1、第二节 微分2.1 微分的概念淘宝特卖http:/www.g- f(x)，0，于是 yf(x0)xx，而 (1)即 x0(x)(x0)因此，当x很小时， yf(x0)x淘宝特卖商城http:/www.g- yf(x*)x，从而可以估计出y。从(1)式我们看到，f(x0)相对x是一个常数，x是x的高阶无穷小，如果yAx0(x)(x0)，则yAx，由此得到微分的概念。淘宝特卖商城http:/www.g- 定义 设yf(x)在x0的某领域U(x0)内有定义，若 yf(xx)f(x)可表示为 yAxo(x) (x0)其中A是写x无关的常数，Ax称为y的线性部。则称yf(x)在点x处可微，称线性部Ax为
2、yf(x)在点x处的微分，记为dy，即dyAx。南风暖心网http:/www.g- 从概念的引入，我们可以看到可导必可微，反之也是正确的。因此有定理 函数yf(x)在点x可微的充要条件是函数yf(x)在点x处可导。且Af(x)。南风暖心网http:/www.g- 充分性，由f(x)在点x处可导，有 f(x)，于是 f(x)，其中0，有yf(x)xx，由0，有xo(x)(x0)淘宝特卖商城http:/www.g- yf(x)xo(x) (x0)因此，yf(x)在点x处可微且f(x)A。必要性 由yf(x)在点x处可微，由定义知 yAx0(x) (x0)，A与x无关。由AAf(x)所以yf(x)在
3、点x处可导。于是，若yf(x)在点x处可微，则 dyAx,由Af(x)，有 dyf(x)x淘宝特卖商城http:/www.g- dyf（x）dx等价于f(x)由此可见，导数f(x)等于函数yf(x)的微分dy与自变量x的微分dx的商。因此，导数又称为微商，这时不仅可以看成一个整体记号，也可以看成dy与dx的商。 下面举几个例子，来说明微分的一些实际意义(1) 圆面积Sr2，其中r为圆半径，则淘宝特卖首页http:/www.g- 2r22rr(r) 2 ds2rr2rdr当半径有增量r时，圆面积的增量S，如图中圆环表示，用微分ds近似它即以边长为2r(圆)环内圆长)高为圆环厚度dr的长方形面积来
4、近似。如图2-7淘宝特卖首页http:/www.g- (2)圆柱体体积Vr2h，其中r为圆柱体的底面半径，h为圆柱的高 v(rr) 2hr2h 2rhhrh(r) 2dv2rhr2rhdr淘宝网特卖频道http:/www.g- V(rr)3r3 r33r2r3rr3r3 4r2r(4rrr2)r dv4r2r南风暖心网http:/www.g- yf(xx)f(x)NQdyf(x)xtanxNT图2-10o(x)ydyNQTQ淘宝特卖http:/www.g- NTNQ，则 PTPQ因此，当x很小时，可用线段NT近似代替NQ，或者说在P点邻近，可用切线段PT近似代替曲线弧。2.2 微分的基本性质淘
5、宝特卖http:/www.g- 设u(x)，v(x)在点x处均可微，则uv，uv，cu(c为常数)， (v0)在点x处都可微，且1。 d(uv)dudv2。 d(uv)vduudv特别d(cu)cdu(c为常数)3。 d() (v0)，特别d() (v0)淘宝特卖首页http:/www.g- d()()dxdx (v0)三、一阶微分不变形定理 若u(x)在x处可微，yf(u)在点u(u(x)处可微，则复合函数淘宝特卖商城http:/www.g- dyf(u)du证：由复合函数的求导法则知，yf(x)在点x处可导，所以在点x处可微，且 dyWBf(x)(x)dx f(x)d(x) f(u)du淘
6、宝特卖商城http:/www.g- dyf(u)du，即这里u是中间变量，它与当x是自变量，yf(x)在点x处可微，dyf(x)dx形式一样。我们称之为微分的一阶不变性。 例1. ye淘宝网特卖频道http:/www.g- 由yecos (x2)(2x)于是 dyydxecos (x2)(2x)dx解法2 利用微分的四则运算和微分一阶不变性 dydeedsin(x2) ecos (x2)d(x2) ecos (x2)d(x2)d ecos (x2)2xdxdx ecos(x2)(2x)dx从这里也可得到yecos (x2)(2x)例2. 求由方程2yx(xy) ln（xy）所确定的函数yy(x
7、)的微分dy淘宝网特卖频道http:/www.g- 对方程两端求微分 d(2yx)ln (xy)d(xy)（xy）dln(xy)得 2dydxln(xy)(dxdy)(dxdy)解出dy，有 dydx淘宝特卖http:/www.g- 利用微分求，解：y从这里可以看出，只要求(t)，(t)存在且(t)0，存在淘宝特卖http:/www.g- 2.3 近似计算与误差估计一、近似计算淘宝特卖http:/www.g- yf(x0x)f(x0)f(x0)xo（x） (x0)当x很小时，有 yf(x0)x (1)即f(x0x)）f(x0)f(x0)x，则 f(x0x)f(x0)f(x0)x (2)(1)式
8、为我们提供计算y近似值的公式(2)式为我们提供计算f(x0x)近似值的公式特别x00有f(x)f(0)f(0)x设xx，若x很小时，有 f(x)f(0)f(0)x，于是当x很小时 sinxtsxx，ln (1x)x ex1x，(1x)1x (0)与我们前面讲的等价无穷小量完全一致。例4. 计算的近似值解 设f(x) f(x)x，f（）由f(1.002)f(10.002) f(1)f(1)0.002淘宝特卖http:/www.g- 10.0021.00002二、误差估计从微分概念的引入可知，应用微分来估计误差，是非常方便迅速的。设x0为准确数，x*为近似的数，则x*xx称为准确数x0的绝对误差限
9、，若存在正数x，使x*x0xx，则称x为绝对误差限。称 (或)为准确数的相对误差，而 (或)为相对误差限。淘宝特卖http:/www.g- ydyf(x0)xf(x0)xy于是yf(x0)x或f(x*)x称为y的绝对误差限 x或x称为y的相对误差限。例5. 为了计算出球的体积精确到1%，问度量球的直径D所允许的最大相对误差是多少?南风暖心网http:/www.g- 球的体积v ()3由 dvdD，于是 3由1%有 31%，即%0.33%2.4* 高阶微分南风暖心网http:/www.g- dyf(x)dx这里dy不仅与x有关，与dxx也有关，而x是与x无关的一个量。我现在是研究dy与x之间的关
10、系。因此，在这里x相对于x来说是个常数，所以dy是x的函数，如果dy又可微即f(x)存在，则d(dy)d(f(x)dx)d(f(x)dxf(x)dxdxf(x)dx2称为f(x)的二阶微分，记作d2y，即 d2yf(x)dx2淘宝特卖商城http:/www.g- (x)dxn)d(f（n1）(x)dxn1 f（n）(x)dxdxnf（n）(x)dxn称为f(x)的n阶微分，记作dny，即dnyf（n）(x)dxn则淘宝特卖商城http:/www.g- f（n）(x) (x为自变量)因此f（n）(x)可看成dny与dxn的商，又称n阶微商。我们知道不论u是中间变量，还是自变量，f(u)存在(若u
11、是中间变量，u(x)存在)都有一阶微分不变性。 dyf(u)du二阶有没有微分不变性呢，若x是自变量，f(x)存在，则 d2yf(x)dx2南风暖心网http:/www.g- dyf(u)du,于是 d2yd(dy)d(f(u)du)dudf(u)f(u)d(du) f(u)du duf(u)d2u f(u)du2f(u)d2u南风暖心网http:/www.g- dud(x)(x)dx d2u(x)dx2，一般情况下d2u 0同样 f(u)d2u0因此，不具有二阶微 不变性，因此n1，不具有微不变性，若u是中间变量南风暖心网http:/www.g- f（n)(u)，仅表示对u的n阶导数。但只能看成一个整体符号，不能看成商注：d(x2),dx2，d2x的区别d(x2)2xdx，dx2(dx)2d2xd(dx) 0淘宝特卖商城http:/www.g-
