1、1第 2 课时 均值不等式的应用学习目标 1.熟练掌握均值不等式及变形的应用2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题知识点一 均值不等式及变形均值不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件当 a0， b0 时，有 ；21a 1b ab a b2 a2 b22当且仅当 a b 时，以上三个等号同时成立知识点二 用均值不等式求最值用均值不等式 求最值应注意：x y2 xy(1)x， y 是否是正数；(2)求积 xy 的最大值时，应看和 x y 是否为定值；求和 x y 的最小值时，应看积 xy 是否为定值；(3)等号成立的条件是否满足1 y
2、 x 的最小值为 2( )1x2因为 x212 x，当且仅当 x1 时取等号所以当 x1 时，( x21) min2( )3由于 sin2x 2 4，所以 sin2x 的最小值为 4( )4sin2x sin2x4sin2x 4sin2x4当 x0 时， x3 x3 2 2 x 2 ， min2 ( )2x 1x 1x x2 1x 1x 2 (x3 2x) 2题型一 利用均值不等式求最值命题角度 1 求一元解析式的最值例 1 (1)若 x0，求函数 y x 的最小值，并求此时 x 的值；4x2(2)已知 x2，求 x 的最小值；4x 2(3)设 00 时， x 2 4，4x x4x当且仅当 x
3、 ，即 x24， x2 时，取等号4x函数 y x (x0)在 x2 处取得最小值 44x(2) x2， x20， x x2 22 26，4x 2 4x 2 x 2 4x 2当且仅当 x2 ，即 x4 时，等号成立4x 2 x 的最小值为 64x 2(3)00，32 y4 x(32 x)22 x(32 x)2 2 2x 3 2x2 92当且仅当 2x32 x，即 x 时，等号成立34 ，34 (0， 32)函数 y4 x(32 x) 的最大值为 (00， b0，若 是 3a与 3b的等比中项，则 的最小值为( )31a 1bA8B4C1D14答案 B解析 由题意知 3a3b3，即 3a b3，
4、所以 a b1因为 a0， b0，所以 (a b)1a 1b (1a 1b)2 22 4，ba ab baab当且仅当 a b 时，等号成立1275设 a， b， cR， ab2，且 c a2 b2恒成立，则 c 的最大值是( )A B2C D412 14答案 D解析 ab2， a2 b22 ab4又 c a2 b2恒成立， c4故选 D1用均值不等式求最值(1)利用均值不等式，通过恒等变形以及配凑，使得“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：“一正”各项为正数；“二定”“和”或“积”为定值；“三相等”等号一定能取到这三个条件缺一不可(2)利用
5、均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用均值不等式的条件(3)在求最值的一些问题中，若运用均值不等式求最值，等号取不到，这时通常可以借助函数 y x (p0)的单调性求得函数的最值px2求解应用题的方法与步骤(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答一、选择题1下列函数中，最小值为 4 的是( )A y x4xB ysin x (0 x)4sinxC ye x4e xD y x2 12x2 1答案 C解析 y x 中 x 可取负值，其最小值不可能为 4；由于 0 x，0sin x1，4x8又 ysin x
6、在(0，1上单调递减，最小值为 5；由于 ex0， ye x4e x24sinx4，当且仅当 ex2 时取等号，其最小值为ex4e x4， 1， y 2 ，当且仅当 x1 时取等号，其最小值为x2 1 x2 12x2 1 22 22已知 x1， y1 且 lgxlg y4，则 lgxlgy 的最大值是( )A4B2C1D14答案 A解析 x1， y1，lg x0，lg y0，lg xlgy 24，(lgx lgy2 )当且仅当 lgxlg y2，即 x y100 时取等号3已知 a0， b0， a b2，则 y 的最小值是( )1a 4bA B4C D572 92答案 C解析 a b2， 1a
7、 b2 1a 4b (1a 4b)(a b2 ) 2 52 2ab b2a 52 2abb2a 92，(当 且 仅 当2ab b2a， 即 b 2a 43时 ， 等 号 成 立 )故 y 的最小值为 1a 4b 924若 0 x ，则函数 y x 的最大值为( )12 1 4x2A1B C D12 14 18答案 C解析 因为 0 x ，所以 14 x20，所以 x 2x 12 1 4x2 12 1 4x2 12 4x2 1 4x22，当且仅当 2x ，即 x 时等号成立，故选 C14 1 4x2 245若 xy 是正数，则 2 2的最小值是( )(x12y) (y 12x)9A3B C4D7
8、2 92答案 C解析 2 2(x12y) (y 12x) x2 y2 xy 14y2 yx 14x2 (x214x2) (y2 14y2) (xy yx)1124，当且仅当 x y 或 x y 时取等号22 22二、填空题6(2018天津)已知 a， bR，且 a3 b60，则 2a 的最小值为_18b答案 14解析 由 a3 b60，得 a3 b6，所以2a 2 3b6 2 22 3 ，当且仅当 23b6 ，即 b1 时等号18b 123b 23b 6123b 14 123b成立7设 x1，则函数 y 的最小值是_(x 5) (x 2)x 1答案 9解析 x1， x10，设 x1 t0，则
9、x t1，于是有 y (t 4) (t 1)t t2 5t 4t t 52 59，4t t4t当且仅当 t ，即 t2 时取等号，此时 x14t当 x1 时，函数 y 取得最小值 9(x 5) (x 2)x 18周长为 1 的直角三角形面积的最大值为_2答案 14解析 设直角三角形的两条直角边边长分别为 a， b，则 1 a b 2 ，2 a2 b2 ab 2ab10解得 ab ，当且仅当 a b 时取等号，12 22所以直角三角形的面积 S ab ，12 14即 S 的最大值为 149设 a， b0， a b5，则 的最大值为_a 1 b 3答案 3 2解析 由 a， b0， ，a b2 a
10、2 b22所以 a b 2a2 b2所以 3 ，a 1 b 3 2 a 1 b 3 2当且仅当 ，即 a ， b 时“”成立，所以所求最大值为 3 a 1 b 372 32 210某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x 吨，运费为 4 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x_.答案 20解析 总运费与总存储费用之和f(x)4 x 44 x 2 160，400x 1600x 4x1600x当且仅当 4x ，即 x20 时取等号1600x三、解答题11已知不等式 x25 ax b0 的解集为 x|x4 或 x0， 0，1x 41 x x(
11、1 x) 52 59，1x 41 x (1x 41 x) 1 xx 4x1 x 1 xx4x1 x当且仅当 ，即 x 时，等号成立，1 xx 4x1 x 13 f(x)的最小值为 91112已知 x0， y0,2 xy x4 y a.(1)当 a6 时，求 xy 的最小值；(2)当 a0 时，求 x y 的最小值2x 12y解 (1)由题意，知 x0， y0，当 a6 时，2 xy x4 y64 6，xy即( )22 30，( 1)( 3)0，xy xy xy xy 3， xy9，当且仅当 x4 y6 时，等号成立，故 xy 的最小值为 9xy(2)由题意，知 x0， y0，当 a0 时，可得
12、 2xy x4 y两边都除以 2xy，得 1，12y 2x x y x y1( x y) 1 2 ，2x 12y (12y 2x) 72 (x2y 2yx) 72 x2y2yx 112当且仅当 ，即 x3， y 时，等号成立，x2y 2yx 32故 x y 的最小值为 2x 12y 11213.为保护环境，绿色出行，某高校今年年初成立自行车租赁公司，初期投入 36 万元，建成后每年收入 25 万元，该公司第 n 年需要付出的维修费用记作 an万元，已知 an为等差数列，相关信息如图所示(1)设该公司前 n 年总盈利为 y 万元，试把 y 表示成 n 的函数，并求出 y 的最大值；(总盈利即 n
13、 年总收入减去成本及总维修费用)(2)该公司经过几年经营后，年平均盈利最大，并求出最大值解 (1)由题意知，每年的维修费用是以 6 为首项，2 为公差的等差数列，则 an62( n1)2 n4( nN )，所以 y25 n 36 n220 n36n6 (2n 4)2( n10) 264，12当 n10 时， y 的最大值为 64 万元(2)年 平 均 盈 利 为 n 20 20 2 20 8yn n2 20n 36n 36n (n 36n) n36n(当且仅当 n ，即 n6 时取“”)36n故该公司经过 6 年经营后，年平均盈利最大，为 8 万元14已知 a0， b0，则 2 的最小值是(
14、)1a 1b abA2 B2 2C4 D5答案 C解析 a0， b0， 2 2 2 4 4，当且仅当 a b1 时，1a 1b ab 1ab ab 1abab等号同时成立15若关于 x 的不等式(1 k2)x k44 的解集是 M，则对任意实常数 k，总有( )A2 M，0 M B2 M，0 MC2 M，0 M D2 M，0 M答案 A解析 M ( ，k4 4k2 1当 kR 时， k4 4k2 1 k2 1 2 2k2 3k2 1 ( k21) 2 k2 1 2 2 k2 1 5k2 1 5k2 12 22 22(当且仅当 k2 1 时，取等号)2 M，0 M k2 1 5k2 1 5 513
