1、1三角函数的应用（教学设计）江阴市祝塘中学 李昊一、教材分析三角函数的应用是高中数学课程标准 （实验）下苏教版高中数学必修1.3.4 节的内容，原教学大纲下的教材相比，把它作为独立的一节，突显了标准追求“发展学生教学应用意识”的基本理念。本节不仅是必修 2.6“函数模型的应用”的具体化和继续，也是为以后向量、正余弦定理、数列、不等式、导数等数学模型在实际中的应用奠定了一个意识、思维和方法的基础，是学生学习如何根据实际问题选用具体的函数形式来模拟刻画并以此解决实际问题的极好的素材，对提高学生数学应用意识和数学应用的探究能力有极其重要的作用。二、教学理念通过本课的设计与教学，让学生学会用三角函数模
2、拟生活实际中的周期现象的基本方法，体会三角函数这一数学模型的实际意义与应用价值，增强学生用数学模型来描述实际问题和解决实际问题的探究能力，领悟等价转化、数形结合等数学思想在解决问题中的作用，提高分析问题和解决问题的能力。三、教学目标:1、会用三角函数刻画一些简单的周期变化，并能用三角函数的图象与性质解决相关的实际问题。2、通过学习，让学生在经历用三角函数模拟周期现象和周期变化的过程中，掌握函数模拟的数学方法。3、让学生领会等价转化、数形结合的数学思想在探究解决实际问题中的作用，体会三角函数的应用价值。四、教学重点：用三角函数刻画周期变化的模拟过程与方法及用函数模型解决实际问题。五、教学难点：模
3、拟函数模型的确定和函数中的参量确定。六、教学方法：引导探究七、教学手段：多媒体辅助教学八、教学过程：（一）情境引入：继指数、对数函数和幂函数之后，前面我们又研究了三角函数，通过这些研究，我们知道，函数是用来描述客观世界运动、变化规律的一个基本数学模型，现有如下这样的一个简谐运动的问题用多媒体给出情境问题。2如上图 O 点为做简谐运动的物体 P 运动的平衡位置，取向右的方向为物体运动位移的正方向，已知其振幅为 3cm，周期为 3s，当物体向右运动到达 O 点处开始计时，求物体相对平衡位置的位移 x（cm）与运动时间 t（s）之间的函数关系，并求物体 P 在 t=5s 时的位置。 （二）学生活动1
4、）探究设问 请回忆一下简谐运动的位移 x 与时间 t 的函数关系,可用哪一类函数来描述？ 课本P36 已有介绍 ,学生已有经历 针对这个问题,你所选择的具体的函数形式是什么? y=Asin( t+) 根据问题提供的条件,请你求出相应的 A、 之值，并写出函数式 由题 A=3 T=3,= 又 t=0 时 x=3 sin=0 =0 x=3sin t 23 23 t=5s 时， x=? 2）变 1，当物体向右运动到达最大位移处开始计时，求物体相对平衡位置的位移x（cm）与运动时间 t（s）之间的函数关系，并求物体 P 在 t=5s 时的位置 。 设问：针对这个问题，应选用什么具体的函数形式来刻画?（
5、y=Asin( t+) ） 根据问题条件，请你求出相应的相应的 A、 、 之值，并写出函数式。 由题得 A=3 T=3 = 又 t=0 时 x=3 sin=1 = x=3sin( t+ ) 23 223 = 对吗？ 为什么不能取 或 ，说说你的理由。 根据实际问题中 t=0 时位225置的设定，借用多媒体在 tox 直角坐标系中展示 x 随着 t 在0，+上不断增大时的变化情况，从其与 x=3sin t 的图象对比中，让学生发现，这一运动只比 y=3sin t 超前23 23了 个周期 0数学建构:1三角函数是描述周期现象的一个重要的数学模型。2 周期变化特征的模拟决定于 A、 和 的值。3能
6、用 y=Asin(x+)来刻画的运动,也可用 y=Acos(x+)来刻画。教学运用:例 1、 一个半径为 3cm 的水轮（如图）其中心距水面 2m，已知它每分钟转 4 圈，如光水轮上点 P 从水中浮现时开始计时（ P 点在 P0 处时）求 P 点距水面的高度 z（m）关于时间 t（s）的函数。P 点第一次到达 P 点大约需多长时间。 给出背景图形让 P 点在圆周上运动起来 探究设问（师生互动）从对模拟图形的观察中找出决定 P 点竖直高度变化的直接相关的量，并在图形中表示出来。（op 旋转的角）用什么工具来刻画角的变化？（直角坐标系）怎样建立直角坐标系？角的方向如何确定？P 点相对于水面的高度变
7、化是一个周期变化吗? 若是，周期是多少?竖直高度 z 与时间 t 的模拟函数关系式的具体形式是什么？并求出该函数表达式.学生动手操作 运用计算器求解 2师生交流 ,反馈思考信息.周期 T 的单位“分钟”与自变量 t 的单位“秒”不统一造成 求错。 的范围确定错误造成 求错或运动方向搞错无法确定 。用 z= Asin( x+)求解，忽略 z 应是相对水面的高度，使解题出错。3多媒体给出解答：4小结 :建立适当的坐标系对解决本题至关重要。y= Asin(x+ )+h 比 y= Asin(x+) 在对实际周期现象的描述中更具实用性。只有把握自然语言所蕴含的数学意义,才能将实际问题用数学模型正确表示出
8、来.例 2、海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐,一般的早潮叫潮,晚潮叫汐,在通常情况下,般在涨潮时驶进航道,靠近船坞; 卸货后落潮时返回海洋.下面给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.4时刻 水深/m时刻 水深/m时刻 水深/m0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.03:00 7.5 12:00 5.0 21:00 2.55:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,并给出在整点时的水深的近似数值;一条货船在吃水深度(船底与水面的距离)为 4m,安全条例领土规定至少要用 1.5m 的安全间隙(
9、船底与海底的距离),该般何时能进入港口? 在港口能呆多久?若船的吃水深度为 4m,安全间隙为 1.5m,该船在 2:00 开始卸货,吃水深度以每小时 0.3m的速度减少,那么该般在什么时候停止卸货,将船驶向较深的水域?1分析提问从以上数据中你可以获得哪些数学信息?此处水位的平衡位置在哪?请你用所学知识与方法模拟出这个函数关系学生操作后: 老师给出交流点评,再教出问题的解答2分析设问船能进入港口的教学条件是什么?分析吃水深度的实际意义 这样的实际要求对应的数学问题是什么,请你给出解答.学生操作后给出标准解答分析提问:船在卸货过程中吃水深度是如何变化的？如何用 x（小时）表达？（ h（x）=40.
10、3x(x-2) ）不必移船的条件是什么? 可化归为什么样的数学问题.f(x)h(x)+1.5 即 sinx0.440.12x这个不等式我们无法从代数角度作出解答,但我们是否可以换个角度来给他一个解释呢?数形相通 （借用多媒体用图象求得此不等式的近似解,给出解答.）小结: 此题重在如何将实际问题转化成数学问题（方程、不等式等） ，并用数形结合的方法来解决。(五)回顾反思通过本课学习,你对三角函数产生了什么样的新的认识在用三角函数模拟实际问题的过程中,你学到了什么?5你能举出其它可用三角函数来模拟的实例吗?作业布置课本 P45EX(1)(2)93)板书设计三角函数的应用一、数学建构：1.情境问题2.例一 例二点评 点评学生练习二、回顾反思：
