1、1黑龙江省鸡西市一中 2019 届高三数学 4 月月考试题 文注 意 事 项 ：1、 本 试 卷 分 第 卷 （ 选 择 题 ） 和 第 卷 （ 非 选 择 题 ） 两 部 分 。 答 题 前 ， 考 生 务 必 将 自 己的 姓 名 、 考 生 号 填 写 在 答 题 卡 上 。2、 回 答 第 卷 时 ， 选 出 每 小 题 的 答 案 后 ， 用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ，如 需 改 动 ， 用 橡 皮 擦 干 净 后 ， 再 选 涂 其 他 答 案 标 号 。 写 在 试 卷 上 无 效 。3、 回 答 第 卷 时 ， 将 答 案 填 写
2、 在 答 题 卡 上 ， 写 在 试 卷 上 无 效 。4、 考 试 结 束 ， 将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回 。第 卷一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符合 题 目 要 求 的 12019金山中学已知集合 ， ，则 （ ）2340Ax1BxABRA B C D0,41, 4,22019湘钢一中已知 为虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数 等于（ ）i i2aaA B C D21232019玉溪一中若向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则向量 与向量 的夹角ab3
3、2a1baba为（ ）A B C D36 5642019凯里一中已知 ，则 （ ）1cos4sin2A B C D188787852019宁乡一中函数 的部分图象可能是（ ）1e2cosxfA BC D 62019天津一中设 、 分别为双曲线 的左、右焦点若在双曲线右1F2 210,xyab支上存在点 ，满足 ，且 到直线 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐P21PF近线方程为（ ）A B C D340xy350xy430xy540xy72019天一大联考已知 的图象如图所示，则函数sin,2fABA的对称中心可以为（ ）fxA B C D,06,16,06,1682019首师附中秦九韶
4、是我国南宋时期的数学家，他在数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入， 的值分别为 4，2，则输出 的值为（ ）nxv2A5 B12 C25 D5092019济宁一模已知直三棱柱 的底面为直角三角形，且两直角边长分别为 1 和1AB，此三棱柱的高为 ，则该三棱柱的外接球的体积为（ ）323A B C D81632643102019湘赣十四校联考如图，在等腰三角形 中，已知 ，阴影部分是以AB120AC为直径的圆与以 为直径的圆的公共部分，若在 内部任取一点，则此点取自阴影部分BAC的概率为（ ）A B C D3193193
5、1921329112019蚌埠质检已知 为抛物线 的焦点， 为原点，点 是抛物线准线上一动点，F24yxOP若点 在抛物线上，且 ，则 的最小值为（ ）5APA B C D5213213122019成都外国语已知 是定义域为 的奇函数，满足 fx,fxf若 ，则 （ ）12f1232018fffA50 B2 C0 D 2018第 卷二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 132019天一大联考不等式组 ，表示的平面区域的面积为_204xy142019济宁一模曲线 在点 处的切线方程为_e2xf0,f152019宁乡一中 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ，
6、 ，已知 ，ABC BCabc58ab，则 _2ABcos162019天一大联考在三棱锥 中， ， ， ，S90A2BACS，则异面直线 与 所成角的正切值为_3SSCAB三 、 解 答 题 ： 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17 （12 分）2019顺义统考已知 是等差数列， 是等比数列，且 ， ，nanb2b516， 12ab34（1）求 的通项公式；n（2）设 ，求数列 的前 项和ncabnc18 （12 分）2019顺义统考国际上常用恩格尔系数（食品支出总额占个人消费支出总额的比重）反映一个国家或家庭生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量
7、越高联合国根据恩格尔系数的大小，对世界各国的生活质量有一个划分标准如下：3下表记录了我国在改革开放后某市 A，B，C，D，E 五个家庭在五个年份的恩格尔系数（1）从以上五个年份中随机选取一个年份，在该年份五个家庭的生活质量都相同的概率为_（将结果直接填写在答题卡的相应位置上） ；（2）从以上五个家庭中随机选出两个家庭，求这两个家庭中至少有一个家庭在 2008 年和 2018 年均达到“相对富裕”或更高生活质量的概率；（3）如果将“贫穷” ， “温饱” ， “小康” ， “相对富裕” ， “富裕” ， “极其富裕”六种生活质量分别对应数值：0，1，2，3，4，5请写出 A，B，C，D，E 五个家
8、庭在以上五个年份中生活质量方差最大的家庭和方差最小的家庭（结论不要求证明） 19 （12 分）2019云南毕业在四棱锥 中，四边形 为菱形，且 ，PABCDABCD23ABC， 分别为棱 ， 的中点MNAPCD（1）求证： 平面 ； B（2）若 平面 ， ，求点 到平面 的距离2AMPBC20 （12 分）2019凉州二诊椭圆长轴右端点为 ，上顶点为 ， 为椭圆中心， 为椭圆的AMOF右焦点，且 ，离心率为 21MFA24（1）求椭圆的标准方程；（2）直线 交椭圆于 、 两点，判断是否存在直线 ，使点 恰为 的垂心？若存在，lPQlFPQM求出直线 的方程；若不存在，请说明理由21 （12 分
9、）2019汉中联考已知函数 2ee102xfxaa（1）若曲线 在点 处的切线的斜率为 ，求 的值；yfx1,f（2）求证：当 时， 00f请 考 生 在 22、 23 两 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 记 分 22 （10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】2019安庆二模在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数） 以原xOyl 25xmty点 为极点，以 轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系相同的长度单位圆 的方程为Ox C， 被圆 截得的弦长为 25sinlC2（1）求实数 的值；m（2）设圆 与直线 交于点
10、 、 ，若点 的坐标为 ，且 ，求 的值lABP,5m0PAB23 （10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】52019成都实验中学已知函数 ， 2fxxaR（1）当 时，解不等式 ；a5f（2）若存在 满足 ，求 的取值范围0x023fxa绝 密 启 用 前文 科 数 学 答 案第 卷一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符合 题 目 要 求 的 1 【答案】C【解析】由题意得 ，234014Axx或 ， 故选 C14xR,BR2 【答案】D【解析】 ， ， ，即 ，故选 Di
11、221iaa20a12a3 【答案】B【解析】设向量 与 的夹角为 ， ， 的夹角为 ，且 ， ，bb31b ，22 1cos4263aaa，22442bb ，26cos3ab又 ， ，故选 B0,4 【答案】D【解析】由题得 故选 D2217sin2coss485 【答案】A【解析】 ，舍去 B， ，舍去 D，1f0e2cos10f 时， ， ，故选 A2x1e2cosxf ine20xf6 【答案】C【解析】依题意 ，212PF可知三角形 是一个等腰三角形， 在直线 的投影是其中点，1 2F1P由勾股定理知，可知 ，根据双曲定义可知 ，整理得 ，214PFcab42bca2cba代入 整理
12、得 ，求得 ，22cab23043双曲线渐进线方程为 ，即 故选 Cyxy7 【答案】D【解析】由图可知 ， ， ， ，312A31B721T2由 ， ，得 ，故 21kZsin13fxx令 ，得 ，则 时， 故选 D3x26xk0k68 【答案】C【解析】模拟程序的运行，可得： ， ， ， ，x4n1vi3满足进行循环的条件 ， ， ，i05vi2满足进行循环的条件 ， ， ，1满足进行循环的条件 ， ， ，ii0不满足进行循环的条件 ，退出循环，输出 的值为 故选 C0v259 【答案】C【解析】如图所示，将直三棱柱 补充为长方体，1ABC则该长方体的体对角线为 ，223+1=4设长方体的
13、外接球的半径为 ，则 ， ，该长方体的外接球的体积 ，RR342VR该三棱柱的外接球的体积 ，故选 C342V10 【答案】C【解析】如图所示，取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ，BCDAOAD设 ，在 中， ， ， ， ，2ABCD 1A3CD32ACDS 3ABCS在扇形 中， ， ， ，OAD601236OADS扇 形 3=4OADS ， 故选 C3=2642S阴 影 192ABCP阴 影11 【答案】D【解析】不妨 为第一象限中的点，设 （ ） A,ab0由抛物线的方程得 ，则 ，故 ， ，1,0F15A4,A关于准线 的对称点为 ，x6,4故 ，5213PAOPO当且仅当 ， ，
14、三点共线时等号成立，故选 D12 【答案】B【解析】 是定义域为 的奇函数，可得 ，fx,fxf由 ，即有 ，即 ，1ff2fxfx2ff进而得到 ， 为周期为 4 的函数，4fxfff若 ，可得 ， ， ，12f312fff0ff40ff则 ，420fff可得 故选 B123185420fff第 卷二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 13 【答案】3【解析】依据不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，平面区域为 ，其中 ， ， ， 故答案为 3ABC 2,0,B2,3C123SAC14 【答案】 20xy【解析】曲线 ， ，exfexf将 带入曲线中可得
15、 ，带入导函数中可得 ，0x02f 0e1f曲线 在点 处的切线方程为 ，即 exf, 2yx2y15 【答案】 45【解析】 ， ，8absin8iAB ， ， ，2ABsi210sco8sin ， sin04co516 【答案】 12【解析】如图所示，作 底面 于点 ，连接 ， ， ， 与 相交于点 SOABCOABOCABD由 ， ，易知 是 中点， ， ABCSDBCABC2D设 ， ，则 ， ，ODxh229xhS2 2OSOCD由两式可解得 ， 225S1h从而四边形 为正方形异面直线 与 所成角即 ，ABCSCABSC故答案为 1tan2O12三 、 解 答 题 ： 解 答 应
16、写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17 【答案】 （1） ；（2） 12,3nb 231nnS【解析】 （1）设 的公比为 nq ， ， ， ， ，2b56352168b221bq 1,nq（2）由（1）知 ， ， ，设等差数列 的公差为 ，12nbb48nad ， ， ， ， ， ，1a341a312ad31因此 ，2nnncb从而数列 的前 项和1 22313125312nn nnSn 18 【答案】 （1） ；（2） ；（3）生活质量方差最大的家庭是 C，方差最小的家庭是 E90【解析】 （1）由表中数据可得，只有 1998 年份五个家庭的生活质量都相同，从
17、以上五个年份中随机选取一个年份，该年份五个家庭的生活质量都相同的概率为 15（2）在 2008 年和 2018 年均达到“相对富裕”或更高生活质量的有 A，B，C 三个家庭，从五个家庭中随机选出两个家庭的所有选法为：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10 种，其中至少有一个家庭达到“相对富裕”或更高生活质量的有 9 种记至少有一个家庭在 2008 年和 2018 年均达到“相对富裕”或更高生活质量为事件 ，M则 910PM（3）生活质量方差最大的家庭是 C，方差最小的家庭是 E19 【答案】 （1）见解析；（2） 150【解析】 （1）证明：设 的中点为 ，连接 ，
18、 ，PBGMC ， 分别是 ， 的中点， 且 ，MGAAB 12由已知得 且 ， 且 ，2CN N四边形 是平行四边形， ，MGCNMNGC 平面 ， 平面 ， 平面 PBPB PB（2）解：设点 到平面 的距离为 ，MPBCh由 平面 得点 到平面 的距离也为 ，N N连接 ， ， ， 平面 ， ，BDDAPDB由题设得 ， ， ，3P38BCNS 1138PBCNCNVS在 中，由已知得 ， ， ， ，C 254PB ，由 ，得 ，1153NPBPBhVS PBCNPB10h点 到平面 的距离为 M020 【答案】 （1） ；（2）存在直线 ： 满足要求21xyl43yx【解析】 （1）设
19、椭圆的方程为 ，半焦距为 210xyabc则 、 、 、 、 ，,0Aa,b,0Fc,Mc,FA由 ，即 ，21MF21a又 ， 解得 ，椭圆的方程为 ca2bc2b21xy（2） 为 的垂心， ，FPQ MFPQ又 ， ， ， ，0,1M,1K设直线 ： ， ， ，yxm1,xy2,xy将直线方程代入 ，得23+40m， ，1243x21x， 且 ，20m31又 ， ， ，PFMQ1,xy2,1MQxy ，即 ，2120xy 21120mm由韦达定理得 ，解得 或 （舍去） 。34m43存在直线 ： 使 为 的垂心lyxFPQ21 【答案】 （1）0；（2）见解析【解析】 （1）由函数 ，可
20、得 ，2e1xfxae2xfa曲线 在点 处的切线的斜率为 ，yf1, ， 1e2fa0（2） ，令 ，则 ，xfhxfe2xha当 时， ， 单调递增， ， 单调递增，0a0 01fffx，满足题意；fxf当 时， ，解得 ，1e2ae20xhaln2xa当 时， ， 单调递减；0,lnxf当 时， ， 单调递增，l,a0hxfx ， ln2minlel21lnafxf a ， ， ，e2a1l0min0fx 在 上单调递增，故 ，满足题意，fx,ff综上，当 时， 00fx请 考 生 在 22、 23 两 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一
21、题 记 分 22 【答案】 （1） 或 ；（2） m3【解析】 （1）由 得 ，即 5sin50xy225xy直线 的普通方程为 ，被圆 截得的弦长为 ，lxyC圆心到 的距离为 ，即 ，解得 或 l320532m3m（2）法 1：当 时，将 的参数方程代入圆 的直角坐标方程得，ml，即 ，2235tt230tt由于 ，故可设 ， 是上述方程的两实根， ，2401t2 123t又直线 过点 ，故由上式及 的几何意义得，l3,5Pt12123ABtt法 2：当 时，点 ，易知点 在直线 上 3m,5Pl又 ，点 在圆外，25联立 消去 得 2530xyy230x不妨设 、 ， ,1+A,B232PAB23 【答案】 （1） ；（2） 4,371a【解析】 （1）当 时， ，afxx由 得 ，5fx215当 时，不等式等价于 ，解得 ， ；2x2x当 时，不等式等价于 ，即 ，此时不等式无解；12x15当 时，不等式等价于 ，解得 ， 2x43xx原不等式的解集为 4,3（2） 224224fxxaxaxa原命题等价于 ，minf ， 为所求实数 的取值范围43a71aa
