B1CD，所以 GB平面 A1B1CD又点 D， E， F 均在平面 A1B1CD 内，所以 GB平面 DEF12如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F， G， H
11、分别是 BC， CC1， C1D1， A1A 的中点求证：(1)BF HD1；(2)EG平面 BB1D1D；(3)平面 BDF平面 B1D1H证明：(1)如图所示，取 BB1的中点 M，连接 MH， MC1，易证四边形 HMC1D1是平行四边形，所以 HD1 MC1又因为 MC1 BF，7所以 BF HD1(2)取 BD 的中点 O，连接 EO， D1O，则 OE DC，又 D1G DC， 12 12所以 OE D1G，所以四边形 OEGD1是平行四边形，所以 GE D1O 又 GE平面 BB1D1D， D1O平面 BB1D1D，所以 EG平面 BB1D1D(3)由(1)知 BF HD1，又
12、BD B1D1， B1D1， HD1平面 B1D1H， BF， BD平面 BDF，且B1D1 HD1 D1， DB BF B，所以平面 BDF平面 B1D1H1如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形(1)证明：平面 A1BD平面 CD1B1；(2)若平面 ABCD平面 B1D1C直线 l，证明 B1D1 l证明：(1)由题设知 BB1 DD1， 所以四边形 BB1D1D 是平行四边形，所以 BD B1D1又 BD平面 CD1B1，B1D1平面 CD1B1，所以 BD平面 CD1B1因为 A1D1 B1C1 BC， 所以四边形 A1BCD1是平行四边形，所以 A1B D
13、1C又 A1B平面 CD1B1， D1C平面 CD1B1，所以 A1B平面 CD1B1又因为 BD A1B B，所以平面 A1BD平面 CD1B1(2)由(1)知平面 A1BD平面 CD1B1，又平面 ABCD平面 B1D1C直线 l，平面 ABCD平面 A1BD直线 BD，8所以直线 l直线 BD，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，四边形 BDD1B1为平行四边形，所以 B1D1 BD，所以 B1D1 l2如图， ABCD 与 ADEF 为平行四边形， M， N， G 分别是 AB， AD， EF 的中点(1)求证： BE平面 DMF；(2)求证：平面 BDE平面 MNG证明：(1)如图，连接 AE，则 AE 必过 DF 与 GN 的交点 O，连接 MO，则 MO 为 ABE 的中位线，所以 BE MO，又 BE平面 DMF， MO平面 DMF，所以 BE平面 DMF(2)因为 N， G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD， EF 的中点，所以 DE GN，又 DE平面MNG， GN平面 MNG，所以 DE平面 MNG又 M 为 AB 中点，所以 MN 为 ABD 的中位线，所以 BD MN，又 BD平面 MNG， MN平面 MNG，所以 BD平面 MNG，又 DE 与 BD 为平面 BDE 内的两条相交直线，所以平面 BDE平面 MNG
