1、第 4 讲 直线、平面平行的判定与性质学生用书 P1301直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言 图形语言 符号语言判定定理平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行 线面平行 )因为 la，a， l，所以 l性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“ 线面平行线线平行 ”)因为l，l ， b，所以 lb2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言 图形语言 符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”)因为a，b，a bP，a，b ，所以 性质定理如果
2、两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行因为， a， b，所以 ab判断正误(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面( )(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线( )(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行( )(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面( )(5)若直线 a 与平面 内无数条直线平行，则 a.( )(6)若 ，直线 a，则 a.( )答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6)对于直线 m，n 和平面 ，若 n，则
3、“m n”是“m ”的( )A充分不必要条件 B.必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案：D(教材习题改编)如果直线 a平面 ，那么直线 a 与平面 的位置关系可另等价表述，下列命题中正确的是( )A直线 a 上有无数个点不在平面 内B直线 a 与平面 内的所有直线平行C直线 a 与平面 内的无数条直线不相交D直线 a 与平面 内的任意一条直线都不相交解析：选 D.因为 a平面 ，直线 a 与平面 无公共点， 因此 a 和平面 内的任意一条直线都不相交，故选 D.(教材习题改编)下列命题为真的是( )A若直线 l 与平面 有两个公共点，则 lB若 ，a，b ，则 a 与 b 是异
4、面直线C若 ，a，则 aD若 b，a，则 a 与 一定相交解析：选 C.A 错误直线 l 和平面 有两个公共点，则 l.B 错误若 ，a，b，则 a 与 b 异面或平行C 正确因为 a 与 无公共点，则 a.D 错误a 与 有可能平行故选 C.(教材习题改编)设 m，n 表示直线，、 表示平面，则下列命题为真的是 ( )A.Error!m n B.Error!mC.Error!mn DError! mn解析：选 C.A 错误，因为 m 可能与 n 相交或异面B 错误，因为 m 可能在 内D 错误，m、n 可能异面或相交，故选 C.(教材习题改编)如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E
5、为 DD1 的中点，则 BD1 与平面AEC 的位置关系为_解析：连接 BD，设 BDAC O ，连接 EO，在BDD 1中，O 为 BD 的中点，E 为DD1的中点，所以 EO 为BDD 1的中位线，则 BD1EO，而 BD1平面 ACE，EO 平面ACE，所以 BD1平面 ACE.答案：平行线面、面面平行的相关命题的真假判断学生用书 P130典例引领(1)已知 m，n 是两条不同直线， ， 是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A若 ， 垂直于同一平面，则 与 平行B若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行C若 ， 不平行，则在 内不存在与 平行的直线D若 m，n 不平行，则 m
6、 与 n 不可能垂直于同一平面(2)设 m，n 是两条不同的直线， ， 是三个不同的平面，给出下列四个命题：若 m，n ，则 mn；若 ， ，m，则 m ；若 n， mn，m ，则 m；若 m，n，mn，则 .其中是真命题的是_( 填上正确命题的序号) 【解析】 (1)A 项， 可能相交 ，故错误；B 项，直线 m，n 的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C 项，若 m，n，m n，则 m，故错误；D项，假设 m，n 垂直于同一平面 ，则必有 mn 与已知 m，n 不平行矛盾，所以原命题正确，故 D 项正确(2)mn 或 m，n 异面，故错误； 易知正确；m 或 m，故错误； 或
7、与 相交，故 错误【答案】 (1)D (2)(1)判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理 ，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确 通关练习已知直线 a，b，平面 ， ，且 a，b，则“ab”是“”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选 B.根据题意，分两步来判断：当 时，因为 a，且 ，所以 a，又因为 b，所以
8、 ab，则“ab”是“”的必要条件，若 ab，不一定 ，当 b 时，又由 a，则 ab，但此时 不成立，即 ab 不是 的充分条件 ，则“ab”是“ ”的必要不充分条件 ，故选 B.线面平行的判定与性质(高频考点)学生用书 P131平行关系是空间几何中的一种重要关系，包括线线平行、线面平行、面面平行，其中线面平行在高考试题中出现的频率很高，一般出现在解答题中主要命题角度有：(1)判断线面的位置关系；(2)线面平行的证明；(3)线面平行性质的应用典例引领角度一 判断线面的位置关系(2017高考全国卷)如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正
9、方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( )【解析】 对于选项 B，如图所示 ，连接 CD，因为 ABCD，M，Q 分别是所在棱的中点，所以 MQCD，所以 ABMQ ，又 AB平面 MNQ，MQ平面 MNQ，所以 AB平面 MNQ.同理可证选项 C，D 中均有 AB平面 MNQ.故选 A.【答案】 A角度二 线面平行的证明如图，四棱锥 PABCD 中，ADBC，AB BC AD，E ，F ，H 分别为线段 AD，PC，CD 的中点，AC 与 BE 交12于 O 点，G 是线段 OF 上一点(1)求证：AP平面 BEF；(2)求证：GH平面 PAD.【证明】 (1)连接 EC，因为 A
10、DBC，BC AD，12所以 BC AE， 所以四边形 ABCE 是平行四边形，所以 O 为 AC 的中点又因为 F 是 PC 的中点，所以 FOAP，因为 FO平面 BEF，AP平面 BEF，所以 AP平面 BEF.(2)连接 FH，OH ，因为 F，H 分别是 PC，CD 的中点，所以 FHPD ，所以 FH平面 PAD.又因为 O 是 BE 的中点，H 是 CD 的中点，所以 OHAD，所以 OH平面 PAD.又 FHOH H，所以平面 OHF平面 PAD.又因为 GH平面 OHF，所以 GH平面 PAD.角度三 线面平行性质的应用如图，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 8 的正方形，
11、四条侧棱长均为 2 .点17G，E，F ，H 分别是棱 PB， AB，CD，PC 上共面的四点，平面 GEFH平面ABCD，BC平面 GEFH.(1)证明：GHEF；(2)若 EB2，求四边形 GEFH 的面积【解】 (1)证明：因为 BC平面 GEFH，BC平面 PBC，且平面 PBC平面 GEFHGH ，所以 GHBC.同理可证 EFBC，因此 GHEF.(2)如图，连接 AC，BD 交于点 O，BD 交 EF 于点 K，连接 OP，GK.因为 PAPC， O 是 AC 的中点，所以 POAC，同理可得 POBD.又 BDACO，且 AC，BD 都在底面内，所以 PO底面 ABCD.又因为
12、平面 GEFH平面 ABCD，且 PO平面 GEFH，所以 PO平面 GEFH.因为平面 PBD平面 GEFHGK，所以 POGK，且 GK底面 ABCD，从而 GKEF .所以 GK 是梯形 GEFH 的高由 AB8，EB2 得 EBABKBDB14，从而 KB DB OB，14 12即 K 为 OB 的中点再由 POGK 得 GK PO，12即 G 是 PB 的中点 ，且 GH BC4.12由已知可得 OB4 .2PO 6，PB2 OB2 68 32所以 GK3.故四边形 GEFH 的面积 S GKGH EF2 318.4 82判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点
13、 )；(2)利用线面平行的判定定理( a，b，ab a)；(3)利用面面平行的性质定理( ，a a)；(4)利用面面平行的性质(，a，a，a a) 通关练习如图所示，已知四边形 ABCD 是正方形，四边形 ACEF 是矩形，AB2，AF1，M是线段 EF 的中点(1)求证：MA平面 BDE.(2)若平面 ADM平面 BDEl，平面 ABM平面 BDEm，试分析 l 与 m 的位置关系，并证明你的结论解：(1)证明：如图，记 AC 与 BD 的交点为 O，连接 OE.因为 O，M 分别是 AC，EF 的中点，四边形 ACEF 是矩形，所以四边形 AOEM 是平行四边形，所以 AMOE.又因为 O
14、E平面 BDE，AM 平面 BDE，所以 AM平面 BDE.(2)lm，证明如下：由(1)知 AM平面 BDE，又 AM平面 ADM，平面 ADM平面 BDEl，所以 lAM，同理 ，AM平面 BDE，又 AM平面 ABM，平面 ABM平面 BDEm ，所以 mAM，所以 lm .面面平行的判定与性质学生用书 P132典例引领如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，E，F，G ，H 分别是 AB，AC，A 1B1，A 1C1 的中点，求证：(1)B，C，H，G 四点共面；(2)平面 EFA1平面 BCHG.【证明】 (1)因为 GH 是A 1B1C1的中位线，所以 GHB 1C1.又因为 B1
15、C1BC，所以 GHBC，所以 B，C，H，G 四点共面 (2)因为 E，F 分别为 AB，AC 的中点，所以 EFBC，因为 EF平面 BCHG，BC 平面 BCHG，所以 EF平面 BCHG.因为 A1G EB， 所以四边形 A1EBG 是平行四边形，所以 A1EGB.因为 A1E平面 BCHG，GB 平面 BCHG，所以 A1E平面 BCHG.因为 A1EEFE ，所以平面 EFA1平面 BCHG.1.在本例条件下，若 D 为 BC1 的中点，求证：HD平面 A1B1BA.证明：如图所示，连接 HD，A 1B，因为 D 为 BC1的中点，H 为 A1C1的中点，所以 HDA 1B，又 H
16、D平面 A1B1BA，A1B平面 A1B1BA，所以 HD平面 A1B1BA.2.在本例条件下，若 D1，D 分别为 B1C1，BC 的中点，求证：平面 A1BD1平面AC1D.证明：如图所示，连接 A1C 交 AC1于点 M，因为四边形 A1ACC1是平行四边形 ，所以 M 是 A1C 的中点，连接 MD，因为 D 为 BC 的中点，所以 A1BDM.因为 A1B平面 A1BD1，DM平面 A1BD1，所以 DM平面 A1BD1.又由三棱柱的性质知，D 1C1 BD， 所以四边形 BDC1D1为平行四边形 ，所以 DC1BD1.又 DC1平面 A1BD1.BD1平面 A1BD1，所以 DC1
17、平面 A1BD1，又因为 DC1DMD，DC1，DM 平面 AC1D.所以平面 A1BD1平面 AC1D.证明面面平行的方法(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理；如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行” “线面平行” “面面平行”的相互转化 通关练习如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形(1)证明：平面 A1BD平面 CD1B1；(2)若平面 ABCD平面 B1D1C直线 l，证明 B1D1l.证明：(1)由题
18、设知 BB1 DD1， 所以四边形 BB1D1D 是平行四边形，所以 BDB 1D1.又 BD平面 CD1B1，B1D1平面 CD1B1，所以 BD平面 CD1B1.因为 A1D1 B1C1 BC， 所以四边形 A1BCD1是平行四边形，所以 A1BD1C.又 A1B平面 CD1B1，D1C平面 CD1B1，所以 A1B平面 CD1B1.又因为 BDA 1BB，所以平面 A1BD平面 CD1B1.(2)由(1)知平面 A1BD平面 CD1B1，又平面 ABCD平面 B1D1C直线 l，平面 ABCD平面 A1BD直线 BD，所以直线 l直线 BD，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，四边形
19、BDD1B1为平行四边形，所以 B1D1BD，所以 B1D1l.线线、线面、面面平行间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面面平行的性质平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a，a.解决平行问题应注意三点(1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误(2)面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件(3)如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交 学生用书 P303(单独成册 )1设 ， 是两个不同
20、的平面，m，n 是平面 内的两条不同直线， l1，l 2 是平面 内的两条相交直线，则 的一个充分不必要条件是 ( )Aml 1 且 nl 2 B.m 且 nl 2Cm 且 n Dm 且 l1解析：选 A.由 ml 1，m，得 l1，同理 l2，又 l1，l 2相交，l 1，l 2，所以，反之不成立，所以 ml 1且 nl 2是 的一个充分不必要条件2已知 m，n，l 是不同的直线， 是不同的平面，以下命题正确的是( )若 mn，m，n ，则 ；若 m，n， ，lm，则 ln；若 m，n，则 mn；若 ，m，n，则 mn.A B.C D解析：选 D.若 mn，m，n，则 或 ， 相交；若 m，
21、n， ，lm ，则 ln 或 ln 或 l，n 异面；正确；若 ，m ，n ，则 mn 或 mn 或 m，n 异面3.如图所示，在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别为边 AB，AD 上的点，且AE EBAF FD14，又 H，G 分别为 BC，CD 的中点，则( )ABD平面 EFGH，且四边形 EFGH 是矩形BEF 平面 BCD，且四边形 EFGH 是梯形CHG平面 ABD，且四边形 EFGH 是菱形DEH平面 ADC，且四边形 EFGH 是平行四边形解析：选 B.由 AEEB AFFD14 知 EF BD，所以 EF平面 BCD.又 H，G 15分别为 BC，CD 的中点，所以 HG
22、 BD，所以 EFHG 且 EFHG .所以四边形 EFGH 是 12梯形4.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F，G 分别是 A1B1，B 1C1，BB 1 的中点，给出下列四个推断：FG平面 AA1D1D；EF平面 BC1D1；FG平面 BC1D1；平面 EFG平面 BC1D1.其中推断正确的序号是( )A B.C D解析：选 A.因为在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F ，G 分别是 A1B1，B 1C1，BB 1的中点，所以 FGBC 1，因为 BC1AD1，所以 FGAD 1，因为 FG平面 AA1D1D，AD 1平面 AA1D1D，所以 FG平面 AA1D1D，故
23、正确；因为 EFA 1C1，A 1C1与平面 BC1D1相交，所以 EF 与平面 BC1D1相交，故错误；因为 E，F ，G 分别是 A1B1，B 1C1，BB 1的中点，所以 FGBC 1，因为 FG平面 BC1D1，BC 1平面 BC1D1，所以 FG平面 BC1D1，故 正确；因为 EF 与平面 BC1D1相交，所以平面 EFG 与平面 BC1D1相交，故错误故选 A.5设 l，m，n 表示不同的直线， 表示不同的平面，给出下列命题：若 ml，且 m，则 l；若 ml，且 m，则 l；若 l， m， n，则 lm n；若 m， l， n，且 n，则 lm .其中正确命题的个数是( )A1
24、 B.2C3 D4解析：选 B.由题易知正确； 错误，l 也可以在 内；错误，以墙角为例即可说明；正确，可以以三棱柱为例说明，故选 B.6.如图，透明塑料制成的长方体容器 ABCDA1B1C1D1 内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：没有水的部分始终呈棱柱形；水面 EFGH 所在四边形的面积为定值；棱 A1D1 始终与水面所在平面平行；当容器倾斜如图所示时，BEBF 是定值其中正确的命题是_解析：由题图，显然是正确的，是错误的；对于，因为 A1D1BC，BCFG，所以 A1D1FG 且 A1D1平面 EFGH，所以 A1D1平面 EFG
25、H(水面) 所以是正确的；对于，因为水是定量的(定体积 V)，所以 SBEFBCV，即 BEBFBCV.12所以 BEBF (定值)，即是正确的2VBC答案：7棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M 是棱 AA1 的中点，过 C，M ，D 1 作正方体的截面，则截面的面积是_解析：由面面平行的性质知截面与平面 AB1的交线 MN 是AA 1B 的中位线，所以截面是梯形 CD1MN，易求其面积为 .92答案：928已知平面 ，P 且 P ，过点 P 的直线 m 与 ， 分别交于 A，C，过点 P 的直线 n 与 ， 分别交于 B， D，且 PA6，AC9，PD 8，则 BD 的长
26、为_解析：如图 1，因为 ACBDP，图 1所以经过直线 AC 与 BD 可确定平面 PCD.因为 ， 平面 PCDAB ，平面 PCDCD，所以 ABCD.所以 ，PAAC PBBD即 ，所以 BD .69 8 BDBD 245如图 2，同理可证 ABCD.图 2所以 ，即 ，PAPC PBPD 63 BD 88所以 BD24.综上所述，BD 或 24.245答案： 或 242459如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，底面 ABCD 为菱形，E，F 分别是线段A1D，BC 1 的中点延长 D1A1 到点 G，使得 D1A1A 1G.证明：GB 平面 DEF.证明：连接 A1C，B
27、1C，则 B1C，BC 1交于点 F.因为 CB D1A1，D 1A1A 1G， 所以 CB A1G，所以四边形 BCA1G 是平行四边形，所以 GBA 1C. 又 GB平面 A1B1CD，A 1C平面 A1B1CD，所以 GB平面 A1B1CD.又点 D，E，F 均在平面 A1B1CD 内，所以 GB平面 DEF.10.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F，G，H 分别是 BC，CC 1，C 1D1，A 1A的中点求证：(1)BFHD 1；(2)EG 平面 BB1D1D；(3)平面 BDF平面 B1D1H.证明：(1)如图所示，取 BB1的中点 M，连接 MH，MC 1，
28、易证四边形 HMC1D1是平行四边形，所以 HD1MC1.又因为 MC1BF，所以 BFHD 1.(2)取 BD 的中点 O，连接 EO，D 1O，则 OE DC， 又 D1G DC， 12 12所以 OE D1G，所以四边形 OEGD1是平行四边形，所以 GED 1O. 又 GE平面 BB1D1D，D 1O平面 BB1D1D，所以 EG平面 BB1D1D.(3)由(1)知 BF HD1，又 BD B1D1，B 1D1，HD 1平面 B1D1H，BF，BD 平面 BDF，且 B1D1HD1D 1，DBBF B，所以平面 BDF平面 B1D1H.1.如图，在四面体 ABCD 中，若截面 PQMN
29、 是正方形，则在下列说法中，错误的为( )AACBDBACBDCAC截面 PQMND异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45解析：选 B.因为截面 PQMN 是正方形，所以 PQMN，QM PN，则 PQ平面 ACD、QM 平面 BDA，所以 PQAC，QM BD，由 PQQM 可得 ACBD， 故 A 正确；由 PQAC 可得 AC截面 PQMN，故 C 正确；由 BDPN，所以 MPN 是异面直线 PM 与 BD 所成的角，且为 45，D 正确；由上面可知：BDPN，MNAC.所以 ， ，PNBD ANAD MNAC DNAD而 ANDN，PNMN，所以 BDAC.B 错误故选 B.2设
30、 ， 是三个不同的平面， a，b 是两条不同的直线，有下列三个条件：a ， b；a，b；b ，a .如果命题“ a，b ，且_，则 ab”为真命题，则可以在横线处填入的条件是_(把所有正确条件的序号都填上)解析：由面面平行的性质定理可知，正确；当 b，a 时，a 和 b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，正确故填入的条件为或.答案：或3.如图所示，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，E，F，G，H 分别是棱CC1，C 1D1，D 1D，DC 的中点，N 是 BC 的中点，点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动，则 M 只需满足条件_ 时，就有 MN平面 B1BDD1.(注：请填上你
31、认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析：连接 HN，FH，FN，则 FHDD 1，HN BD，所以平面 FHN平面 B1BDD1，只需 MFH，则 MN平面 FHN，所以 MN平面 B1BDD1.答案：点 M 在线段 FH 上( 或点 M 与点 H 重合)4.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，若 BCAC ，BAC ，AC4，M 为 AA1 的中3点，点 P 为 BM 的中点，Q 在线段 CA1 上，且 A1Q3QC ，则 PQ 的长度为_解析：由题意知，AB8，过点 P 作 PDAB 交 AA1于点 D，连接 DQ，则 D 为 AM的中点，PD AB4.12又因为 3，A
32、1QQC A1DAD所以 DQAC，PDQ ，DQ AC3，3 34在PDQ 中，PQ .42 32 243cos 3 13答案： 135一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示(1)请将字母 F，G，H 标记在正方体相应的顶点处( 不需说明理由) ；(2)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系，并证明你的结论解： (1)点 F，G，H 的位置如图所示(2)平面 BEG平面 ACH，证明如下：因为 ABCDEFGH 为正方体，所以 BCFG，BCFG，又 FGEH ，FGEH，所以 BCEH，BCEH，于是四边形 BCHE 为平行四边形，所以 BECH.又 CH平面 AC
33、H，BE平面 ACH，所以 BE平面 ACH.同理 BG平面 ACH.又 BEBG B，所以平面 BEG平面 ACH.6如图，ABCD 与 ADEF 为平行四边形，M，N，G 分别是 AB，AD，EF 的中点(1)求证：BE平面 DMF；(2)求证：平面 BDE平面 MNG.证明：(1)如图，连接 AE，则 AE 必过 DF 与 GN 的交点 O，连接 MO，则 MO 为ABE 的中位线 ， 所以 BEMO ，又 BE平面 DMF，MO 平面 DMF，所以 BE平面 DMF.(2)因为 N，G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD，EF 的中点，所以 DEGN，又 DE平面 MNG，GN平面 MNG，所以 DE平面 MNG.又 M 为 AB 中点，所以 MN 为ABD 的中位线，所以 BDMN，又 BD平面 MNG，MN 平面 MNG，所以 BD平面 MNG，又 DE 与 BD 为平面 BDE 内的两条相交直线 ，所以平面 BDE平面 MNG.
