1、131.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)学习目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用知识点一 两角和与差的正切公式思考 1 怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？答案 tan( ) ，sin cos sin cos cos sincos cos sin sin分子分母同除以 cos cos ，便可得到思考 2 由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？答案 用 替换 tan( )中的 即可得到梳理名称 简记符号 公式 使用条件两角和的正切
2、 T( )tan( )tan tan1 tan tan ， ， 均不等于k (kZ) 2两角差的正切 T( )tan( )tan tan1 tan tan ， ， 均不等于k (kZ) 2知识点二 两角和与差的正切公式的变形(1)T( )的变形：tan tan tan( )(1tan_ tan_ )tan tan tan tan tan( )tan( )tan tan 1 .tan tantan (2)T( )的变形：tan tan tan( )(1tan_ tan_ )tan tan tan tan tan( )tan( )tan tan 1.tan tantan 21对于任意角 ， ，总有
3、 tan( ) .( )tan tan 1 tan tan 提示 公式成立需 ， ， k ， kZ. 22使公式 tan( ) 有意义，只需 ， k (kZ)即可( tan tan1tan tan 2 )提示 还应使 k ， kZ. 23若 ， ， k ， kZ，则 tan( ) 2tan tan tan tan tan( )恒成立( )4 k ，且 k ， kZ 时，tan .( ) 4 2 ( 4 ) 1 tan1 tan类型一 正切公式的正用例 1 (1)(2017江苏)若 tan ，则 tan _.( 4) 16考点 两角和与差的正切公式题点 利用两角和与差的正切公式求值答案 75解析
4、 方法一 tan ( 4)tan tan 41 tan tan 4 .tan 11 tan 166tan 61tan (tan 1)，tan .75方法二 tan tan ( 4) 43 .tan( 4) tan 41 tan( 4)tan 416 11 16 75(2)设 tan ，tan 是方程 x23 x20 的根，则 tan( )的值为( )A3B1C1D3考点 两角和与差的正切公式题点 利用两角和与差的正切公式求值答案 A解析 由题意知 tan tan 3，tan tan 2，所以 tan( ) 3.tan tan1 tan tan 31 2反思与感悟 (1)直接运用两角和与差的正切
5、公式进行求值、化简与证明的关键是准确记忆公式，特别是 T 中的符号规律是“分子相同、分母相反” (2)对于不能直接套用公式的情况，需根据已知与未知进行变形使之联系起来，有时还要借助角的变换技巧跟踪训练 1 已知 tan 2，tan( ) ，则 tan 的值为_17考点 两角和与差的正切公式题点 利用两角和与差的正切公式求值答案 3解析 tan tan( ) tan tan1 tan tan 3.17 21 17 2类型二 正切公式的逆用与变形使用例 2 (1) _.1 tan151 tan15考点 两角和与差的正切公式题点 利用两角和与差的正切公式化简答案 3解析 原式 tan(4515)ta
6、n45 tan151 tan45tan15tan60 .34(2)化简：tan23tan37 tan23tan37.3考点 两角和与差的正切公式题点 利用两角和与差的正切公式化简解 方法一 tan23tan37 tan23tan373tan(2337)(1tan23tan37) tan23tan373tan60(1tan23tan37) tan23tan37 .3 3方法二 tan(2337) ，tan23 tan371 tan23tan37 ，3tan23 tan371 tan23tan37 tan23tan37tan23tan37，3 3tan23tan37 tan23tan37 .3 3
7、反思与感悟 两角和与差的正切公式有两种变形形式tan tan tan( )(1tan tan )或1tan tan .当 为特殊角时，常考虑使用变形形式，遇到 1 与正切的乘积的tan tan tan 和(或差)时常用变形形式.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果跟踪训练 2 在 ABC 中， A B ，且 tanAtan B tanAtanB，则角 C 的值为( ) 2 3 3A. B. C. D. 3 23 6 4考点 两角和与差的正切公式题点 利用两角和与差的正切公式求角答案 A解析 tan Atan B tan AtanBtan(A B)(1tan AtanB) (tan 3 3 3
8、AtanB1)(*)若 1tan AtanB0，则 cosAcosBsin AsinB0，即 cos(A B)0.0 A B， A B 与题设矛盾 2由(*)得 tan(A B) ，即 tan C .3 3又0 C， C . 351若 tan 3，tan ，则 tan( )等于( )43A. B C3D313 13考点 两角和与差的正切公式题点 利用两角和与差的正切公式求值答案 A解析 tan( ) .tan tan1 tan tan3 431 343 132若 tan 2，则 tan 的值为( )( 4 )A. B C. D13 13 23 23考点 两角和与差的正切公式题点 利用两角和与差
9、的正切公式求值答案 A解析 tan 2，( 4) 1 tan1 tan解得 tan .133已知 A B45，则(1tan A)(1tan B)的值为( )A1 B2C2 D不确定考点 两角和与差的正切公式题点 利用两角和与差的正切公式求值答案 B解析 (1tan A)(1tan B)1(tan Atan B)tan AtanB1tan( A B)(1tan AtanB)tan AtanB11tan AtanBtan AtanB2.4. _.1 3tan753 tan756考点 两角和与差的正切公式题点 利用两角和与差的正切公式化简答案 1解析 原式 33 tan751 33tan75tan3
10、0 tan751 tan30tan75tan(3075)tan451.5已知 cos ，cos ，其中 ， 都是锐角求：55 35(1)sin( )的值；(2)tan( )的值考点 和、差角公式的综合应用题点 综合运用和、差角公式化简求值解 (1)因为 ， 都是锐角，所以 sin ，sin 1 cos2255 ，1 cos245所以 sin( )sin cos cos sin .255 35 55 45 2525(2)tan 2，tan ，sin cos sin cos 43所以 tan( ) 2.tan tan 1 tan tan 1公式 T( )的结构特征和符号规律(1)公式 T( )的右
11、侧为分式形式，其中分子为 tan 与 tan 的和或差，分母为 1 与tan tan 的差或和(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反” 2应用公式 T( )时要注意的问题(1)公式的适用范围由正切函数的定义可知， ， ， (或 )的终边不能落在 y 轴上，即不为 k(kZ) 2(2)公式的逆用7一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如 tan 1，tan ，tan 4 6 33 3等3特别要注意 tan ，tan .( 4 ) 1 tan1 tan ( 4 ) 1 tan1 tan(3)公式的变形应用只要用到 tan tan ，tan tan 时，有灵活应用公式 T( )的意识，就
12、不难想到解题思路特别提醒：tan tan ，tan tan ，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型一、选择题1(2017衡水高一检测)(1tan18)(1tan27)的值是( )A. B13 2C2 D2(tan18tan27)考点 两角和与差的正切公式题点 利用两角和与差的正切公式化简答案 C解析 (1tan18)(1tan27)1tan18tan27tan18tan271tan45(1tan18tan27)tan18tan272.2已知 ，则(1tan )(1tan )等于( )54A1B2C2D3考点 两角和与差的正切公式题点 利用两角和与差的正切公式化简答案 C解析 (1tan )
13、(1tan )1(tan tan )tan tan 1tan( )(1tan tan )tan tan 11tan tan tan tan 2.3已知 tan( ) ，tan ，则 tan 的值为( )25 ( 4) 14 ( 4)A. B. C. D.322 2213 1318 16考点 两角和与差的正切公式题点 利用两角和与差的正切公式求值8答案 A解析 因为 ( ) ， 4 ( 4)所以 tan ( 4)tan tan( 4)1 tan tan( 4) .25 141 2514 3224(2017成都高一检测)在 ABC 中，若 (tanBtan C)tan BtanC1，则 sin2A
14、 等于( )3A B. C D.32 32 12 12考点 两角和与差的正切公式题点 两角和与差的正切公式的综合应用答案 B解析 在 ABC 中，因为 (tanBtan C)tan BtanC1，3所以 tan(B C) ，tanB tanC1 tanBtanC 33所以 B C150，所以 A30，所以 sin2Asin60 .325 A， B， C 是 ABC 的三个内角，且 tanA，tan B 是方程 3x25 x10 的两个实数根，则 ABC 是( )A钝角三角形 B锐角三角形C直角三角形 D无法确定考点 两角和与差的正切公式题点 两角和与差的正切公式的综合应用答案 A解析 tan
15、Atan B ，tan AtanB ，53 13tan( A B) ，tan Ctan( A B) ，52 52 C 为钝角，即 ABC 为钝角三角形6设向量 a(cos ，1)， b(2，sin )，若 a b，则 tan 等于( )( 4)9A B. C3D313 13考点 两角和与差的正切公式题点 两角和与差的正切公式的综合应用答案 B解析 由 ab2cos sin 0，得 tan 2.tan .( 4)tan tan 41 tan tan 4 2 11 2 137已知 tan lg10 a，tan lg ，且 ，则实数 a 的值为( )1a 4A1 B.110C1 或 D1 或 101
16、10考点 两角和与差的正切公式题点 两角和与差的正切公式的综合应用答案 C解析 ， 4tan( ) 1，tan tan1 tan tantan tan 1tan tan ，即 lg10alg 1lg10 alg ，1a 1a11lg10 alg ，1alg10 alg 0.1alg10 a0 或 lg 0.1a得 a 或 a1.110二、填空题8. _.tan75 tan151 tan75tan15考点 两角和与差的正切公式题点 利用两角和与差的正切公式化简10答案 3解析 原式tan(7515)tan60 .39已知 是第四象限角，且 sin ，则 tan _.( 4) 35 ( 4)考点
17、两角和与差的正切公式题点 利用两角和与差的正切公式求值答案 43解析 由题意，得cos ，tan .tan tan ( 4) 45 ( 4) 34 ( 4) ( 4 2) 1tan( 4) .4310已知 tan 2，则 的值为_( 4 ) 12sin cos cos2考点 两角和与差的正切公式题点 两角和与差的正切公式的综合应用答案 23解析 tan 2，( 4 ) 2，解得 tan .1 tan 1 tan 13 12sin cos cos2 sin2 cos22sin cos cos2 .tan2 12tan 119 123 1 2311.如图，在 ABC 中， AD BC， D 为垂足
18、， AD 在 ABC 的外部，且 BD CD AD236，则 tan BAC_.考点 两角和与差的正切公式题点 两角和与差的正切公式的综合应用11答案 17解析 AD BC 且 BD CD AD236，tan BAD ，BDAD 13tan CAD ，CDAD 36 12tan BACtan( CAD BAD)tan CAD tan BAD1 tan CADtan BAD .12 131 1213 17三、解答题12已知 tan ， tan 2 ，求：(12 ) 2 ( 3) 2(1)tan 的值；( 4)(2)tan( )的值考点 两角和与差的正切公式题点 利用两角和与差的正切公式求值解 (
19、1)tan tan( 4) ( 12) ( 3)tan( 12) tan( 3)1 tan( 12)tan( 3) .2 221 222 2(2)tan( )tan ( 4) 4tan( 4) tan 41 tan( 4)tan 4 2 3. 2 11 21 213已知 tan ，tan 是方程 x23 x40 的两根，且 ， ，求3 2 2 2 212 的值考点 两角和与差的正切公式题点 利用两角和与差的正切公式求角解 由根与系数的关系得tan tan 3 ，tan tan 4，3tan 0，tan 0，tan( ) ，tan tan 1 tan tan 331 4 3又 ， ，且 tan
20、0，tan 0. 2 2 2 2 0， 0， 2 2 0， .23四、探究与拓展14如果 tan ，tan 是方程 x23 x30 两根，则 _.sin cos 考点 两角和与差的正切公式题点 两角和与差的正切公式的综合应用答案 32解析 sin cos sin cos cos sincos cos sin sin .tan tan1 tan tan 31 3 3215(2017江西南昌实验中学月考)在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 为始边作两个锐角 ， ，它们的终边分别与单位圆相交于 A， B 两点，已知点 A， B 的横坐标分别为 ， .13 255(1)求 tan( )的值；(2)求 的值tan tan2 2tan tan考点 两角和与差的正切公式题点 两角和与差的正切公式的综合应用解 (1)由题意得 cos ，cos .13 255因为 ， 为锐角，所以 sin ，sin ，223 5513因此 tan 2 ，tan ，212所以 tan( ) .tan tan1 tan tan22 121 2212 9 522(2) tan( ) tan tan2 2tan tan 12 tan tan1 tan tan 12 tan .12 12 12 1414
