1、二次函数在闭区间上的最值问题,潼关县潼关中学 郭 传 涛,一、复习旧知，导入新课,1、二次函数的图像是什么形状？2、二次函数的性质有哪些?3、二次函数一般式如何转化为顶点式？,上节课我们学习了定义域为实数的函数的最 值问题。如果我们遇到指定闭区间上的函数求最值或值域应该如何来做，这节课我们来研究这个问题。,【教学过程】,（请学生回答）,例1、已知函数f(x)= x22x 3. （1）若x 2，0 , 求函数f(x)的最值；,f(x)=x2 2x3=(x1)2 4,解：, 2x0 函数f(x)在 2，0 上是减函数。, 当x= 0时， f(x)有最小值3；当x= 2时，f（x）有最大值5.,二、
2、启发诱导，探求新知,例1、已知函数f(x)= x2 2x 3. （1）若x 2，0 ，求函数f(x)的最值；,（2）若x 2，4 ，求函数f(x)的最值；, 2x4 函数f(x)在 2，4 上是增函数。 当x= 2时， f(x)有最小值3；当x= 4时， f(x)有最大值5.,学生观察并说出结果：,例1、已知函数f(x)= x2 2x 3. （1）若x 2，0，求函数f(x)的最值； （2）若x 2，4，求函数f(x)的最值；,（3）若x ,求函数f(x)的最值；,当x= 1时，f(x)有最小值4；当x= 时，f(x)有最大值 。,学生观察并说出结果：,例1、已知函数f(x)= x2 2x 3
3、 （1）若x2，0，求函数f(x)的最值； （2）若x 2，4 ，求函数f(x)的最值； （3）若x ，求函数f(x)的最值；,（4）若x ， 求函数f(x)的最值；,当x= 1时， f(x)有最小值4；当x= 时，f（x）有最大值 。,学生观察并说出结果：,例1中将知识进行深化、迁移（5）若 xt，t+2时，求函数f(x)的最小值.,例1、已知函数f(x)= x2 2x 3. （1）若x2，0,求函数f(x)的最值； （2）若x 2，4，求函数f(x)的最值； （3）若x ，求函数f(x)的最值； （4）若x ，求函数f(x)的最值；,三、知识深化，拓展研究,例1、已知函数f(x)= x2
4、2x 3. （1）若x2，0,求函数f(x)的最值； （2）若x 2，4，求函数f(x)的最值； （3）若x ，求函数f(x)的最值； （4）若x ，求函数f(x)的最值； （5）若xt，t+2时，求函数f(x)的最小值.,例1、已知函数f(x)= x2 2x 3. （1）若x2，0,求函数f(x)的最值； （2）若x 2，4，求函数f(x)的最值； （3）若x ，求函数f(x)的最值； （4）若x ，求函数f(x)的最值； （5）若xt，t+2时，求函数f(x)的最小值.,例1、已知函数f(x)= x2 2x 3. （1）若x2，0,求函数f(x)的最值； （2）若x 2，4，求函数f(x)
5、的最值； （3）若x ，求函数f(x)的最值； （4）若x ，求函数f(x)的最值； （5）若xt，t+2时，求函数f(x)的最小值.,例1、已知函数f(x)= x2 2x 3. （1）若x2，0,求函数f(x)的最值； （2）若x 2，4，求函数f(x)的最值； （3）若x ，求函数f(x)的最值； （4）若x ，求函数f(x)的最值； （5）若xt，t+2时，求函数f(x)的最小值.,解：,f(x)=x2 2x3 = (x1)2 4,（2）当 t+21且t1，即 -1t1 时对称轴在区间内， 当 x=1时，f(x)取得最小值f(1)=-4. .,（5）若xt，t+2时，求函数f(x)的最小
6、值.,（1）当 t+21，即 t -1时函数f(x)在【t，t+2】上为减函数， 当 x=t+2 时，f(x)取得最小值f(t+2)= t2+2t-3.,（3）当 t1时，函数f(x)在【t，t+2】上为增函数 当 x=t 时， f(x)取得最小值f(t)=t2-2t-3.,综上所述:当t -1时，函数的最小值为f(t+2)= t2+2t-3.当-1t1时，函数的最小值为f(1)= -4.当t 1时，函数的最小值为f(t)=t2+2t-3.,例1、已知函数f(x)= x2 2x 3 （1）若x2，0，求函数f(x)的最值； （2）若x 2，4，求函数f(x)的最值； （3）若x ，求函数f(x
7、)的最值；,（5）若xt，t+2时，求函数f(x)的最小值.,（4）若x ，求函数f(x)的最值；,思考：例1中前4问与第5 问有何共同点和不同点？,（学生分小组讨论探究并回答问题）,学生探究发现，教师总结：例1中前4问与第5问都属于二次函数在闭区间上求最值的问题；前4问属于“定轴定区间”问题；第5问属于“定轴动区间”的问题，它要分对称轴在区间的左中右三种情况来讨论。不论是哪一问，我们发现二次函数在闭区间上一定存在最值，函数最值要么在区间端点处取得，要么在对称轴处取得。,四、方法提炼，归纳总结求二次函数f(x)=ax2+bx+c在闭区间m，n上的最值或值域的一般方法是：,（2）当x0m，n时，
8、f(m)、f(n)、f(x0）中的较大者是函数的最大值,较小者是函数的最小值；,（1）判断x0= 是否属于 m，n；,（3）当x0 m，n时，f(m)、f(n)中的较大者是最大值，较小者是最小值.,课堂练习1、求函数f(x)=x2-3x+2在【-2，3】上 的最值。2、求函数 y=-2x2-x+1 在【-3，1】上 的最值。,二次函数在闭区间上最值问题有三类： (1)定轴定区间；（2）定轴动区间；（3）动轴定区间。本节课我们主要学习了前两类，第一类一般要根据二次函数的图像及单调性来求最值，第二类问题通常要分对称轴在区间左、中、右三种情况讨论来求最值。,课堂小结,作 业 已知函数f(x)= x2 2x 2， xt，t+1求函数的最大值。,谢谢各位指导,
