1、1专题 15 平面向量概念及线性运算、平面向量基本定理一、 考纲要求：1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义二、概念掌握及解题上的注意点：1. 平面向量的线性运算方法不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解.含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解.2. 利用平面向量的线性运算求参数的一般思路没有图形的准确作出图形，
2、确定每一个点的位置.利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式.比较、观察可知所求.3. 选取基向量，向量之间的相互表示，重视平行四边形法则. 4.|a b|与| a b|的几何意义：以向量 a， b 为边所作平行四边形的两条对角线的长度.共线向量定理的三个应用 1.证明向量共线：对于向量 a， b，若存在实数 ，使 a b，则 a 与 b 共线. 2.证明三点共线：若存在实数 ，使 ，则 A， B， C 三点共线.AB AC 3.求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程组，求参数的值.三、高考考题题例分析：例 1.(2015全国卷)设 D 为 ABC 所在平面内一
3、点， 3 ，则( )BC CD A B AD 13AB 43AC AD 13AB 43AC C D AD 43AB 13AC AD 43AB 13AC 【答案】 A【解析】：(1) ( ) .故选AD AC CD AC 13BC AC 13AC AB 43AC 13AB 13AB 43AC A2例 2.(2015 高考新课标 1)设 D为 ABC所在平面内一点 3BCD，则（ ）（A） 143DB(B) 143A（C） (D)【答案】A【解析】：由题知 11()33ADCABCAB=143B，故选 A.例 3.(2015 湖南)已知点 ， ， 在圆 21xy上运动，且 C，若点 P的坐标为 (
4、2,0，则 PABC的最大值为（ ）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B.例 4.(2015 高考北京)在 ABC 中，点 M， N满足 2AC， BN若MNxABy，则 ； 【答案】 1,26【解析】:特殊化，不妨设 ,4,3ACBAC，利用坐标法，以 A 为原点，AB3为 x轴， AC为 y轴，建立直角坐标系， 3(0,),2(0,3)4,(2,)AMCBN，1(2,)(4,)MNB(,3)C，则 1(,)(,)(,)xy，14,3,26xyxy.例 5.(2015 江苏高考)已知向量 a= ),(， b= )2,(, 若 ma+nb= )8,9( Rn,), 则nm的值为_.【答案】
5、 3【解析】:由题意得： 29,282,53.mnn例 6(2015 高考新课标 2)设向量 a， b不平行，向量 ab与 2平行，则实数_【答案】 12【解析】:因为向量 ab与 2平行，所以 2abk（ ），则 1,k， 所以12例 7.（2018 全国卷 I）在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则 =（ ）A B C + D +【答案】A4例 8.（2018 全国卷 III）已知向量 =（1，2） ， =（2，2） ， =（1，） 若 （2 +） ，则 = 【答案】例 9.（2018 天津卷）如图，在平面四边形 ABCD 中，ABBC，ADCD，BAD=120
6、，AB=AD=1若点 E 为边 CD 上的动点，则 的最小值为（ ）A B C D35【答案】【解析】：如图所示，以 D 为原点，以 DA 所在的直线为 x 轴，以 DC 所在的直线为 y 轴，过点 B 做 BNx 轴，过点 B 做 BMy 轴，ABBC，ADCD，BAD=120，AB=AD=1，AN=ABcos60= ，BN=ABsin60= ，DN=1+ = ，BM= ，CM=MBtan30= ，DC=DM+MC= ，A（1，0） ，B（ ， ） ，C（0， ） ，6平面向量概念及线性运算练习一、 选择题：1 D 是 ABC 的边 AB 的中点，则向量 等于 ( )CD A B BC 12
7、BA BC 12BA C D BC 12BA BC 12BA 【答案】A【解析】：如图， CD CB BD CB 12BA .BC 12BA 2给出下列命题：零向量的长度为零，方向是任意的；若 a， b 都是单位向量，则 a b；向量 与 相等则所有正确命题的序号是 ( )AB BA A BC D【答案】A3.设 a0为单位向量，下述命题中：若 a 为平面内的某个向量，则 a| a|a0；若 a 与 a0平行，则 a| a|a0；若 a 与 a0平行且| a|1，则 a a0.假命题的个数是 ( )A0 B1 C2 D3【答案】D 7【解析】：向量是既有大小又有方向的量， a 与| a|a0的
8、模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若 a 与 a0平行，则 a 与 a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a| a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是 3.4.设 a 是非零向量， 是非零实数，则下列结论正确的是( ) A a 与 a 的方向相反 B| a| a|C a 与 2a 的方向相同 D| a| |a【答案】C【解析】：A 中，当 0 时， a 与 a 方向相同，故 A 不正确；B 中，当1 1时，| a| a|，故 B 不正确；C 中，因为 20，所以 a 与 2a 方向相同，故 C 正确；D 中，向量不能比较大小，故 D 不正确，故选 C5.给出下列四个命题
9、： 若| a| b|，则 a b；若 A， B， C， D 是不共线的四点，则 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；AB DC 若 a b， b c，则 a c； a b 的充要条件是| a| b|且 a b.其中正确命题的序号是 ( )A B C D【答案】A 正确 a b， a， b 的长度相等且方向相同，又 b c， b， c 的长度相等且方向相同， a， c 的长度相等且方向相同，故 a c.不正确当 a b 且方向相反时，即使| a| b|，也不能得到 a b，故| a| b|且a b 不是 a b 的充要条件，而是必要不充分条件综上所述，正确命题的序号是.故选 A86已知
10、3 ， a， b， c，则下列等式中成立的是 ( )AC BC OA OB OC A c b a32 12B c2 b aC c2 a bD c a b32 12【答案】A 【解析】：因为 3 ， a， b，所以 ( )AC BC OA OB OC OA AC OA 32AB OA 32OB OA b a，故选 A32OB 12OA 32 127.设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点， O 为平行四边形 ABCD 所在平面内的任意一点，则 等于 ( )OA OB OC OD A B2OM OM C3 D4OM OM 【答案】 D 【解析】：因为 M 是平行四边形 ABCD 对角线 AC
11、， BD 的交点，所以 2 ， OA OC OM OB 2 ，所以 4 .OD OM OA OB OC OD OM 8(2017全国卷)设非零向量 a， b 满足| a b| a b|，则 ( )A a b B| a| b|C a b D| a| b|【答案】A99如图所示，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O， E 为 AO 的中点，若 ( ， 为实数)，则 2 2 DE AB AD ( )A B C1 D58 14 516【答案】A【解析】： ( ) ，所以DE 12DA 12DO 12DA 14DB 12DA 14DA AB 14AB 34AD ， ，故 2 2 ，故选 A14 34 5
12、810在 ABC 中， ，若 P 是直线 BN 上的一点，且满足 m ，则实数AN 14NC AP AB 25AC m 的值为 ( ) A4 B1C1 D4【答案】B1011.已知向量 i， j 不共线，且 i mj， ni j， m1，若 A， B， D 三点共线，AB AD 则实数 m， n 应满足的条件是 ( )A m n1 B m n1C mn1 D mn1【答案】C 【解析】：因为 A， B， D 三点共线，所以 ，存在非零实数 ，使得 ，AB AD AB AD 即 i mj (ni j)，所以(1 n )i( m )j0，又因为 i 与 j 不共线，所以Error!则 mn1，故选
13、 C12设 O 在 ABC 的内部， D 为 AB 的中点，且 2 0，则 ABC 的面积与OA OB OC AOC 的面积的比值为 ( )A3 B4 C5 D6【答案】B 【解析】：如图， D 为 AB 的中点，则 ( )，又 OD 12OA OB OA 2 0，OB OC ， O 为 CD 的中点，OD OC 又 D 为 AB 中点， S AOC S ADC S ABC，则 4.12 14 S ABCS AOC二、填空题13已知 O 为四边形 ABCD 所在平面内一点，且向量 ， ， ， 满足等式OA OB OC OD ，则四边形 ABCD 的形状为_OA OC OB OD 【答案】平行四
14、边形 【解析】：由 得 ，OA OC OB OD OA OB OD OC 11所以 ，所以四边形 ABCD 为平行四边形BA CD 14(2015全国卷)设向量 a， b 不平行，向量 a b 与 a2 b 平行，则实数 _.【答案】 【解析】： a b 与 a 2b 平行， a b t(a2 b)，即 a b ta2 tb，Error!解得Error!15在 ABC 中，点 M， N 满足 2 ， .若 x y ，则AM MC BN NC MN AB AC x_； y_. 【答案】 12 1616在 ABC 中， AB2， BC3， ABC60， AH BC 于点 H， M 为 AH 的中点
15、若 ，则 _.AM AB BC 【答案】 23【解析】：因为 AB2， ABC60， AH BC，所以 BH1.因为 BC3，所以BH BC13因为点 M 为 AH 的中点，所以 ( ) ，又 AM 12AH 12AB BH 12(AB 13BC ) 12AB 16BC AM 12 ，所以 ， ，所以 .AB BC 12 16 23三、解答题17在 ABC 中， D， E 分别为 BC， AC 边上的中点， G 为 BE 上一点，且 GB2 GE，设 a， b，试用 a， b 表示 ， .AB AC AD AG 【答案】 a b； a b.AD 12 12 AG 13 1318设 e1， e2
16、是两个不共线的向量，已知 2 e18 e2， e13 e2， 2 e1 e2.AB CB CD (1)求证： A， B， D 三点共线；(2)若 3 e1 ke2，且 B， D， F 三点共线，求 k 的值BF 【解析】 (1)证明：由已知得 (2 e1 e2)( e13 e2) e14 e2，BD CD CB 2 e18 e2， 2 .AB AB BD 又 与 有公共点 B，AB BD A， B， D 三点共线(2)由(1)可知 e14 e2，BD 3 e1 ke2，且 B， D， F 三点共线，BF ( R)，BF BD 13即 3e1 ke2 e14 e2，即Error!解得 k12. 19已知 O， A， B 是不共线的三点，且 m n (m， nR). OP OA OB (1)若 m n1，求证： A， P， B 三点共线；(2)若 A， P， B 三点共线，求证： m n1.【解析】证明 (1)若 m n1，则 m (1 m)OP OA OB m( )，OB OA OB m( )，OP OB OA OB 即 m ， 与 共线BP BA BP BA 又 与 有公共点 B，BP BA A， P， B 三点共线
