1、- 1 -高考大题增分课 三 数 列 中 的 高 考 热 点 问 题命题解读 全国卷中的数列与三角基本上是交替考查，难度不大，题目多为常规题从五年全国卷高考试题来看，本专题的热点题型有：一是等差、等比数列的基本运算；二是等差、等比数列的判定与证明；三是数列的求和问题(以裂项求和为主)，难度中等等差、等比数列的基本运算等差、等比数列的基本运算主要涉及两个数列的通项与求和公式，求解的关键是充分借助方程思想，代数列的通项或求和问题为公差 d(或公比 q)及首项 a1的方程求解问题【例 1】 (2017全国卷)已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，等比数列 bn的前 n 项和为 Tn， a11，
2、b11， a2 b22.(1)若 a3 b35，求 bn的通项公式；(2)若 T321，求 S3.解 设 an的公差为 d， bn的公比为 q，则 an1( n1) d， bn qn1 .由 a2 b22 得 d q3.(1)由 a3 b35 得 2d q26.联立和解得Error!(舍去)，Error!因此 bn的通项公式为 bn2 n1 .(2)由 b11， T321 得 q2 q200.解得 q5 或 q4.当 q5 时，由得 d8，则 S321.当 q4 时，由得 d1，则 S36.规律方法 在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准
3、确性在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷(2018北京高考)设 an是等差数列，且 a1ln 2， a2 a35ln 2.(1)求 an的通项公式；(2)求 ea1e a2e an.解 (1)设 an的公差为 d，因为 a2 a35ln 2，所以 2a13 d5ln 2.又 a1ln 2，所以 dln 2.所以 an a1( n1) d nln 2.- 2 -(2)因为 eln 22， e an an1 e ln 22.eanean 1所以数列e an是首项为 2，公比为 2 的等比数列，所以 ea1e a2e an 2(2 n1)2 n1 2.2 1 2n1 2
4、等差、等比数列的判定与证明等差(比)数列的判定与证明是高考中的常见题型之一，其基本方法是利用等差(比)数列定义，即证明 an1 an常数 .难度不大(an 1an 常 数 )【例 2】 (2014全国卷)已知数列 an的前 n 项和为Sn， a11， an0， anan1 S n1，其中 为常数(1)证明： an2 an ；(2)是否存在 ，使得 an为等差数列？并说明理由解 (1)证明：由题设知 anan1 S n1， an1 an2 S n1 1，两式相减得 an1 (an2 an) a n1 ，由于 an1 0，所以 an2 an .(2)由题设知 a11， a1a2 S 11，可得 a
5、2 1.由(1)知， a3 1.令 2a2 a1 a3，解得 4.故 an2 an4，由此可得 a2n1 是首项为 1，公差为 4 的等差数列， a2n1 4 n3；a2n是首项为 3，公差为 4 的等差数列， a2n4 n1.所以 an2 n1， an1 an2，因此存在 4，使得数列 an为等差数列规律方法 该类问题常以递推关系为载体，求解的关键是依据题目信息重新构造递推关系，并结合等差(比)数列的定义给予相应的证明记 Sn为等比数列 an的前 n 项和已知 S22， S36.(1)求 an的通项公式；(2)求 Sn，并判断 Sn1 ， Sn， Sn2 是否成等差数列解 (1)设 an的公
6、比为 q.由题设可得Error!解得 q2， a12.故 an的通项公式为 an(2) n.(2)由(1)可得- 3 -Sn (1) n .a1 1 qn1 q 23 2n 13由于 Sn2 Sn1 (1) n43 2n 3 2n 232 2 Sn，23 1 n2n 13 故 Sn1 ， Sn， Sn2 成等差数列数列的通项与求和问题数列的通项与求和是高考的必考题型，求通项属于基本问题，常涉及等差、等比数列的定义、性质、基本量的运算；求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择适当的求和方法常考的求和方法有：公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等【例 3】 (本题满分 12 分)(2016全
7、国卷) Sn为等差数列 an的前 n项和，且 .记 ，其中 x表示不超过 x 的最大整a1 1， S7 28 bn lg an数，如0.90，lg 991.(1)求 b1， b11， b101；(2)求 .数 列 bn的 前 1 000项 和信息提取 看到想到等差数列的求和公式；看到想到等差数列的通项公式及对数的运算性质；看到想到数列的常见求和方法规范解答 (1)设 an的公差为 d， S77 a428，所以a44，2 分所以d 1，a4 a134 分所以 an a1( n1) d n. 5 分所以 b1lg a1lg 10， b11lg a11lg 111， b101lg a101lg 10
8、12. 6 分(2)记 bn的前 n 项和为 Tn，则 T1 000 b1 b2 b1 000lg a1lg a2lg - 4 -a1 000，当 0lg an1 时，n1,2，9；7 分当 1lg an2 时，n10,11，99；9 分当 2lg an3 时n100,101，999；11 分当 lg an3 时， n1 000，所以 T1 000091902900311 893.12 分易错与防范易错点 防范措施对lg an认识错误先结合题设条件理解 x，再结合对数的运算性质求出 b1， b11， b101找不出lg an的规律求不出 bn的前1000 项的和结合(1)的结论，合情推理推出l
9、g an的规律，并分类求出 bn，最后利用分组求和求 bn的前 1000 项和.通性通法 (1)等差(或等比)数列的通项公式、前 n 项和公式中有五个元素 a1， d(或q)， n， an， Sn， “知三求二”是等差(等比)的基本题型，通过解方程(组)的方法达到解题的目的(2)数列的求和问题常采用“公式法” “裂项相消法”等设数列 an满足 a12 a23 a3 nan2 n1.(1)求 an的通项公式；(2)设 bn ，数列 bn的前 n 项和为 Sn，求证： Sn .ann 1 12 32解 (1)当 n1 时， a12111；当 n2 时， a12 a23 a3 nan2 n1，a12
10、 a23 a3( n1) an1 2( n1)1，得 nan2，即 an .2n当 n1 时， a1 2，21所以 anError!(2)由(1)知， bnError!- 5 -所以 bn0，所以 Sn S1 ；12当 n1 时， S1 ；12 32当 n2 时， bn 2 ，2n n 1 (1n 1n 1)所以 Sn b1 b2 bn 2 2 ，12 (12 13) (1n 1n 1) 32 2n 1因为 0，所以 Sn .2n 1 32 2n 1 32综上所述，对任意的 nN *， Sn .12 32大题增分专训1(2019湖北四校联考)在数列 an中， a12， an是 1 与 anan
11、1 的等差中项(1)求证：数列 是等差数列，并求 an的通项公式；1an 1(2)求数列 的前 n 项和 Sn.1n2an解 (1) an是 1 与 anan1 的等差中项，2 an1 anan1 ， an1 ，2an 1an an1 1 1 ，2an 1an an 1an 1 ，1an 1 1 anan 1 1an 1 1，数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，1a1 1 1an 1 1( n1) n， an .1an 1 n 1n(2)由(1)得 ，1n2an 1n n 1 1n 1n 1 Sn 1 .(112) (12 13) (13 14) (1n 1n 1) 1n 1 nn 1
12、2(2018石家庄一模)已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足2Sn2 n1 m(mR)(1)求数列 an的通项公式；(2)若数列 bn满足 bn ，求数列 bn的前 n 项和 Tn.1 2n 1 log2 anan 1解 (1)法一：当 n2 时，由 2Sn2 n1 m(mR)得 2Sn1 2 n m(mR)，- 6 -所以 2an2 Sn2 Sn1 2 n，即 an2 n1 (n2)，又 a1 S12 ，当 m2 时， a11 符合数列 an为等比数列，所以 an的通项公式m2为 an2 n1 .法二：由 2Sn2 n1 m(mR)得Error!从而有 a2 S2 S12， a3
13、 S3 S24，所以等比数列 an的公比 q 2，首项 a11，因此数列 an的通项公式为 an2 n1 .a3a2(2)由(1)可得 log2(anan1 )log 2(2n1 2n)2 n1，所以 bn ，1 2n 1 2n 1 12( 12n 1 12n 1)所以 Tn b1 b2 bn .12(1 13 13 15 12n 1 12n 1) n2n 13(2018广州一模)已知数列 an的前 n 项和为 Sn，数列 是首项为 1，公差为 2 的Snn等差数列(1)求数列 an的通项公式；(2)设数列 bn满足 5(4 n5)n，求数列 bn的前 n 项和 Tn.a1b1 a2b2 an
14、bn (12)解 (1)因为数列 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，Snn所以 12( n1)2 n1.Snn所以 Sn2 n2 n.当 n1 时， a1 S11；当 n2 时， an Sn Sn1 (2 n2 n)2( n1) 2( n1)4 n3，当 n1 时， a11 也符合上式所以数列 an的通项公式 an4 n3( nN *)(2)当 n1 时， ，所以 b12 a12；a1b1 12当 n2 时，由 5(4 n5)n，a1b1 a2b2 anbn (12)所以 5(4 n1)n1.a1b1 a2b2 an 1bn 1 (12)两式相减，得 (4 n3)n.anbn (12)因为 an4 n3，- 7 -所以 bn 2 n(当 n1 时，也符合此式)4n 3 4n 3 (12)n又 2，则数列 bn是首项为 2，公比为 2 的等比数列bn 1bn 2n 12n所以 Tn 2 n1 2.2 1 2n1 2
