1、2.3.2 等差数列的前 n 项和（第二课时）（人教 A 版必修 5）【教学目标】1.知识与技能：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题，会利用等差数列通项公式和前 n 项和公式研究 的最值 .初步体验函数思想在解决数列问题中的应用.nS2.过程与方法：通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力.3.情感、态度与价值观：提高学生代数的思维能力，使学生获得一定的成就感；通过生动具体的现实问题、数学问题，激发学生探究的兴趣与欲望，树立求真的勇气与自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生
2、热爱数学的情感.【教学重点】等差数列前 n 项和公式的掌握与应用.【教学难点】灵活应用求和公式解决问题.【教辅手段】多媒体投影仪、黑板【教学过程】I.情景设置温故知新首先，回顾上一节所学的内容：（1）等差数列的前 n 项和公式 1： 12nnas（2）等差数列的前 n 项和公式 2： 1nd.新知探究1.等差数列的等价条件例 1：已知数列 的前 项和 ，求nanSn21（1） ).2(1Sn（2）求这个数列的通项公式.（3）这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是什么？分析：课本例题，题型比较简单，主要是靠引导学生.过程略.设计意图 本例题实际上给出了数列前 项和公式判别是否是等差数
3、列的依n据，要让学生们知道等差数列前 项是一个常数项为 0 的关于 的二次型函数.n接下来，我们来完成一探究题.如果一个数列 的前 n 项和为 .其中 p、q、r 为常数，且na2nSpq，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什0p么？解：由 得2nSqr1Sapqr又1nna).(2n时 2221()(1)()2()nSpqrpnqrpnq)(qpnra.12()2(1)2dpnqp此类数列从第二项开始为等差数列.归纳要使数列 为等差数列，则 即na ,)(r.0设计意图 本探究实际上是对例 1 的深化，目的是为了让学生进一步认识到，如果一个数列的前 项公式是一个常数项
4、为 0 的关于 的二次型函数，则这个n数列一定是等差数列，从而使学生从结构上认识数列.2.等差数列的最值问题例 2：已知等差数列 的前 n 项和为 ，求使得 最大的序号24,375 nsnn 的值分析：等差数列的前 n 项和公式可以写成 21 1()()nddSaa，所以 可以看成函数 ， ，当 时的函数值.21dxxy*Nx另一方面，容易知道 关于 n 的图像是一条抛物线上的一些点，因此，我们ns可以利用二次函数来求 n 的值.解：由题意知，等差数列 的公差为 所以24,375 572517754156nnns当 n 取与 最接近的整数即为 7 或 8 时 取最大值.2ns设计意图 通过学习
5、等差数列前 项和的函数性质来用于实际题型中的应用，加n深对函数结构的认识。例 3：等差数列 中， ， 求使得 最小的序号 的值？na10912nSn解法一（同例 2 的解法一样，在此可以带过即可）：由 得 91s11982dd因此 则300则1a221 182nnddnds 由以上条件知 有最小值.n又 ，则 =10 或 11 时 取最小值，最小值为 .*Nns5d即 105ds解法二：由解法一知 而10a1则数列 为递增数列 .na令 即01n0)(1nd)(101a .10)1(0n数列的前 10 项均为负值, =0.从第 12 项开始为正值.1n=10 或 n=11 时 取最小值.ns解
6、法三： 91210120a即3又 则数列 为递增数列.1n数列的前 10 项均为负值， =0.从第 12 项开始为正值.1a当 n=10 或 11 是 取最小值 .ns设计意图 本例是对例 2 的深化，通过一般的求最值方法，引导学生思考用简单的方法来解决同样的问题，达到数学浅入深出的学习效果。3.等差数列前 项和的性质例 4：已知数列 是等差数列， 是其前 项和，求证 也成nanS 1286126,SS等差数列，设 成等差数列吗？kkkSN232,解法一：由 156d,12a38S可得 ).()(612126S解法二： 12098712 aadd6621a3.6S同理可得： .72128d).
7、()(616S（ 的情况也类似，在此省略）k设计意图 本例是要求学生通过自己做题来得出结论的，但是为了学生能更好的理解这个结论并且应用这个结论，在本节课加了这个例题，希望可以减轻学生课后的负担。例 5：（备用例题，时间允许可在课堂上讲解）若两个数列 和 的前 项nabn和 和 满足关系式 求nAB),(2741NnAn nba（分析：条件是前 项和的比值，而结论是通项的比值，所以，需要将通项的比值转化为前 项和的比值，恰当的应用等差公式可以简化解题过程.）解：由等差数列性质： ,2,2111 nnn ba 122)(1( )(2 )11211121 nbnaban BAnnnn.38647)(
8、4设计意图 本例题对于初学者来说解答比较困难，若果让学生自行解答比较吃力，在这里加了讲解，希望对学生有所帮助。【归纳提升】1.等差数列的等价条件若一个数列为等差数列，则 中的 C 必为 0，A 、B 为任意2nSAB常数.反之也成立.2.求等差数列前 n 项和 的最值有两种方法ns第一种：根据项的正负来定若 ， 则数列的所有正数项之和最大，10ad若 , 则数列的所有负数项之和最小第二种： 12221122112nddandds由二次函数的最大，小值知识及 知.当 n 取接近于 的正整数时，*N12ad取最大值（或最小值）值得注意的是接近 的正整数有时 1 个，有时 2ns 12ad个.3.等
9、差数列前 项和的性质若数列 是等差数列， 是其前 项和，设nanS也成等差数列.,232SNn设计意图 总结是为了让学生明白本节课的重难点在哪，同时使学生回顾本节课的知识点，达到复习加总结的效果。【即时体验】问题 1.等差数列 中， ，求数列 的前 n 项和 的最na415,3danS小值.分析：利用归纳的 2 种解题方法进行求解：将 Sn 表示成关于 n 的一元二次函数的最值求解.确定数列中负值的个数，由所有项之和最小求解.解答过程略.问题 2：已知等差数列 的前 10 项和为 100，前 100 项和为 10，则前na110 项和为多少？解： 成等差数列，设其公差为 D，, 1020310
10、210 SS又 首项为 ，前 10 项的和为,29D.又 S1010.)(问题 3：若两个等差数列的前 项和之比是 ，试求它们的第n)26(:)13n11 项之比.分析：同例 3 同题型，问题转化为具体的项之比，题目更简单化，解答过程在此处省略.设计意图 及时巩固，让学生活学活用，直接应用本节课所学的知识点来解决数学问题。达到加深理解的学习效果。八、课后延续P46 习题 2.3.A 组第 3 题；P47 习题 2.3.B 组第 4 题设计意图 课后作业可以让学生加深本节课的认识，同时不忘记巩固。九、板书设计幕布 课题一、复习二、探究题归纳总结三、最值问题归纳四、等差数列性质一 例 1二 探究分析三 例 2 分析四 例 3 分析十、备用问题（高考题）：【2010 年高考福建卷理 3】设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a1=-11，a 4+a6=-6，则当 Sn取最小值时，n 等于（ ）A、6 B、7 C、8 D、9考点：等差数列的前 n 项和专题：常规题型分析：条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于 n 的二次函数解得解答： 解：设该数列的公差为 d，则 a4+a6=2a1+8d=2（-11）+8d=-6 ，解得 d=2，所以 ，所以当 n=6 时，Sn 取最小值故选 A.十一、教后反思
