1、1. 6k2 )1(xy3. 4n4. )(2tf5 11) 2) 3) 4) ln()(ln)fxff x(ln2)!1e5) 21)xzCCABCB B D A C三.1. 解:202lncosim()11l3xx分2. 解:原式= (2 分)0ln(sico)epixx(3 分)2co(lm)2ixe3. 解 (3 分)2lnsi1xxxey = (2 分)(si)li)xx ctgxde4. 解: 令 , 则原式= (2 分)2t1sin2t= cotC= (3 分)22sixx5. 解: = (2 分)20(1).fxd1()ft= 10xxe= = (3 分)0 101ln()|x
2、d 1ln2()ln2(ee6. 解: 先求过 与平面 垂直的平面方程.l过 l:的平面束方程为,(1)0xyz即 (2 分)(.因它与平面 垂直, 得 解得 .)20,2过 与平面 垂直的平面方程为: , (2 分)l 31xyz于是直线 的方程为 (1 分)0l ,20.yz四.1. 解: 两边对 求导,得x(4 分)2eyxy 将点 代入得,0432(60)(3yxy分)2. 解:(3 分)e221lnd(1ln)dt tVt xeln2txxx 2l4l32(3ttt 分 )n10,V令 1122et得 且因此 是 在 上的唯一的极小值点,再由问题的实际意义知必存在最21ettVe小体
3、积,故 是最小值点. (2 分)21()ln4l322)(e分 )(如果先直接用变上限求导定理求得 的值,则得 5 分,求得体积的最小值得 5 分)3. 解: 342(3),xxyy令 得 , 令 得 (2 分)0 0列表讨论得下面结果:单调减少区间 (,2)(,凹区间 (3,0)单调增加区间 0凸区间极值点 2拐点 2(,)9极值 14水平(或铅直)渐近线 0xy(表格中每空 1 分)五.1. 证明: , (2 分)()3sin2ta5Fxx则 , ,02()cose5x(2 分)()223sin4ectanta(o)sFxx(2 分)3t0,(,)所以 当 时, ,从而 ,即02x()Fx
4、 0x. (2 分)sinta52. 证明: 由于 在 上连续, 所以 也在 上连续, 由积分中值定()f1()xef1知, , 使得 = (2 分)010()xefd令 , 则 在区间 上满足 Rolle 定理的条件, 因此()()xFef()Fx0, 使得 , 即0,1()()0eff (3 分)()ff四证明题（满分 12 分，6+6）1.设 、 在 上连续，在 内可导，且)(xfg,ba),(ba试证至少存在一点 )(0fg， )()(),( gffba使。证明：令， 内 可 导在上 连 续在显 然 ， ),(,)()(baxFxgfF且 （2 分）)(,)(fbaf由已知 ， 。 （
5、1 分）fgf )(bFa由罗尔定理，至少存在一点 0)(,( 2gff使从而 （2 分）).()(gff2.设 证明：当 时，有,0,)x ba )()(bfabf证明：令 故只需证：),(xfafF,oF由 知： （2 分）,)(xf ),0(,) xf故 单调减少，而 故 即： （2 分）,0b） ，(F),0()(fabfaf得： （1 分）,0)(f )()(bfaf三.计算题(满分 35 分,每小题 5 分)1求极限 arctn2(limxx分 ）（ 分 ）（ 分 ）（解 ： 原 式 11lim2)(li12li22xxarctgxxx2. 已知函数 ，求)0(,arcsinay
6、dy解： （2 分）,1i22axxa= （2 分） （1 分）rcsinddyrcsin3. 设由方程 可确定 ，求 。xysi)(x解：对方程 两端取对数，有sin，两端对 求导，得 （2 分）yxylnil x（2 分）,sinlcol y故 （1 分）xxyxdysinlsinlco24. 求不定积分 xarci解：令 ， （1 分）tdxarcsin dtttdtd2arcsin2arcsin2arcsin（2 分） （2 分） cxxtttt 1arcsi)1(arcsin225.计算定积分 40cosldtgx解： （2 分）40coslnxdtg40cosln)l(xd（2 分
7、）402)(l（1 分）2)(ln816.在平面 内，求作一直线 ，使它通过直线 与平面0:zyxL02:1zxyL的交点，且与 垂直,求此直线 的方程。1L解：求出平面 与直线 的交点 A，解方程组： 得 A（0，-1，0） （2 分）12zyx再求出过点 A 与直线 垂直的平面 ，L1的方向向量为： （2 分）1Lkjikjis20故 的方程为： ，所求直线方程为 （1 分）1)1(2:zyx0zyx五应用计算题（满分 28 分，8+8+12）1.求曲线 的一条切线，使此切线与直线 及 轴所围成的梯形面积)40(y 4,0最小。解：设切点为 ，故切线方程为),(),(00xyx， （3 分
8、）21210000 x梯形面积 .4,4)( 0040 xxdxS（3 分）000212x得唯一驻点为 。当 时， ：当 时， ，20x0x0S20x0S故 是 的极小点，也是最小值点。从而，切线方程是0x)(S。 （2 分）21xy2 求函数 的马克劳林展开式（带有拉格朗日余项）)1ln(xf）（！ 分 ）（故）（！）（）（ 分 ）（，）（） （，）（）（，）（解 ： ）（ )1()0( 3,1)0(,1)0(, ,232 nf ffxx xxffn n 则： （2)(,)1()()(321l 11 nnnxx分）3.列表表示函数 的单调性、极值、曲线凹凸及拐点，并求其曲线xf)(2渐近线。
9、解：函数的定义域是（-，0）（0，+） 不 存 在 ，令 )0(,21,0)(,12)( 33 fxxfxf 。 列表如下： （2 分）,)(,()( 333 ff（-，-1） -1 （-1,0） 0 (0, ) ( ,+) x 321321- - - 不存在 - 0 + （2）（f分） + 0 - 不存在 + + + （2 分）（ xf凹、降 拐点 凸、降 间断 凹、降 极小 凹、升 （2 分）（f是极小值点，极小值 ， 32123)1(f拐点为（-1，0） 。 （2 分）是曲线的垂直渐近线。 （20,)1(lim20xx分）1. C 2. A 3. B 4. A 5. A二 1. 4 2.
10、 a=1,b=-4 3. 4. 5.Cexx22 H2xC2三 1.解：原式= ln2lnim2li200 xxxx2. 解：原式= 83)4()341ln(2lii een3.解： )1(2)()lsico(s xxxy4. 解 原式 Cd5ln15215.解：设， 2arcsi),(,sinttx则原式 Cxttddt 323242 )4(1o1cot1si16co6. 解 原式 eCetettetxt 27.解： )1ln(25)1ln(31)()1( 01010120 edxedttfdxf xx8.解：令 ， 所 以得分 离 变 量 得 ：代 入 原 式 得则令 0C,1,23,),(33132xxypdpypy23213232)5(4C,xyydxyppxx原 方 程 的 解 ：得代 入 所 以四1.解：x=0 代入方程得 y=0方程对 x 求导得 xyy由 此 得 切 线 方 程 为 ，得代 入 1)0(,cos31222.解 定义域， x)5(110,)(24 5,5132 xyxxy斜 渐 近 线垂 直 渐 近 线 ， 得 ，令 得 ， 驻 点令X (-，-1)-1 （-1，1）1 （1，5）5 （5，+Y + + - +Y” - + + + +y (-1,0)拐点X=1 垂直渐近线F（5）=13.5极小值3. 23041)(1022edxexV
