1、13.2 数学归纳法的应用学习目标 1.会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式.2.了解贝努利不等式，并会证明贝努利不等式.3.体会归纳猜想证明的思想方法知识点一 用数学归纳法证明与正整数 n 有关的不等式思考 1 用数学归纳法证明问题必须注意的步骤是什么？答案 (1)归纳奠基：验证初始值(2)归纳递推：在假设 n k 成立的前提下，证明 n k1 时问题成立思考 2 证明不等式与证明等式有什么不同？答案 证明不等式需注意的是对式子进行“放缩” 梳理 利用数学归纳法证明不等式在运用数学归纳法证明不等式时，由 n k 时命题成立，推导 n k1 命题成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综
2、合法、放缩法等结合进行知识点二 贝努利不等式对任意实数 x1 和任何正整数 n，有(1 x)n1 nx.类型一 数学归纳法与放缩法结合证明不等式例 1 证明：1 2 (nN ， n2)122 132 1n2 1n证明 (1)当 n2 时，左边1 ，右边2 ，由于 ，因此命题成立122 54 12 32 54 32(2)假设当 n k(kN ， k2)时，命题成立，即 1 2 .122 132 1k2 1k当 n k1 时，1 2 2 2 122 132 1k2 1k 12 1k 1k 12 1k 1kk 1 1k2 ，即当 n k1 时，命题成立(1k 1k 1) 1k 1由(1)(2)可知，
3、不等式对一切 nN ， n2 都成立2反思与感悟 在归纳递推过程中常用到放缩法，这也是在用数学归纳法证明不等式问题时常用的方法之一跟踪训练 1 用数学归纳法证明：1 n(nN ， n1)12 13 12n 1证明 (1)当 n2 时，左边1 ，右边2，左边右边，不等式成立12 13(2)假设当 n k(k1， kN )时，不等式成立，即 1 (113)(1 15) (1 12n 1)成立2n 12证明 (1)当 n2 时，左边1 ，右边 ，13 43 52左边右边，所以不等式成立(2)假设当 n k(k2 且 kN )时，不等式成立，即 ，(113)(1 15) (1 12k 1) 2k 12
4、那么当 n k1 时，8 (113)(1 15) (1 12k 1)1 12k 1 1 2k 12 2k 22k 1 2k 222k 1 4k2 8k 422k 1 4k2 8k 322k 1 ，2k 32k 122k 1 2k 1 12所以当 n k1 时，不等式也成立由(1)(2)知，对一切大于 1 的自然数 n，不等式都成立12已知 Sn1 (n1，且 nN )，求证： S2n1 .12 13 1n n2证明 (1)当 n2 时， S221 1 ，即 n2 时命题成立12 13 14 2512 22(2)假设当 n k(k1， kN )时，命题成立，即 2kS1 1 .12 13 12k
5、 k2当 n k1 时， 12k 1 12 13 12k 12k 1 12k 11 1kkk共 项1 1 1 ，k2 k2 2k2k 1 k2 12 k 12故当 n k1 时，命题也成立由(1)(2)知，对 nN ， n1， 2nS1 成立n213已知递增等差数列 an满足： a11，且 a1， a2， a4成等比数列(1)求数列 an的通项公式；(2)若不等式 对任意 nN 恒成立，试猜想出实(112a1) (1 12a2) (1 12an) m2an 1数 m 的最小值，并证明解 (1)设数列 an的公差为 d(d0)，由题意可知 a1a4 a ，即 1(13 d)(1 d)2，2解得
6、d1 或 d0(舍去)所以 an1( n1)1 n.(2)不等式等价于 ，12 34 56 2n 12n m2n 1当 n1 时， m ；当 n2 时， m ；32 3589而 ，所以猜想， m 的最小值为 .32 358 32下面证不等式 对任意 nN 恒成立12 34 56 2n 12n 322n 1证明：当 n1 时， ，命题成立12 323 12假设当 n k 时，不等式 成立，12 34 56 2k 12k 322k 1当 n k1 时， ，12 34 56 2k 12k 2k 12k 2 322k 1 2k 12k 2只需证 ，322k 1 2k 12k 2322k 3只需证 ，2
7、k 12k 2 12k 3只需证 2 k2，2k 12k 3只需证 4k28 k34 k28 k4，即证 34，显然成立所以，对任意 nN ，不等式 恒成立12 34 56 2n 12n 322n 1四、探究与拓展14求证： (nN )112 123 1nn 1 n证明 (1)当 n1 时，左边 ，右边1，12左边右边，所以不等式成立(2)假设当 n k(k1， kN )时不等式成立，即 成立，112 123 1kk 1 k则当 n k1 时， ，112 123 1kk 1 1k 1k 2 k 1k 1k 2只需证 即可，k1k 1k 2 k 1即证 ，k 1 k1k 1k 2即证 ，k 1k 2 k 1 k10即证 ( 1) ，而当 k1 时上式显然成立，k 1 k 2 k所以当 n k1 时，不等式也成立由(1)(2)可知，不等式对所有 nN 都成立
