1、12.3.2 双曲线的简单几何性质学习目标：1.掌握双曲线的简单几何性质(重点)2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义(难点)自 主 预 习探 新 知1双曲线的几何性质标准方程 1( a0， b0)x2a2 y2b2 1( a0， b0)y2a2 x2b2图形范围 x a 或 x a y a 或 y a对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点 ( a,0)，( a,0) (0， a)，(0， a)轴长 实轴长2 a，虚轴长2 b离心率 e 1ca性质渐近线 y xba y xab思考：(1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？提示 (1)渐近线相
2、同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同(2)e2 1 ， 是渐近线的斜率或其倒数c2a2 b2a2 ba2双曲线的中心和等轴双曲线(1)双曲线的中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心(2)等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率 e .2基础自测1思考辨析(1)双曲线虚轴的两个端点，不是双曲线的顶点( )(2)等轴双曲线的渐近线是 y x.( )(3)双曲线的实轴长一定大于虚轴长( )答案 (1) (2) (3)22双曲线 y21 的顶点坐标是( )x216A(4,0)，(0,1) B(4,0)，(4,0)C(0,1)，(0，1) D(4,0)，(0，1)B 由题意知
3、，双曲线的焦点在 x 轴上，且 a4，因此双曲线的顶点坐标是(4,0)，(4,0)3若双曲线 1( m0)的渐近线方程为 y x，则双曲线的焦点坐标是x24 y2m 32_. 【导学号：46342096】( ，0)，( ，0) 由双曲线方程得出其渐近线方程为 y x， m3，求得7 7m2双曲线方程为 1，从而得到焦点坐标为( ，0)，( ，0)x24 y23 7 7合 作 探 究攻 重 难根据双曲线方程研究几何性质(1)已知 ab0，椭圆 C1的方程为 1，双曲线 C2的方程为x2a2 y2b2 1， C1与 C2的离心率之积为 ，则 C2的渐近线方程为( )x2a2 y2b2 32A x
4、y0 B xy02 2C x2y0 D2 xy0(2)求双曲线 nx2 my2 mn(m0， n0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程解 (1)椭圆 C1的离心率 e1 ，双曲线 C2的离心率 e2 .由 e1e2a2 b2a a2 b2a ，解得 ，所以 ，所以双曲线 C2的渐近线a2 b2a a2 b2a 32 (ba)2 12 ba 22方程是 y x，即 x y0.22 2答案 A(2)把方程 nx2 my2 mn(m0， n0)，化为标准方程 1( m0， n0)，x2m y2n由此可知，实半轴长 a ，m虚半轴长 b ， c ，n m n3焦点坐标为( ，
5、0)，( ，0)，m n m n离心率 e .ca m nm 1 nm顶点坐标为( ，0)，( ，0)m m渐近线的方程为 y x x.nm mnm规律方法 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键(2)由标准方程确定焦点位置，确定 a， b 的值(3)由 c2 a2 b2求出 c 值，从而写出双曲线的几何性质提醒：求性质时一定要注意焦点的位置跟踪训练1(1)下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y2 x 的是( )A x2 1 B y21y24 x24C x21 D y2 1y24 x24C A、B 选项中双曲线的焦点在 x 轴上，可排除；C
6、、D 选项中双曲线的焦点在 y 轴上，令 x20，得 y2 x；令 y2 0，得 y x.故选 Cy24 x24 12(2)若双曲线 1 的离心率为 ，则其渐近线方程为( )x2a2 y2b2 3A y2 x B y x2C y x D y x12 22B 在双曲线中，离心率 e ，可得 ，故所求的双曲线的渐近线方ca 3 ba 2程是 y x.2利用几何性质求双曲线方程(1)已知双曲线 1( a0， b0)的右焦点为 F，点 A 在双曲线的渐近线上，x2a2 y2b2 OAF 是边长为 2 的等边三角形( O 为原点)，则双曲线的方程为( )A 1 B 1x24 y212 x212 y24C
7、 y21 D x2 1x23 y234(2)渐近线方程为 y x，且经过点 A(2，3)的双曲线方程为_. 12【导学号：46342097】思路探究 (1) OAF 是边长为 2 的等边三角形求 c 和点 A 的坐标渐近线的斜率求 a， b(2)方法一：分焦点在 x 轴和 y 轴上两种情况求解方法：待定系数法求解解析 (1)不妨设点 A 在第一象限，由题意可知 c2，点 A 的坐标为(1， )，所以3 ，又 c2 a2 b2，所以 a21， b23，故所求双曲线的方程为 x2 1，故选 Dba 3 y23(2)法一：因为双曲线的渐近线方程为 y x，12若焦点在 x 轴上，设所求双曲线的标准方
8、程为： 1( a0， b0)，则 . x2a2 y2b2 ba 12因为点 A(2，3)在双曲线上，所以 1. 4a2 9b2联立，无解若焦点在 y 轴上，设所求双曲线的标准方程为 1( a0， b0)，则 . y2a2 x2b2 ab 12因为点 A(2，3)在双曲线上，所以 1. 9a2 4b2联立，解得 a28， b232.故所求双曲线的标准方程为 1.y28 x232法二：由双曲线的渐近线方程为 y x，可设双曲线的方程为 y2 ( 0)12 x222因为点 A(2，3)在双曲线上，所以 (3) 2 ，即 8.2222故所求双曲线的标准方程为 1.y28 x232答案 (1)D (2)
9、 1y28 x232规律方法 1.由双曲线的几何性质求双曲线的方程的常用方法：一是设法确定基本5量 a， b， c，从而求出双曲线方程；二是采用待定系数法首先依据焦点的位置设出标准方程的形式，再由题目条件确定参数的值当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，防止漏解为了避免讨论，也可设方程为 mx2 ny21( mn0)，从而直接求解2常见双曲线方程的设法(1)渐近线为 y x 的双曲线方程可设为 ( 0， m0， n0)；如果两条nm x2m2 y2n2渐近线的方程为 AxBy0，那么双曲线的方程可设为 A2x2 B2y2 m(m0， A0， B0)(2)与双曲线 1 或
10、1( a0， b0)共渐近线的双曲线方程可设为x2a2 y2b2 y2a2 x2b2 或 ( 0)x2a2 y2b2 y2a2 x2b2(3)与双曲线 1( a0， b0)离心率相等的双曲线系方程可设为x2a2 y2b2 ( 0)或 ( 0)，这是因为离心率不能确定焦点位置x2a2 y2b2 y2a2 x2b2跟踪训练2求满足下列条件的双曲线的标准方程；(1)以直线 2x3y0 为渐近线，过点(1,2)；(2)与双曲线 1 具有相同的渐近线，且过点 M(3，2)；y24 x23(3)过点(2,0)，与双曲线 1 离心率相等；y264 x216解 (1)由题意可设所求双曲线方程为 4x29 y2
11、 ( 0)，将点(1,2)的坐标代入方程解得 32.因此所求双曲线的标准方程为 1.y2329 x28(2)设所求双曲线方程为 ( 0)y24 x23由点 M(3，2)在双曲线上得 ，得 2.44 93故所求双曲线的标准方程为 1.x26 y28(3)当所求双曲线的焦点在 x 轴上时，可设其方程为 ( 0)，将点(2,0)的x264 y216坐标代入方程得 ，故所求双曲线的标准方程为 y21；116 x246当所求双曲线的焦点在 y 轴上时，可设其方程为 ( 0)，将点(2,0)的坐标y264 x216代入方程得 0， b0)，不妨设点 M 在双曲线的右支上，如图，x2a2 y2b2AB BM
12、2 a， MBA120，作 MH x 轴于 H，则 MBH60， BH a， MH a，所以3M(2a， a)将点 M 的坐标代入双曲线方程 1，得 a b，所以 e .故选 D3x2a2 y2b2 2答案 (1)D (2)D规律方法 求双曲线离心率的方法(1)若可求得 a， c，则直接利用 e 得解.ca7(2)若已知 a， b，可直接利用 e 得解.(3)若得到的是关于 a， c 的齐次方程 pc2 qac ra20( p， q， r 为常数，且 p0)，则转化为关于 e 的方程 pe2 qe r0 求解.跟踪训练3(1)设 F1， F2分别为双曲线 1( a0， b0)的左、右焦点，双曲
13、线上存在一x2a2 y2b2点 P 使得| PF1| PF2|3 b，| PF1|PF2| ab，则该双曲线的离心率为( )94A B C D343 53 94B 考虑双曲线的对称性，不妨设 P 在右支上，则| PF1| PF2|2 a，而|PF1| PF2|3 b，两式等号左右两边平方后相减，得| PF1|PF2| .又已知9b2 4a24|PF1|PF2| ab， ab ，得 (负值舍去)该双曲线的离心率 e 94 94 9b2 4a24 ba 43 ca .53(2)过双曲线 C： 1( a0， b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交 Cx2a2 y2b2于点 P.若点 P 的横坐
14、标为 2a，则 C 的离心率为_2 如图， F1， F2为双曲线 C 的左，右焦点，将点 P 的横坐标 2a 代入 13x2a2 y2b2中，得 y23 b2，不妨令点 P 的坐标为(2 a， b)，3此时 kPF2 ，3bc 2a ba得到 c(2 )a，3即双曲线 C 的离心率 e 2 .ca 3直线与双曲线的位置关系8探究问题1直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线一定相切吗？提示：可能相切，也可能相交，当直线和渐近线平行时，直线和双曲线相交且只有一个交点2过点(0,2)和双曲线 1 只有一个公共点的直线有几条？x216 y29提示：四条，其中两条切线，两条和渐近线平行的直线已知双
15、曲线 C： x2 y21 及直线 l： y kx1，(1)若直线 l 与双曲线 C 有两个不同的交点，求实数 k 的取值范围；(2)若直线 l 与双曲线 C 交于 A， B 两点， O 是坐标原点，且 AOB 的面积为 ，求实数2k 的值思路探究 直线方程与双曲线方程联立方程组判断“ ”与“0”的关系直线与双曲线的位置关系解 (1)联立方程组Error!消去 y 并整理得(1 k2)x22 kx20.直线与双曲线有两个不同的交点，则Error!解得 k ，且 k1.2 2若 l 与 C 有两个不同交点，实数 k 的取值范围为( ，1)(1,1)(1， )2 2(2)设 A(x1， y1)， B
16、(x2， y2)，对于(1)中的方程(1 k2)x22 kx20，由根与系数的关系，得 x1 x2 ，2k1 k2x1x2 ，21 k2| AB| |x1 x2|1 k2 1 k2 .(1 k2)(8 4k2)(1 k2)2又点 O(0,0)到直线 y kx1 的距离 d ，11 k2 S AOB |AB|d ，12 12 8 4k2(1 k2)2 2即 2k43 k20，解得 k0 或 k .629实数 k 的值为 或 0.62规律方法 直线与双曲线位置关系的判断方法1方程思想的应用把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为 ax2 bx c0 的形式，在a0 的情况下考察方程的判别式
17、(1) 0 时，直线与双曲线有两个不同的公共点(2) 0 时，直线与双曲线只有一个公共点(3) 0，符合题意，34所求直线 MN 的方程为 y x ，34 54即 3x4 y50.10法二 设 M(x1， y1)， N(x2， y2)， M， N 均在双曲线上，Error!两式相减，得 y y ，x2 x214 2 21 .y2 y1x2 x1 x2 x14(y2 y1)点 A 平分弦 MN， x1 x26，y1 y22. kMN .y2 y1x2 x1 x2 x14(y2 y1) 34经验证，该直线 MN 存在所求直线 MN 的方程为 y1 (x3)，34即 3x4 y50.当 堂 达 标固
18、 双 基1双曲线 1 的渐近线方程是( )x24 y29A y x B y x23 49C y x D y x32 94C 双曲线的焦点在 x 轴上，且 a2， b3，因此渐近线方程为 y x.322已知双曲线 1( a0)的离心率为 2，则 a( )x2a2 y23A2 B C D162 52D 由题意得 e 2， 2 a，a2 3a a2 3 a234 a2， a21， a1.3若一双曲线与椭圆 4x2 y264 有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为( )A y23 x236 B x23 y236C3 y2 x236 D3 x2 y236A 椭圆 4x2 y264，即
19、1，焦点为(0，4 )，离心率为 ，则双曲线的x216 y264 3 3211焦点在 y 轴上， c4 ， e ，从而 a6， b212，故所求双曲线的方程为 y23 x236.3234直线 y mx1 与双曲线 x2 y21 有公共点，则 m 的取值范围是( ) 【导学号：46342100】A m 或 m2 2B m 且 m02 2C mRD m2 2D 由Error! 得(1 m2)x22 mx20，由题意知 1 m20，或Error!解得 m .2 25求中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，经过点(3，2)，且一条渐近线的倾斜角为的双曲线的方程 6解 渐近线方程为 y x，设双曲线方程为 x23 y2 .将(3，2)代入求得33 3，所以双曲线方程为 y2 1.x23
