1、1初二（下册）数学题精选分式：一：如果 abc=1,求证 + + =11ab1bc1ca解：二：已知 + = ，则 + 等于多少？a1b)(29ab解：三：一个圆柱形容器的容积为 V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间 t 分。求两根水管各自注水的速度。解：四：联系实际编拟一道关于分式方程 的应用题。要求表述完整，条件28x充分并写出解答过程。解略五：已知 M 2yx、N 2yx，用“+”或“”连结 M、N,有三种不同的形式，M+N、M-N、N-M，请你任取其中一种进行计算，并简求值，其中x：y=
2、5：2。2解：反比例函数：一 ： 一 张 边 长 为 16cm 正 方 形 的 纸 片 ， 剪 去 两 个 面 积 一 定 且 一 样 的 小 矩 形 得到 一 个 “E”图 案 如 图 1 所 示 小 矩 形 的 长 x（ cm） 与 宽 y（ cm） 之 间 的 函数 关 系 如 图 2 所 示 ：（ 1） 求 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 ；（ 2） “E”图 案 的 面 积 是 多 少 ？（ 3） 如 果 小 矩 形 的 长 是 6 x 12cm， 求 小 矩 形 宽 的 范 围 .3二：是一个反比例函数图象的一部分，点 (10)A， ， (1)B， 是它的两个端点（1）
3、求此函数的解析式，并写出自变量 x的取值范围；（2）请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例三：如图， A 和 B 都与 x 轴和 y 轴相切，圆心 A 和圆心 B 都在反比例函数 的图象上，则图中阴影部分的面积等于 . 1yxABOxy四：如图 11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（2， 1-） ，且 P（ 1-，2）为双曲线上的一点， Q 为坐标平面上一动点， PA 垂直于 x 轴， QB 垂直于 y 轴，垂足分别是 A、 B （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点 Q 在直线 MO 上运动时，直线 MO 上是否存在这样的点 Q，使得 OBQ 与 OAP 面积
4、相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； 11 1010 ABO xy4（3）如图 12，当点 Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以 OP、 OQ 为邻边的平行四边形 OPCQ，求平行四边形 OPCQ 周长的最小值五：如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 Y 轴和 X 轴分别交于点 A、点 8，与反比例函数 y 一罟在第一象限的图象交于点 c(1，6)、点 D(3，x)过点 C作 CE 上 y 轴于 E，过点 D 作 DF 上 X 轴于 F(1)求 m，n 的值；(2)求直线 AB 的函数解析式；图11xyBhx = 2xA OMQP图12xy fx = 2xBCA OM
5、 PQ5勾股定理：一：清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王近日，西安发现了他的数学专著，其中有一文积求勾股法 ，它对“三边长为 3、4、5 的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积） ，以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数” 用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为 3、4、5的整数倍，设其面积为 S，则第一步： m；第二步： =k；第三步：分别6Sm用 3、4、5 乘以 k，得三边长” （1）当面积 S 等于 150 时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长；（2）你能证明“积求勾股法”的正确
6、性吗？请写出证明过程二：一张等腰三角形纸片，底边长 l5cm，底边上的高长 225cm现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为 3cm 的矩形纸条，如图所示已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )A第 4 张 B第 5 张 C第 6 张 D第 7 张三：如图，甲、乙两楼相距 20 米，甲楼高 20 米，小明站在距甲楼 10 米的 处A6目测得点 与甲、乙楼顶 刚好在同一直线上，且 A 与 B 相距 米，若小ABC、 350明的身高忽略不计，则乙楼的高度是 米20米乙CBA甲10米？米20米四：恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世著名的恩施大峡谷 和世界级自然保护区
7、星斗山 位于笔直的沪渝高速公路 同()A()BX侧， 、 到直线 的距离分别为 和 ，要在沪渝高速公路50kmB， BX10km4旁修建一服务区 ，向 、 两景区运送游客小民设计了两种方案，图（1）P是方案一的示意图（ 与直线 垂直，垂足为 ） ， 到 、 的距离之和PAB，图（2）是方案二的示意图（点 关于直线 的对称点是 ，连接1S X交直线 于点 ） ， 到 、 的距离之和 AXA2S（1）求 、 ，并比较它们的大小；12S（2）请你说明 的值为最小；PB（3）拟建的恩施到张家界高速公路 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所Y示的直角坐标系， 到直线 的距离为 ，请你在 旁和 旁各修建一
8、服务0kmXY区 、 ，使 、 、 、 组成的四边形的周长最小并求出这个最小值PQAQBAP X图（1）YXBAQPO图（3）BAP X图（2）7五：已知：如图，在直角梯形 ABCD 中， AD BC， ABC90， DE AC 于点F，交 BC 于点 G，交 AB 的延长线于点 E，且 AC（1）求证： ；BF（2）若 ，求 AB 的长2ADC四边形：一：如图， ACD、 ABE、 BCF 均为直线 BC 同侧的等边三角形.(1) 当 AB AC 时，证明四边形 ADFE 为平行四边形；(2) 当 AB = AC 时，顺次连结 A、 D、 F、 E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形
9、的类型和相应的条件.二：如图，已知ABC 是等边三角形，D、E 分别在边 BC、AC 上，且 CD=CE，连DCEB GAFEFDAB C8结 DE 并延长至点 F，使 EF=AE，连结 AF、BE 和 CF。（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“”表示，并加以证明。（2）判断四边形 ABDF 是怎样的四边形，并说明理由。（3）若 AB=6，BD=2DC，求四边形 ABEF 的面积。三：如图，在 ABC 中， A、 B 的平分线交于点 D， DE AC 交 BC 于点E， DF BC 交 AC 于点 F（1）点 D 是 ABC 的_心；（2）求证：四边形 DECF 为菱形9四：在矩形 AB
10、CD 中，点 E 是 AD 边上一点，连接 BE，且ABE30，BEDE，连接 BD点 P 从点 E 出发沿射线 ED 运动，过点 P 作 PQBD 交直线BE 于点 Q(1) 当点 P 在线段 ED 上时（如图 1） ，求证：BEPD PQ；3（2）若 BC6，设 PQ 长为 x，以 P、Q、D 三点为顶点所构成的三角形面积为 y，求 y 与 x 的函数关系式（不要求写出自变量 x 的取值范围） ；（3）在的条件下，当点 P 运动到线段 ED 的中点时，连接 QC，过点 P 作PFQC，垂足为 F，PF 交对角线 BD 于点 G（如图 2） ，求线段 PG 的长。解：10五：如图,这是一张等
11、腰梯形纸片,它的上底长为 2,下底长为 4,腰长为 2,这样的纸片共有 5 张.打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形,那么你能拼出哪几种不同的等腰梯形?分别画出它们的示意图,并写出它们的周长. 4222解：如图所示六：已知:如图,在矩形 ABCD 中,E、F 分别是边 BC、AB 上的点,且 EF=ED,EFED.求证:AE 平分BAD.第第23第第E CDBAF11七：如图,矩形纸片 ABCD 中, AB=8,将纸片折叠,使顶点 B 落在边 AD 的 E 点上,BG=10.(1)当折痕的另一端 F 在 AB 边上时,如图(1).求 EFG 的面积.(2)当折痕的另一端 F 在 AD 边上时,
12、如图(2).证明四边形 BGEF 为菱形,并求出折痕 GF 的长.HAB CDEFGAB CDEFG图（1） 图（2）AB CDEFGH (A )(B )八：（1）请用两种不同的方法，用尺规在所给的两个矩形中各作一个不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上 （保留作图痕迹）（2）写出你的作法AB CDEFGH(A)(B)O12九：如图， P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点（ P 与 A、 C 不重合），点 E 在射线 BC 上，且 PE=PB.（1）求证： PE=PD ； PE PD；（2）设 AP=x, PBE 的面积为 y. 求出 y 关于 x 的函数关系
13、式，并写出 x 的取值范围； 当 x 取何值时， y 取得最大值，并求出这个最大值.AB CPDEAB CPDEFAB CDPE12HAB CPDEFG12313十：如图 1，四边形 ABCD 是正方形， G 是 CD 边上的一个动点(点 G 与 C、 D 不重合)，以 CG 为一边在正方形 ABCD 外作正方形 CEFG，连结 BG， DE我们探究下列图中线段 BG、线段 DE 的长度关系及所在直线的位置关系： （1）猜想如图 1 中线段 BG、线段 DE 的长度关系及所在直线的位置关系；将图 1 中的正方形 CEFG 绕着点 C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度 ，得到如图 2、如图
14、3 情形请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立,并选取图 2 证明你的判断（2）将原题中正方形改为矩形（如图 46） ，且 AB=a， BC=b， CE=ka， CG=kb (a b， k 0)，第 (1)题中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图 5 为例简要说明理由（3）在第(2)题图 5 中，连结 、 ，且 a=3， b=2， k= ，求 的DGBE122BEDG14值数据的分析：一：4为了帮助贫困失学儿童，某团市委发起“爱心储蓄”活动，鼓励学生将自己的压岁钱和零花钱存入银行，定期一年，到期后可取回本金，而把利息捐给贫困失学儿童.某中学共有学生 1200人，图 1 是
15、该校各年级学生人数比例分布的扇形统计图，图 2 是该校学生人均存款情况的条形统计图.（1）九年级学生人均存款元；（2）该校学生人均存款多少元？（3）已知银行一年期定期存款的年利率是 2.25% （“爱心储蓄”免收利息税） ，且每 351 元能提供 给一位失学儿童一学年的基本费用，那么该校一学年能帮助多少为贫困失学儿童。二：如图是连续十周测试甲、乙两名运动员体能训练情况的折线统计图。教练组规定：体能测试成绩 70 分以上（包括 70 分）为合格。请根据图 11 中所提供的信息填写右表：请从下面两个不同的角度对运动员体能测试结果进行判断：15依据平均数与成绩合格的次数比较甲和乙， 的体能测试成绩较
16、好；依据平均数与中位数比较甲和乙， 的体能测试成绩较好。依据折线统计图和成绩合格的次数，分析哪位运动员体能训练的效果较好。三：如图所示，A、B 两个旅游点从 2002 年至 2006 年“五、一”的旅游人数变化情况分别用实线和虚线表示根据图中所示解答以下问题：（1）B 旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是哪一年？（2）求 A、B 两个旅游点从 2002 到 2006 年旅游人数的平均数和方差，并从平均数和方差的角度，用一句话对这两个旅游点的情况进行评价；（3）A 旅游点现在的门票价格为每人 80 元，为保护旅游点环境和游客的安全，A 旅游点的最佳接待人数为 4 万人，为控制游客数量，A 旅
17、游点决定提高门票价格已知门票价格 x（元）与游客人数 y（万人）满足函数关系 若要使 A 旅游点的游客人510x数不超过 4 万人，则门票价格至少应提高多少？平均数 中位数 体能测试成绩合格次数甲 65乙 602002 2003 2004 2005 2006 年654321万人AB16参考答案初二（下册）数学题精选分式：一：如果 abc=1,求证 + + =11ab1bc1ca解：原式= + +1abc2= + + ab1= 1ab=1二：已知 + = ，则 + 等于多少？)(29bab解： + =a1b)(=)(292( ) =9ba2 +4 +2 =92a2（ ）=5=ab5+ = 2三：
18、一个圆柱形容器的容积为 V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管倍的大水管注水。向容17器中注满水的全过程共用时间 t 分。求两根水管各自注水的速度。解：设小水管进水速度为 x，则大水管进水速度为 4x。由题意得： tv82解之得： t5经检验得： 是原方程解。vx小口径水管速度为 ，大口径水管速度为 。t8tv25四：联系实际编拟一道关于分式方程 的应用题。要求表述完整，条件8x充分并写出解答过程。解略五：已知 M 2yx、N 2yx，用“+”或“”连结 M、N,有三种不同的形式，M+N、M-N、N-M，请你任取其中一种进行计算，并简求值，其
19、中x：y=5：2。解：选择一：222()xyxyxyMN，当 x y=52 时， 5xy，原式= 732y选择二：22()xyxMNxy，当 x y=52 时， 5，原式=5372y选择三：2 2()xyxyxyNM，当 x y=52 时， 52xy，原式= 37y反比例函数：18一 ： 一 张 边 长 为 16cm 正 方 形 的 纸 片 ， 剪 去 两 个 面 积 一 定 且 一 样 的 小 矩 形 得到 一 个 “E”图 案 如 图 1 所 示 小 矩 形 的 长 x（ cm） 与 宽 y（ cm） 之 间 的 函数 关 系 如 图 2 所 示 ：（ 1） 求 y 与 x 之 间 的 函
20、 数 关 系 式 ；（ 2） “E”图 案 的 面 积 是 多 少 ？（ 3） 如 果 小 矩 形 的 长 是 6 x 12cm， 求 小 矩 形 宽 的 范 围 .解：（1）设函 数关系式为 xky函数图象经过（10，2） 102k k=20， 20（2） xy0 xy=20， 216022xySE正（3）当 x=6 时， 36当 x=12 时， 512y小矩形的长是 6 x12cm，小矩形宽的范围为 cmy3105二：是一个反比例函数图象的一部分，点 ()A， ， ()B， 是它的两个端点（1）求此函数的解析式，并写出自变量 x的取值范围；（2）请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例
21、解：（1）设 kyx， (10)A， 在图象上， 10k，即 10，其中 ； （2）答案不唯一例如：小明家离学校 km，每天以 k/hv的速度去上学，那么小明从家去学校所需的时间 10tv11 1010 ABO xy19三：如图， A 和 B 都与 x 轴和 y 轴相切，圆心 A 和圆心 B 都在反比例函数 的图象上，则图中阴影部分的面积等于 . 1yxABOxy答案：r=1 S=r=四：如图 11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（2， 1-） ，且 P（ 1-，2）为双曲线上的一点， Q 为坐标平面上一动点， PA 垂直于 x 轴， QB 垂直于 y 轴，垂足分别是 A、 B （
22、1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点 Q 在直线 MO 上运动时，直线 MO 上是否存在这样的点 Q，使得 OBQ 与 OAP 面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）如图 12，当点 Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以 OP、 OQ 为邻边的平行四边形 OPCQ，求平行四边形 OPCQ 周长的最小值解：（1）设正比例函数解析式为 ykx，将点 M（ ， ）坐标代入得 12k=，所以正比例函数解析21式为 12yx= 同样可得，反比例函数解析式为 yx= （2）当点 Q 在直线 DO 上运动时，图11xyB hx = 2xAOMQP图12xy fx
23、 = 2xBCAOMPQ20设点 Q 的坐标为 1()2m， ， 于是 214OBSm =，而 (1)AP -，所以有， 24m，解得 2 所以点 Q 的坐标为 1()， 和 (1)Q，- （3）因为四边形 OPCQ 是平行四边形，所以 OP CQ， OQ PC，而点 P（ ， ）是定点，所以 OP 的长也是定长，所以要求平行四边形 OPCQ 周长的最小值就只需2求 OQ 的最小值因为点 Q 在第一象限中双曲线上，所以可设点 Q 的坐标为 2()n， ，由勾股定理可得 2224()4Onn=+-+，所以当 ()0n-即 -时， O有最小值 4，又因为 OQ 为正值，所以 OQ 与 2Q同时取得
24、最小值，所以 OQ 有最小值 2 由勾股定理得 OP 5，所以平行四边形 OPCQ 周长的最小值是2()()4OPQ+=+五：如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 Y 轴和 X 轴分别交于点 A、点 8，与反比例函数 y 一罟在第一象限的图象交于点 c(1，6)、点 D(3，x)过点 C作 CE 上 y 轴于 E，过点 D 作 DF 上 X 轴于 F(1)求 m，n 的值；(2)求直线 AB 的函数解析式；21勾股定理：一：清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王近日，西安发现了他的数学专著，其中有一文积求勾股法 ，它对“三边长为 3、4、5 的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一
25、问题提出了解法：“若所设者为积数（面积） ，以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数” 用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为 3、4、5的整数倍，设其面积为 S，则第一步： m；第二步： =k；第三步：分别6Sm用 3、4、5 乘以 k，得三边长” （1）当面积 S 等于 150 时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长；（2）你能证明“积求勾股法”的正确性吗？请写出证明过程解：（1）当 S=150 时，k= = =5，m15026S所以三边长分别为：35=15，45=20，55=25；（2）证明：三边为 3、4、5 的整数倍，设为 k 倍，
26、则三边为 3k，4k，5k，而三角形为直角三角形且 3k、4k 为直角边其面积 S= （3k）（4k）=6k 2，1所以 k2= ，k= （取正值） ，6S即将面积除以 6，然后开方，即可得到倍数二：一张等腰三角形纸片，底边长 l5cm，底边上的高长 225cm现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为 3cm 的矩形纸条，如图所示已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )A第 4 张 B第 5 张 C第 6 张 D第 7 张答案：C三：如图，甲、乙两楼相距 20 米，甲楼高 20 米，小明站在距甲楼 10 米的 处A22目测得点 与甲、乙楼顶 刚好在同一直线上，且 A 与 B 相距 米，
27、若小ABC、 350明的身高忽略不计，则乙楼的高度是 米20米乙CBA甲10米？米20米答案：40 米四：恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世著名的恩施大峡谷 和世界级自然保护区星斗山 位于笔直的沪渝高速公路 同()A()BX侧， 、 到直线 的距离分别为 和 ，要在沪渝高速公路50kmB， BX10km4旁修建一服务区 ，向 、 两景区运送游客小民设计了两种方案，图（1）P是方案一的示意图（ 与直线 垂直，垂足为 ） ， 到 、 的距离之和PAB，图（2）是方案二的示意图（点 关于直线 的对称点是 ，连接1S X交直线 于点 ） ， 到 、 的距离之和 AXA2S（1）
28、求 、 ，并比较它们的大小；12S（2）请你说明 的值为最小；PB（3）拟建的恩施到张家界高速公路 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所Y示的直角坐标系， 到直线 的距离为 ，请你在 旁和 旁各修建一服务0kmXY区 、 ，使 、 、 、 组成的四边形的周长最小并求出这个最小值PQAQBAP X图（1）YXBAQPO图（3）BAP X图（2）解:图 10（1）中过 B 作 BCAP,垂足为 C,则 PC40,又 AP10,AC30 在 RtABC 中，AB50 AC30 BC40 BP 2402CPS1 40图 10（2）中，过 B 作 BCAA垂足为 C，则 AC50，23又 BC40BA
29、410542由轴对称知：PAPAS 2BA 1 1S(2)如 图 10（2） ，在公路上任找一点 M,连接 MA,MB,MA，由轴对称知 MAMAMB+MAMB+MAABS 2BA为最小（3）过 A 作关于 X 轴的对称点 A, 过 B 作关于 Y 轴的对称点 B，连接 AB,交 X 轴于点 P, 交 Y 轴于点 Q,则 P,Q 即为所求过 A、 B分别作 X 轴、Y 轴的平行线交于点 G,AB 50102所求四边形的周长为五：已知：如图，在直角梯形 ABCD 中， AD BC， ABC90， DE AC 于点F，交 BC 于点 G，交 AB 的延长线于点 E，且 AC（1）求证： ；BF（2
30、）若 ，求 AB 的长2ADC解：（1）证明： 于点 ，90DEAC， FE，FB，B A连接 ，GAGAG,ABAF，RttA F（2）解：ADDC,DFAC，12ACE30，DF3ABP XBAQYBADCEB GAFDCEBGAF24四边形：一：如图， ACD、 ABE、 BCF 均为直线 BC 同侧的等边三角形.(1) 当 AB AC 时，证明四边形 ADFE 为平行四边形；(2) 当 AB = AC 时，顺次连结 A、 D、 F、 E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件.解：(1) ABE、 BCF 为等边三角形， AB = BE = AE， BC = CF
31、 = FB， ABE = CBF = 60. FBE = CBA. FBE CBA. EF = AC. 又 ADC 为等边三角形， CD = AD = AC. EF = AD. 同理可得 AE = DF. 四边形 AEFD 是平行四边形. (2) 构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段. 当图形为菱形时， BAC60 （或 A 与 F 不重合、 ABC 不为正三角形）当图形为线段时， BAC = 60（或 A 与 F 重合、 ABC 为正三角形）. 二：如图，已知ABC 是等边三角形，D、E 分别在边 BC、AC 上，且 CD=CE，连结 DE 并延长至点 F，使 EF=AE，连结 AF、B
32、E 和 CF。（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“”表示，并加以证明。（2）判断四边形 ABDF 是怎样的四边形，并说明理由。（3）若 AB=6，BD=2DC，求四边形 ABEF 的面积。解：（1） （选证一） BDEFC:0,6ACAE: 0是 等 边 三 角 形 ， =,B是 等 边 三 角 形012,BFDEBFC:（选证二） C:证明： 0,6AAB是 等 边 三 角 形EFDAB C25图 70,6, ,CDEBFDECAAFABC:是 等 边 三 角 形（选证三） :证明： 0,6C是 等 边 三 角 形0,6DEAFBC:是 等 边 三 角 形=是 等 边 三 角 形（2）
33、四边形 ABDF 是平行四边形。由（1）知， 、 、 都是等边三角形。A:EDAF:06,F四 边 形 B是 平 行 四 边 形（3）由（2）知， ）四边形 ABDF 是平行四边形。0,23sin611264103ABEFEABAEFGCSEF:四 边 形 四 边 形 是 梯 形过 作 于 ， 则三：如图，在 ABC 中， A、 B 的平分线交于点 D， DE AC 交 BC 于点E， DF BC 交 AC 于点 F（1）点 D 是 ABC 的_心；（2）求证：四边形 DECF 为菱形解：(1) 内. (2) 证法一：连接 CD， DE AC， DF BC， 四边形 DECF 为平行四边形，又
34、 点 D 是 ABC 的内心， CD 平分 ACB，即 FCD ECD，又 FDC ECD， FCD FDC FC FD， DECF 为菱形证法二：过 D 分别作 DG AB 于 G， DH BC 于 H， DI AC 于 I 26 AD、 BD 分别平分 CAB、 ABC， DI=DG，DG=DH DH=DI DE AC， DF BC，四边形 DECF 为平行四边形，S DECF =CEDH =CFDI， CE=CF DECF 为菱形 四：在矩形 ABCD 中，点 E 是 AD 边上一点，连接 BE，且ABE30，BEDE，连接 BD点 P 从点 E 出发沿射线 ED 运动，过点 P 作 P
35、QBD 交直线BE 于点 Q(1) 当点 P 在线段 ED 上时（如图 1） ，求证：BEPD PQ；3（2）若 BC6，设 PQ 长为 x，以 P、Q、D 三点为顶点所构成的三角形面积为 y，求 y 与 x 的函数关系式（不要求写出自变量 x 的取值范围） ；（3）在的条件下，当点 P 运动到线段 ED 的中点时，连接 QC，过点 P 作PFQC，垂足为 F，PF 交对角线 BD 于点 G（如图 2） ，求线段 PG 的长。解：（1）证明：A=90 ABE=30 AEB=60EB=ED EBD=EDB=30PQBD EQP=EBD EPQ=EDBEPQ=EQP=30 EQ=EP 过点 E 作
36、 EMOP 垂足为 M PQ=2PMEPM=30PM= PE PE= PQ 233BE=DE=PD+PE BE=PD+ PQ （2）解：由题意知 AE= BE DE=BE=2AE21AD=BC=6 AE=2 DE=BE=4 27当点 P 在线段 ED 上时（如图 1）过点 Q 做 QHAD 于点 H QH= PQ= x2由（1）得 PD=BE- PQ=4- x3y= PDQH= 221当点 P 在线段 ED 的延长线上时（如图 2）过点 Q 作 QHDA 交 DA 延长线于点 H QH= x21过点 E 作 EMPQ 于点 M 同理可得 EP=EQ= PQ BE= PQ-PD33PD= x-4
37、 y= PDQH= 321x23（3）解：连接 PC 交 BD 于点 N（如图 3）点 P 是线段 ED 中点EP=PD=2 PQ= DC=AB=AEtan60= 3PC= =4 cosDPC= = DPC=602DCPCD21QPC=180-EPQ-DPC=90PQBD PND=QPC=90 PN= PD=1 QC= = PGN=90-FPC PCF=90-FPC2PQ7PCN=PCF1 分 PNG=QPC=90 PNGQPC PG= =NCG2311五：如图,这是一张等腰梯形纸片,它的上底长为 2,下底长为 4,腰长为 2,这样的纸片共有 5 张.打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形,那么
38、你能拼出哪几种不同的等腰梯形?分别画出它们的示意图,并写出它们的周长. 4222解：如图所示28六：已知:如图,在矩形 ABCD 中,E、F 分别是边 BC、AB 上的点,且 EF=ED,EFED.求证:AE 平分BAD.证明：四边形 ABCD 是矩形B=C=BAD=90 AB=CDBEF+BFE=90EFEDBEF+CED=90BEF=CEDBEF=CDE又EF=EDEBFCDEBE=CDBE=ABBAE=BEA=45EAD=45BAE=EADAE 平分BAD七：如图,矩形纸片 ABCD 中, AB=8,将纸片折叠,使顶点 B 落在边 AD 的 E 点上,BG=10.(1)当折痕的另一端 F
39、 在 AB 边上时,如图(1).求 EFG 的面积.(2)当折痕的另一端 F 在 AD 边上时,如图(2).证明四边形 BGEF 为菱形,并求出折痕 GF 的长.HAB CDEFGAB CDEFG图（1） 图（2）AB CDEFGH (A )(B )解:(1)过点 G 作 GH AD,则四边形 ABGH 为矩形, GH=AB=8,AH=BG=10,由图形的折叠可知 BFGEFG, EG=BG=10, FEG= B=90； EH=6,AE=4, AEF+ HEG=90, AEF+ AFE=90, HEG= AFE,又第第23第第E CDBAF29 EHG= A=90, EAF EHG, , EF
40、=5, S EFG= EFEG= 510=25.EFAGH12(2)由图形的折叠可知四边形 ABGF四边形 HEGF, BG=EG,AB=EH, BGF= EGF, EF BG， BGF= EFG, EGF = EFG, EF=EG, BG=EF,四边形 BGEF 为平行四边形,又 EF=EG,平行四边形 BGEF 为菱形；连结 BE， BE、 FG 互相垂直平分，在 Rt EFH 中, EF=BG=10,EH=AB=8,由勾股定理可得 FH=AF=6， AE=16， BE= =8 ， BO=4 ， FG=2OG=222AEB55=4 。2BGO5八：（1）请用两种不同的方法，用尺规在所给的两
41、个矩形中各作一个不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上 （保留作图痕迹）（2）写出你的作法解：（1）所作菱形如图、所示说明：作法相同的图形视为同一种例如类似图、图的图形视为与图是同一种（2）图的作法：作矩形 A1B1C1D1四条边的中点 E1、 F1、 G1、 H1；连接 H1E1、 E1F1、 G1F1、 G1H1四边形 E1F1G1H1即为菱形图的作法：AB CDEFGH(A)(B)O30在 B2C2上取一点 E2，使 E2C2 A2E2且 E2不与 B2重合；以 A2为圆心， A2E2为半径画弧，交 A2D2于 H2；以 E2为圆心， A2E2为半径画弧，交 B2C2于 F2；
42、连接 H2F2，则四边形 A2E2F2H2为菱形九：如图， P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点（ P 与 A、 C 不重合），点 E 在射线 BC 上，且 PE=PB.（1）求证： PE=PD ； PE PD；（2）设 AP=x, PBE 的面积为 y. 求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； 当 x 取何值时， y 取得最大值，并求出这个最大值.解：（1）证法一： 四边形 ABCD 是正方形， AC 为对角线， BC=DC, BCP= DCP=45. PC=PC， PBC PDC （SAS）. PB= PD， PBC= PDC. 又 PB= PE
43、 ， PE=PD. （i）当点 E 在线段 BC 上( E 与 B、 C 不重合)时， PB=PE， PBE= PEB， PEB= PDC， PEB+ PEC= PDC+ PEC=180， DPE=360-( BCD+ PDC+ PEC)=90， PE PD. ）（ii）当点 E 与点 C 重合时，点 P 恰好在 AC 中点处，此时， PE PD.（iii）当点 E 在 BC 的延长线上时，如图. PEC= PDC，1=2， DPE= DCE=90， PE PD.综合（i） （ii） （iii）, PE PD. （2） 过点 P 作 PF BC，垂足为 F，则 BF=FE. AP=x， AC= ，2 PC= - x， PF=FC= .x21)(BF=FE=1-FC=1-( )= .x1AB CPDEAB CPDEFAB CDPE12H
