1、 知人善教 培养品质 引发成长动力 第 5 讲 两角和与差的正弦、余弦和正切考纲1会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式3能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 知 识 梳 理1两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin()sin_ cos_cos_sin_.cos()cos_ cos_sin_sin_.tan() .tan tan 1tan tan 2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos _.cos 2cos 2sin 22cos 2112sin 2.ta
2、n 2 .2tan 1 tan23有关公式的逆用、变形等(1)tan tan tan( )(1tan_tan_)(2)cos2 ，sin 2 .1 cos 22 1 cos 22(3)1sin 2(sin cos )2，1sin 2(sin cos ) 2，sin cos sin .2 (4)4函数 f()asin bcos (a，b 为常数)，可以化为 f() sin() ，其中 tan .a2 b2ba辨 析 感 悟1对两角和与差的三角函数公式的理解(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 ， 是任意的 ( ) 知人善教 培养品质 引发成长动力 (2)存在实数 ，使等式 cos( )cos
3、cos . ( )(3)(教材练习改编)cos 80cos 20sin 80sin 20cos(8020) cos 60 . ( )12(4)(教材习题改编) tan . ( )1 tan 1 tan (4 )(5)设 tan ， tan 是方程 x23x20 的两根，则 tan()3. ( )2对二倍角公式的理解(6)cos 2cos 2 112sin 2 . ( ) (7)若 sin ，则 cos . ( )2 33 13(8)ysin 2xcos 2x 的最大值为 1. ( )(9)设 sin 2sin ， ，则 tan 2 . ( )(2，) 3感悟提升一个防范 运用公式时要注意审查公
4、式成立的条件，要注意和差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用.考点一 三角函数式的化简、求值问题【例 1】 (1)4cos 50tan 40( ) A. B. 22 32C. D2 13 2(2) _.cos2 sin22tan(4 )cos2(4 )规律方法 (1)技巧：寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角； 知人善教 培养品质 引发成长动力 正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；一些常规技巧：“1”的代换、和积互化等(2)常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化【训练 1】 (1)化简：
5、2sin 50sin 10(1 tan 10) _.3 2sin280(2)化简： (0)_；1 sin cos (sin 2 cos 2)2 2cos 考点二 三角函数的给角求值与给值求角问题【例 2】 (1)已知 0 ，且 cos ， sin ，求 cos()的值；2 ( 2) 19 (2 ) 23(2)已知 ，(0，)，且 tan() ，tan ，求 2 的值12 17规律方法 (1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则
6、：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是 ，选正、余(0，2)弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为 ，选正弦较好( 2，2)【训练 2】 已知 cos ，cos() ，且 0 ，17 1314 2(1)求 tan 2 的值；(2)求 知人善教 培养品质 引发成长动力 考点三 三角变换的简单应用【例 3】 已知 f(x) sin2x2sin sin .(1 1tan x) (x 4) (x 4)(1)若 tan 2，求 f()的值；(2)若 x ，求 f(x)的取值范围12，2规律方法 (1)将 f(x)化简是解题的关键，本题中巧妙运用
7、“1”的代换技巧，将 sin 2，cos 2 化为关于正切 tan 的关系式，为第(1)问铺平道路(2)把形如 yasin xbcos x 化为 y sin(x)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值a2 b2与对称性【训练 3】 已知函数 f(x)4cos xsin 1.(x 6)(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间 上的最大值和最小值 6， 知人善教 培养品质 引发成长动力 1重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等在解决求值
8、、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形2已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化3熟悉三角公式的整体结构，灵活变换本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形。 三角函数求值中的变角问题【典例】 (2012 江苏卷)设 为锐角，若 c
9、os ，则 sin 的值为_( 6) 45 (2 12)反思感悟 解题的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系，通过适当地拆角、凑角来利用所给条件常见的变角技巧有： ； () 等； ；15 2 ( 2) (2 ) 4 2 (4 )4530等【自主体验】已知 cos ，cos( ) ，且 ， ， 则 cos()的值为_13 13 (0，2) 知人善教 培养品质 引发成长动力 基础巩固题组一、选择题1计算 cos 42cos 18cos 48sin 18的结果等于( )A. B. C. D.12 33 22 322已知 sin ，则 cos(2)的值为( )(2 ) 13A B. C. D79 7
10、9 29 233已知 cos ，则 sin 2x( )(4 x) 35A. B. C D1825 725 725 16254已知 ，且 cos ，则 tan 等于( )(，32) 45 (4 )A7 B. C D717 175已知 tan ，且 ，则 等于( )( 4) 12 2sin 2 2cos2sin( 4)A. B C D255 3510 255 31010二、填空题6计算： _.tan 12 34cos212 2sin 127设 f(x) sin xa 2sin 的最大值为 3，则常数 a_.1 cos 2x2sin(2 x) (x 4) 知人善教 培养品质 引发成长动力 8已知
11、cos4 sin 4 ，且 ，则 cos _.23 (0，2) (2 3)三、解答题9已知函数 f(x)cos sin .(x 3) (2 x)(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)若 ，且 f ，求 f(2)的值(0，2) ( 6) 3510已知函数 f(x) sin2 xsin xcos x.3(1)求 f 的值(256)(2)设 (0 ，)，f ，求 sin 的值(2) 14 知人善教 培养品质 引发成长动力 能力提升题组一、选择题1已知 tan() ，tan ，那么 tan 等于( )25 ( 4) 14 ( 4)A. B. C. D.1318 1322 322 162已知 ， ，满足 tan( )4tan ，则 tan 的最大值是( )(0，2)A. B. C. D.14 34 342 32二、填空题3若 sin 3sin ，则 tan 2_.( 6) (2 )三、解答题4已知函数 f(x)2cos (其中 0，xR)的最小正周期为 10.(x 6)(1)求 的值；(2)设 ， ，f ，f ，求 cos( )的值0，2 (5 53) 65 (5 56) 1617
