1、131.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标 1.会用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用知识点一 二倍角公式的推导思考 1 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用 的三角函数表示 2 的三角函数的公式根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？答案 sin2 sin( )sin cos cos sin2sin cos ；cos2 cos( )cos cos sin sincos 2 sin 2 ；tan2 tan( ) ( k，2 k， kZ)2tan
2、1 tan2 2 2思考 2 根据同角三角函数的基本关系式 sin2 cos 2 1，你能否只用 sin 或 cos表示 cos2 ？答案 cos2 cos 2 sin 2 cos 2 (1cos 2 )2cos 2 1；或 cos2 cos 2 sin 2 (1sin 2 )sin 2 12sin 2 .知识点二 二倍角公式的变形1公式的逆用2sin cos sin2 ，sin cos sin2 ，12cos2 sin 2 cos_2 ， tan2 .2tan1 tan22二倍角公式的重要变形升幂公式和降幂公式升幂公式1cos2 2cos 2 ，1cos2 2sin 2 ，1cos 2cos
3、 2 ,1cos 2sin 2 . 2 22降幂公式cos2 ，sin 2 .1 cos22 1 cos221sin 2sin cos .( ) 2 22cos4 cos 22 sin 22 .( )3对任意角 ，tan2 .( )2tan1 tan2提示 公式中所含各角应使三角函数有意义如 及 ，上式均无意义. 4 2类型一 给角求值例 1 (1)计算：cos 2 sin 2 ；12 12考点 应用二倍角公式化简求值题点 利用余弦的二倍角公式化简求值解 原式cos . 6 32(2)计算： ；1 tan275tan75考点 应用二倍角公式化简求值题点 利用正切的二倍角公式化简求值解 2 2
4、2 .1 tan275tan75 1 tan2752tan75 1tan150 3(3)计算：cos20cos40cos80.考点 应用二倍角公式化简求值题点 利用正弦的二倍角公式化简求值解 原式 2sin 20cos 20cos 40cos 8012sin 20 sin 40cos 40cos 8012sin 20 sin 80cos 80122sin 203 sin 160123sin 20 .sin 2023sin 2018反思与感悟 对于给角求值问题，一般有两类(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角(2)若形式为几个非
5、特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式跟踪训练 1 (1)cos cos cos 的值为( ) 7 37 57A. B C. D14 14 18 18考点 应用二倍角公式化简求值题点 利用正弦的二倍角公式化简求值答案 D解析 cos cos cos 7 37 57cos 7 ( cos 47) ( cos 27)2sin 7cos 7cos 27cos472sin 7 sin 27cos 27cos 472sin 7sin 47cos 474sin 7 .sin 878sin 7 1
6、8(2) cos 2 _；12 8考点 应用二倍角公式化简求值题点 利用余弦的二倍角公式化简求值答案 244解析 原式 cos .12(1 2cos2 8) 12 4 24类型二 给值求值例 2 (1)若 sin cos ，则 sin2 _.13考点 应用二倍角公式化简求值题点 综合应用二倍角公式化简求值答案 89解析 (sin cos )2sin 2 cos 2 2sin cos1sin2 2，(13)即 sin2 1 2 .(13) 89(2)若 tan ，则 cos2 2sin2 等于( )34A. B. C1D.6425 4825 1625考点 应用二倍角公式化简求值题点 综合应用二倍
7、角公式化简求值答案 A解析 cos 2 2sin 2 .cos2 4sin cos cos2 sin2 1 4tan 1 tan2把 tan 代入，得34cos2 2sin 2 .故选 A.1 4341 (34)242516 6425引申探究在本例(1)中，若改为 sin cos ，求 sin2 .13解 由题意，得(sin cos )2 ，1912sin cos ，即 1sin 2 ，19 195sin 2 .89反思与感悟 (1)条件求值问题常有两种解题途径：对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题
8、设条件代入结论(2)一个重要结论：(sin cos )21sin 2 .跟踪训练 2 (1)(2017石家庄高一检测)若 sin( ) ，且 ，则 sin2 的13 2值为( )A B429 229C. D.229 429考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式题点 利有二倍角公式求二倍角的正弦值答案 A解析 因为 sin( ) ，所以 sin ，13 13又因为 ， 2所以 cos ，1 sin2223所以 sin2 2sin cos 2 .13 ( 223) 429(2)已知 为锐角，若 cos ，则 cos _.( 6) 35 (2 6)考点 应用二倍角公式化简求值题点 综合应用二倍角公式化简
9、求值答案 2425解析 因为 为锐角，cos 0，( 6) 35所以 为锐角，sin ， 6 ( 6) 45则 sin 2sin cos(2 3) ( 6) ( 6)2 .45 35 24256又 cos sin ，所以 cos .(2 6) (2 3) (2 6) 2425类型三 利用二倍角公式化简证明例 3 (1)化简： .1 sin2 cos21 sin2 cos2考点 应用二倍角公式化简求值题点 利用二倍角公式化简三角函数式解 方法一 原式 1 cos 2 sin 2 1 cos 2 sin 2 2sin2 2sin cos 2cos2 2sin cos 2sin sin cos 2c
10、os cos sin tan .方法二 原式 sin cos 2 cos2 sin2 sin cos 2 cos2 sin2 sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin tan .2sin 2cos (2)求证： tan2 .4sin cos1 cos2 cos2cos2 sin2考点 三角恒等式的证明题点 三角恒等式的证明证明 左边 tan 2 右边2sin 22cos2 cos2cos 2反思与感悟 三角函数式化简、证明的常用技巧(1)特殊角的三角函数与特殊值的互化(2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后
11、进行约分(3)对于二次根式，注意二倍角公式的逆用(4)利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等(5)利用“1”的恒等变形，如 tan 451，sin 2 cos 2 1 等跟踪训练 3 为第三象限角，则 _.1 cos2cos 1 cos2sin考点 应用二倍角公式化简求值题点 利用二倍角公式化简三角函数式答案 0解析 为第三象限角，cos 0，cos 0，且|cos |0，所以Error!不合题意，舍去，所以 tan ，43所以 tan2 .2tan1 tan22431 (43)2 24710若 2018，则 tan2 _.1 tan1 tan 1cos2考点 应用二倍角公式化简求值题点 综
12、合应用二倍角公式化简求值答案 2018解析 tan2 1cos2 1cos2 sin2cos2 1 sin2cos2 cos sin 2cos2 sin2 2018.cos sincos sin 1 tan1 tan11已知 tan 3，则 _. 2 1 cos sin1 cos sin考点 应用二倍角公式化简求值题点 综合应用二倍角公式化简求值答案 3解析 1 cos sin1 cos sin2sin2 2 2sin 2cos 22cos2 2 2sin 2cos 2 tan 3.2sin 2(sin 2 cos 2)2cos 2(cos 2 sin 2) 2三、解答题12(2017山东青岛
13、城阳一中期中考试)已知 3sin sin(2 )，且14 ， k( kZ)，求证：tan( )2tan .k2 2考点 三角恒等式的证明题点 三角恒等式的证明证明 因为 sin sin( ) sin( )cos cos( )sin ；sin(2 )sin( ) sin( )cos cos( )sin ，所以 3sin( )cos 3cos( )sin sin( )cos cos( )sin ，即 sin( )cos 2cos( )sin .又 ， k( kZ)，k2 2所以 cos 0，cos( )0.于是等式两边同除以 cos( )cos ，得 tan( )2tan .13化简： (180
14、360) 1 sin cos (sin 2 cos 2)2 2cos考点 应用二倍角公式化简求值题点 综合应用二倍角公式化简求值解 原式(2cos2 2 2sin 2cos 2)(sin 2 cos 2)4cos2 22cos 2(cos 2 sin 2)(sin 2 cos 2)2|cos 2| .cos 2(sin2 2 cos2 2)|cos 2| cos 2cos |cos 2|因为 180 360，所以 90 180， 2所以 cos 0，所以原式cos . 2四、探究与拓展14等腰三角形一个底角的余弦值为 ，那么这个三角形顶角的正弦值为_2315考点 应用二倍角公式化简求值题点 利
15、用正弦的二倍角公式化简求值答案 459解析 设 A 是等腰 ABC 的顶角，则 cosB ，23sinB .1 cos2B1 (23)2 53所以 sinAsin(1802 B)sin2 B2sin BcosB2 .53 23 45915已知函数 f(x)cos sin 2xcos 2x2 sinxcosx.(2x 3) 3(1)化简 f(x)；(2)若 f( ) ，2 是第一象限角，求 sin2 .17考点 应用二倍角公式化简求值题点 综合应用二倍角公式化简求值解 (1) f(x) cos2x sin2xcos2 x sin2x12 32 3 sin2x cos2xsin .32 12 (2x 6)(2)f( )sin ，2 是第一象限角，(2 6) 17即 2k2 2 k( kZ)， 22 k 2 2 k( kZ)， 6 6 3cos ，(2 6) 437sin2 sin (2 6) 6sin cos cos sin(2 6) 6 (2 6) 6 .17 32 437 12 531416
