1、第四章 根轨迹法习题及答案4-1 系统的开环传递函数为)4s(2)1s(KH)(G*试证明 在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益 和开环增益 。3j1s *K解 若点 在根轨迹上，则点 应满足相角条件11s，如图所示。)2()(ksHG对于 ，由相角条件3j1 )j04()j(6320满足相角条件，因此 在根轨迹上。31js将 代入幅值条件：1s 143j12jjKH)(G*1 处解出 ： ， 2K*38*4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求参数 从零变化到无穷大时的根b轨迹方程，并写出 时系统的闭环传递函数。2b（1） （2）)s(40)s(G)s(201)s(G解 (1) )4j
2、s)(js(bb)2 2860)s(G1)s(2(2) =)10s2(b)sG )3j1s)(j(s9b40)()234-3 已知单位反馈系统的开环传递函数 ，试绘制参数 b 从零变)bs(2)s(G化到无穷大时的根轨迹，并写出 s=-2 这一点对应的闭环传递函数。解 )6s(4b)G根轨迹如图。时 ，2s4b)8s(216s0)( 4-4 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。 (2) )1s5.0(2.sk)(G)1s2(k)G(3) (4) )3()(* )(*)解 )2s(5K10)s5.0)(12.(sK)G三个开环极点： , ,pp3 实轴上的根轨迹： , 渐近线：
3、 ,3)1k2(750a 分离点： 02d15解之得： ， (舍去)。8.0d17863. 与虚轴的交点：特征方程为 0ks7s)(D23令 1)jImRe32解得 7k0与虚轴的交点（0， ） 。j1根轨迹如图所示。 )21s(K)s2()G根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹： , 0,5. 分离点： 1d.d1解之得： 。7,293.0根轨迹如图所示。根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹： , 3502 渐近线： 2)1(ka 分离点： 53dd用试探法可得 。86.0d根轨迹如图所示。(4) 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹：0, 1,-1,-2分离点： 2d1d1求解得： 37021处根轨迹
4、如图所示。4-5 已知单位反馈系统的开环传递函数为)10s.)(2.(sk)G要求：(1) 绘制系统的根轨迹；(2) 确定系统临界稳定时开环增益 k 的值；(3) 确定系统临界阻尼比时开环增益 k 的值。解 (1) )10s(5)1s0.)(2.(sk) 实轴上的根轨迹：0, -50,-100,- 分离点： d51求解得 87.3.2d21处 渐近线： oaa1060处根轨迹如图所示。(2) 系统临界稳定时 150k750k*处(3) 系统临界阻尼比时 62.9.484-6 已知系统的开环传递函数为 ，要求绘制根轨迹并)20s8(k)sH(G2*确定系统阶跃响应无超调时开环增益 k 的取值范围
5、。解 )20s8(K)sH(G2 实轴上的根轨迹： , 渐近线：,3)1k2( 38)2j4(j0a分离点： 02j4d1jd解之得： 。3.,2与虚轴交点： ks8s)(D2把 代入上方程，整理，令其实、虚部分别为零得：js02)j(ImkRe32解得： 0k165起始角：由相角条件 ， 。32p3p根轨迹如图所示。所有根为负实根时阶跃响应无超调，此时 所以处16k8.4*8.0k74.4-7 单位反馈系统的开环传递函数为 ，)s7()2s(G试绘制系统根轨迹，并确定使系统稳定的 k 值范围。解 ：根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹： 4/75.0处 渐近线：2)1k2(81).(/a 与虚轴
6、交点：闭环特征方程为 01ks)7(s74)s(D23 把 代入上方程， j令 074)10K2()jIm(Re32解得： ， 192根轨迹如图所示。由图可知使系统稳定的 值范围为 。79K14-8 已知控制系统的开环传递函数如下，试绘制系统根轨迹（要求求出 4 个起始角） 。22)9s4(K)sH(G处解 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹： , 渐近线： ,3)1k2( 32)(5jja 分离点： 2d15jd5jd解之得： (舍去)29.371.0 与虚轴交点：闭环特征方程为 2sK)s4()sD处把 代入上方程， j令 08)7()jIm(13Re3解得： 96K2 起始角： 处处处 1
7、k29001p解出 根轨迹如图所示。35,421p4-9 已知系统开环传递函数如下，试分别绘制以 a 和 T 为变化参数的根轨迹。(1) ， ；(2) ，)1s(a/)G20)1s(.0(s62)G0解 (1) 2)5.(4/ 实轴上的根轨迹： 0(处 渐近线： oaa 1863/1 分离点： d根轨迹如图所示。(2) 26s10)(T)s(G2 实轴上的根轨迹： )(处 起始角终止角： oop11o 180)95tg)t80(2解得起始角 op7.8o11oz )tt(解得终止角 根轨迹如图所示。oz904-10 已知系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的根轨迹，并求出所有根为负实根时开环
8、增益 k 的取值范围及系统稳定时 k 的值。)18s()s(HG2解 实轴上的根轨迹： 处 分离点： ，2.4d128.6d 渐近线： ，57aoa90 与虚轴交点： ，j.s2,17.3k*根轨迹如图所示。， ，6.kd*1处 6.d*2处18/*结论： 时所有根为负实根， 时系统稳定。5348095.24-11 已知系统结构图如图所示，试绘制时间常数 变化时系统的根轨迹，并分析参T数 的变化对系统动态性能的影响。T解： s20Ts1)(G3作等效开环传递函数 32*s)10(T1)s(G根轨迹绘制如下： （注意： /k* 实轴上的根轨迹： ,( 分离点： 解得 。10d2330根据幅值条件
9、，对应的 。5.T 虚轴交点：闭环特征方程为 01s2s)(D3把 代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：js0T2)j(Im1Re32解得： .0 起始角： 61p参数 从零到无穷大变化时的根轨迹如图所示。 (请注意根轨迹的方向！)T从根轨迹图可以看出，当 时，系统阶跃响应为单调收敛过程；015.T时，阶跃响应为振荡收敛过程； 时，有两支根轨迹在 s 右2.015.2.0T半平面，此时系统不稳定。若取另外一种等效开环传递函数则解题步骤如下：10s2T)s(G3三条根轨迹中两条起于-10，一条起于 ，均终止于原点 实轴上的根轨迹： ,(01 分离点： 解得 。10d33其余步骤与上基本相同，根
10、轨迹相同，只是-10 处为两个开环极点，原点处为 3 个开环零点，根轨迹方向与图中一样。4-12 控制系统的结构如图所示，试概略绘制其根轨迹( )。0k*解 此系统为正反馈系统，应绘零度根轨迹。 实轴上的根轨迹： ,2,1 分离点： 1d3解得 5.0 起始角：根据相角条件，n1jmi k2得 ， ， 。601p602p183p根轨迹如图所示。4-13 设单位反馈系统的开环传递函数为 ，试绘制其根轨迹，并求)2s(1k)G出使系统产生重实根和纯虚根的 值。k解 由开环传递函数的表达式知需绘制 根轨迹。0 实轴上的根轨迹： ；,2)1 分离点： d1解得： , 73.0d1.2将 , 代入s73s幅值条件得：, 54.K1d6.2d 与虚轴交点：闭环特征方程为 0)s1()s()D把 代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：js0)K2()jIm(Re解得： 041.根轨迹如图所示，复平面上的根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到分离点的距离为半径的圆 。系统产生重实根的 为 0.54，7.46，产生纯虚根的 为 2。 K
